V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 46
Текст из файла (страница 46)
4~ С формальной точки зрения определение гладкого отображения корректно. Однако, для того чтобы это понятие имело практический смысл, нужно, чтобы координатное представление отображения, оказавшись гладким в одних координатах. оставалось таким и в любых других координатах. Ведь иначе, выяснив, что координатное представление отображения нг является гладким в одних координатах, мы вынуждены проверять это во всех координатах выбранного атласа. В противном 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ окружности рассмотрим отображение Ь|, которое точке окруж ности ставит в соответствие полярный угол, измеряемый н пределах от О до 2т. Затем выколем точку Ч и на оставц~ей ся части 1''2 окружности рассмотрим отображение Ь2, которое точке окружности ставит в соответствие полярный угол в пре делах от -я до к. Нетрудно показать, что:зти две карты в совокупности накрывают окружность и являются согласованнымп Условие оиделимости выполняется в силу замечания 11.2. Та ким образом, У вЂ” одномерное многообразие. Отметим, что Ь, '(у) = (гсов~р, гяп~р), у б (0,2я), Ь~ (<р) = (гсов<р, гв1пу), д 6 (-я', я), где г — радиус окружности.
Поскольку прямая Ь на плоскости оказывается совмещеннои с осью абсцисс, естественно в качестве координаты на этой прямой выбрать абсциссу точки. Тогда проекция окружности на прямую в выбранных координатах записывается в виде х = гсовд. Так как в выбранных координатах отображение!' представлено гладкой функцией, оно является гладким. Теорема 11.2, Композиция гладких отображений многообразий есть гладкое отображение многообразий, я Это утверждение следует из теоремы 2.6 о дифференцируемости сложной функции.
~ Диффеоморфизмом многообразия М на многообразие Ж называют биективное гладкое отображение М на М, обратное к которому также является гладким. Многообразия М и Л для которых существует диффеоморфизм М на У, называют диффео,морфнъими. Пусть многообразия М и Ж диффеоморфны и Р': М -~ -+ У вЂ” диффеоморфизм. Если (К Ь) — карта на многообрата М, то (г(У),Ьо г ') является картой на многообразии .'~'. Действительно, пусть (Р,й) — карта из атласа У, для которой Е(У) П Р ~6 И. Тогда отображение перехода из карты ЩУ),Ь0.г ~) в карту (Кй) имеет вид йо Р'о Ь ~, т.е. являетсЯ 11,3.
Гладкие отображения многообразий координатным представлением отображения Е для пары карт ф Ь) и (К Й). Такое представление является гладкой функцией многих переменных. Поэтому и отображение перехода является гладкой функцией многих переменных. Аналогично можно показать, что и обратное отображение перехода является гладкой функцией. Итак, диффеоморфизм многообразий устанавливает взаимно однозначное соответствие между картами двух многообразий. Это означает, что диффеоморфные многообразия с точки зрения их внутренней структуры не различаются. Поэтому их, как правило, отождествляют. Гладкой функцией на многообразии М называют гладкое отображение из М в Е.
Отметим, что на числовой оси К есть естественный атлас из единственной карты. Поэтому координатное представление функции связывают не с парой карт (первая на многообразии М, вторая в В), а лишь с картой на многообразии М. Множество гладких функций на М будем обозначать через Гоо(М). Операции сложения и умножения гладких функций дают вновь гладкие функции. Постоянные функции являются гладкими. Умножение функции ~Е Г (М) на постоянную функцию у(х) = с, дающее гладкую функцию на М, можно интерпретировать как умножение функции на действительное число. Легко проверить, что множество Г (М) « операциями сложения функций и умножения функции на действительное число является линейным пространством. Наличие еще одной операции — умножения функций — наделяет это лииеиное пространство дополнительными свойствами.
Теорема 11.3. Операция умножения в линейном пространстве С (М) имеет следующие свойства: 1о. Ассоциативность (~д)Ь = Дуй). 2'. Коммутативность ~у = у~. 3'. Дистрибутивность относительно сложения Ду+ Ь) = = Уд+ ~й. 4'. Существование единицы ~.1= ~. 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 4 В каждой конкретной точке х Е М равенства, отражающн~ перечисленные свойства, являются числовыми и выражают од ноименные свойства умножения действительных чисел. ~ Если в линейном пространстве дополнительно введена операция, удовлетворяющая свойствам 1'-4', сформулированным в теореме 11.3, то такое линейное пространство называюг алгеброй, а указанную операцию называют умножением ал гебры.
Любое подмножество алгебры Х, которое само являет ся алгеброй относительно операций в Х, называют подвлгеб рой алгебры Х. Отображение и алгебры Х в алгебру С называют гомо морфизмом алгебр, если это отображение является линегтьщ оператором и, кроме того, удовлетворяет дополнительному условию и(а6) = и(а)и(6).
Гомоморфизм алгебры Х в алгебру С, являющийся биекцией. называют изоморфизмом алгебр. Изоморфизм алгебр Ж и С устанавливает такое взаимно однозначное соответствие между элементами этих алгебр, при котором результату любой операции в алгебре Х соответствует результат аналогичной операции в алгебре С и наоборот. По внутренней структуре изоморфные алгебры неразличимы. Теорема 11.4.
Если Е': М -+ Ж вЂ” гладкое отображение многообразий М и Ф, то отображение Р': С~(Ж) -+С (М) определенное формулой Р'(у) = до,г, есть гомоморфизм алгебр С (Ф) и С (М). 4 Доказательство этой теоремы следует из определений глаЛ- кого отображения и гомоморфизма алгебр, а также из теоремы 11.2. > Отображение г множества гладких функций на много образии Ф в множество гладких функций на многообразии и. порождаемое гладким отображением Г: М -+ Ж, называют ин дуиированным отпображением. 1! ..3. Гладкие отображения многообразий 339 Теорема 11.5.
Для любых гладких отображений Г: М -+ Х и С: Ф -+ Е имеет место тождество (сои)'=Гоа. 4~ Если д Е С (К), то в силу определений индуцированного отображения и композиции отображений имеем фо ~) (д) = у о С о Р' = (~с™) (у) о Г = Р (С'(у) ) = ( Р о С" ) (д). Ю» Пример 11.12. Изучим структуру алгебры Х гладких функций на прямом круговом цилиндре х2+ р2 = В~. С этой целью рассмотрим отображение Г: Ж~ -+ Ез с координатными функциями х(р,1) = Всов~р, у(<р,1) = Выпь, г(~р,Ц = 1. Образ отображения Е' есть рассматриваемый цилиндр х~+ у2 = = В~, который мы обозначим через С. Атлас на цилиндре С можно задать двумя картами. Для построения карт достаточно ограничить отображение Р на полосе у Е (0,2я), 1 Е Е для первой карты и на полосе ~р б ( — я,я), 1 б И для второй карты. Две карты на цилиндре будут определяться отображениями, обратными к указанным (см.
примеры 8.4 и 11.9). Отображение Е Е~-~ С