V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Действительно, пусть Р и Я— две различные точки множества М, точка Р попадает в карту (Ц„,Ь,„), а точка ц' — в карту (Гр,Ьд). Так как в И'" выполняется условие отделимости, то в И™ точки Р и Ч' имеют непересекающиеся окрестности Р~ и Рг. Покажем, что множества У~ П Г и 1~2 П Рр являются окрестностями точек Р и Я на множестве М. Можно доказать, что при гомеоморфизме образ любого открытого множества является открытым множеством. Поэтому, так как отображение Ь„является гомеоморфизмом, образ Ь„Я ПГ ) первого множества является открытым в Ж". Значит, само множество ~1 П Г„является окрестностью точки Р в М.
Аналогично множество Г2й Гд является окрестностью точки Я в М. Поскольку Р~ й Гг — — О, ео и (Р1 П Г„) П (~~ П Ур) = Я. Таким образом, точки Р и Я "меют непересекающиеся окрестности в М и потому являются отделимыми на множестве М. 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 322 Согласно этому определению, окружность с атласом из двух карт (см. пример 11.1), т-мерная плоскость с атласом иа одной карты (см.
пример 11.2), гг-мерная сфера с атласом из двух карт (см, пример 11.3) являются соответственно одномерным, лг-мерным и и-мерным многообразиями. На многообразии помимо карт из заданного атласа можнг» вводить и другие карты. Например, вместо карты (Г,Ь) можно использовать карту (Г,Ь), где с>' — открытое подмножество ('. а Ь вЂ” сужение отображения Ь на подмножество (У. Очевидно, что такая замена не играет сколько-нибудь существенной роли. Среди карт, которые можно ввести на множестве М, есть карты, которые согласованы со всеми картами заданного атласа, а есть карты, которые с картами атласа не согласованы.
Если карта ((7, Ь) согласована со всеми картами заданного атласа многообразия М, то мы будем называть ее картой на многообразии М. Множество всех карт на многообразии >ц образует атлас, который содержит в себе как часть изначальнс> заданный атлас. Совокупность всех карт на многообразии мы будем называть максимальным ат.аасом этого многообразия или гладкой стпруктурой. Отметим, что максимальный атлас не является счетным. Например, в И в качестве карт можно рассматривать любые пары (1,Ы(), где 1 — интервал, а и1( — тождественное отображение этого интервала.
Очевидно что все эти карты согласованы между собой, но их множество несчетно. 'Атлас нааывак>т конечным (счетным), если он, как множество каР' есть конечное или счетное множество. Определение 11.4. Множество М с заданным на нем конечным или счетным атласом, удовлетворяющее условию отделимости, называют (' гладким) мноаообразием. Размерность тг карт атласа, заданного на М, называют раэмерностпью мноаообразия М.
При этом М называют тг-мерным мноеообраэием. 11.2. Примеры многообразий 11.2. Примеры многообразий Существует много примеров многообразий. Так, само линейное арифметическое пространство В" является многообразиемм, если выбрать атплас из единственной карты, заданной тождественным отображением на всем В". Многообразием также будет и любая область в В", единственную карту на которой также можно задать тождественным отображением. ,Очевидно, что в каждом из этих случаев выполняется условие отделимости, так как атлас состоит из единственной карты (см.
замечание 11.2). Остановимся на более сложных примерах многообразий. Пример 11.6. Регулярная поверхность 5 в пространстве, заданная гладкой фуюсцией г': У С В~ -+ Я, есть двумерное многообразие. Функция Р в соответствии с определением регулярной поверхности является гомеоморфиэмом. Атлас на поверхности можно выбрать из одной карты г "Я-+ У с областью определения 5. Условие, чтобы нарты атласа были согласованы, в данном случае тривиально.
Также очевидно, что поверхность с указанным атласом удовлетворяет условию отделимости (см. замечание 11.2). Во многих случаях многообразия возникают как множество решений некоторой системы, вообще говоря, нелинейных уравнений. Нельзя утверждать, что произвольная система нелинейных уравнений определяет многообразие: множество реШений такой системы может состоять из нескольких точек или вообще является пустым. Чтобы система нелинейных уравнений определяла многообразие, левые части уравнений должны Удовлетворять определенным условиям.
О них — следующая Теорема. Теорема 11.1. Пусть Р: В -+В", т > й, — гладкое отображение и М С В вЂ” непустое множество решений системы УРавнений г(х) = О. Если в каждой точке множества М ранг 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 324 т.е. частные производные координатных функций (о(х) выражаются с помощью арифметических операций через композиции частных производных координатных функций Р(х,у) с функцией (р(х).
Используя это обстоятельство, с помощью метода математической индукции можно показать, что в случае гладкого отображения Р(х,у) отображение (р(х) является гладким. На множестве Г = М П Г рассмотрим проекцию Ь(х,у) = =. которая на Г является непрерывным отображением. Так как координаты точки (х, у) рассматриваемого множествасвязанм соотношением у = д(х) г помощью гладкого (значит, непрерывного) отображения д, то обратное к Ь отображение Ь '(=) = = (х, ~рЩ непрерывно. Таким образом, определена каР'"" (Г,Ь), причем соответствующее отображение является гом'о морфизмом. Такая карта может быть построена в окрестност» матрицы Якоби отображения Р максимален и равен Й, то множество М является гладким (п1 — к)-мерным многообразием.
~ Для фиксированной точки хо Е М в матрице Якоби г'(х~)) выберем базисный минор. Для упрощения изложения будем предполагать, что этот минор, в который входят все строки матрицы Якоби, расположен в последних Й столбцах этой матрицы. Группу из первых п1 — й координат точки х (= )и,"' обозначим через х, группу последних й координат — через у. а отображение г(х) запишем в виде Г(х,у). Тогда условие. что минор в последних Й столбцах является ненулевым, можно эаписагь в виде де1 Р'„'(хо,ур) ф О, где (хо, уо) = хо. Согласв теореме о неявной функции, существует окрестность Г С )й.'" точки хо, в которой система уравнений г(х,у) = О разрешима относительно группы переменных у, т.е. множество М и! точек (х, у) можно описать в виде у = д(х), где функция многих переменных у дифференцируема в некоторой окрестности точки хо Е В~ ~.
Согласно той же теореме, матрица Якоби функции у(х) имеет вид 11.2. Примеры многообразий любой точки множества М. Можно показать, что из множества всех таких карт можно выбрать а. более чем счетное подмножество согласованных карт, в совокупности накрывающих М. Значит, на множестве М можно задать не более чем счетный атлас из карт рассмотренного вида.
Докажем согласованность любых двух построенных карт. Пусть в окрестности точки жо заданы две карты (01,Ь~) и (У~,Ь|). Предположим, что отображение, обратное Ь1, имеет вид х = (ю, д(л)). Тогда отображение перехода Ьг о Ь, ' можно представить в виде Ь~(~,<р(г)). Отметим, что, согласно построению карт, отображение Ь~ является ограничением на Г2 некоторой проекции 1: И'" — ~ В"' ~, являющейся гладкой функцией многих переменных.
Следовательно, композиция Ья(г,ср(г)) = Д~,ср(х)) является гладкой функцией в силу гладкости функции у(з). Аналогично можно показать, что и обратное отображение Ь1 о Ь., ~ является гладким. Для этого нужно лишь по-другому сформировать группы координат = и у точки х Е И"'. Наконец, отметим, что множество М с выбранным атла.- сом удовлетворяет условию отделимости, так как отображение каждой карты атласа является гомеоморфным (см.
замечание 11.2). ф Следствие 11.1. Пусть Р В"'-+ В"', т > й, — гладкое ото'бражение и с е В1'. Непустое множество М = ~' '(г) является многообразием размерности т — Й, если во всех точках этого множества матрица Якоби Р(х) имеет максимальный ранг. Равный Й. 'Ф Действительно, достаточно к отображению Цз:) = У"(х) — ~ применить теорему 11.1. В Замечание 11.3.
Как следует из доказательства теоремы 11 1, построение координат на многообразии, заданном сист~ Мой уравнений, связано с решением этой системы относительно части переменных, причем решение такой системы строится в 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 326 Пример 11.6. Теорема 11.1 выявляет обширный класс многообразий. Согласно этой теореме, три основные кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) являются одномерными многообразиями. Действительно, достаточно обратиться к каноническим уравнениям этих кривых и проанализировать их с точки зрения 11.1.
Например, каноническое уравнение эллипса имеет вид х2 уя — + — =1 2 62 1 или ~(х,у) = О, где функция х2 д2 Дх,у) = —, + — — 1 '2 62 является гладкой в Е~. Вычислим матрицу Якоби функции Лх у): Видим, что ранг этой матрицы является нулевым (меньпн' числа строк) лишь в точке (О, О), которая не принадлежит эллипсу. Значит, все условия теоремы 11.1 выполнены и эллип~ является гладким одномерным многообразием. Пример 11.7. Аналогично предыдущему примеру заклю чаем, что поверхности второго порядка — эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, три вида цилиндров второго порядка целом по той же схеме, что и решение системы линейных алгебраических уравнений. В заданной точке х0 нужно вычислить матрицу Якоби и выделить в ней базисный минор.
Этот минор позволяет разделить переменные на две группы: базисяьн (в доказательстве эта группа обозначена символом у) и свобод кые (группа переменных г). Каждая точка множества решений, достаточно близкая к точке х0, однозначно определяется значениями свободных переменных, т.е. свободные переменные и есть координаты точки на многообразии. 11.2.
Примеры многообраэий являются двумерными многообразиями. Однако конус многообр~зием не является. Действительно, каноническое уравнение конуса имеет вид д,г г — + — — — = О. аг 6г сг Девая часть этого уравнения — многочлен, определяющий гладкую функцию ~(х,у,г). Матрица Якоби этой функции в произвольной точке (х, у, з) равна 2х 2у 2г У'( ю)— аг тг г Ее ранг равен нулю в единственной точке (О, О, О), но эта точка находится на конусе, и условия теоремы 11.1 не выполняются. Теорема 11.1 дает лишь достаточные условия того, что множество решений системы уравнений является многообразием.
Поэтому нарушение этих условий еще не означает, что множество решений системы не является многообразием. Однако в случае конуса условия теоремы нарушаются именно в силу того, что конус не является многообразием: для любой сколь угодно малой окрестности точки (О, О, О) часть конуса, попавшая в эту окрестность, не является гомеоморфной какой-либо области в Вг (см. пример 8.2). Другими словами, в окрестности начала координат не существует карты (У,Ь), для которой отображение Ь является гомеоморфизмом Пркмер 11.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
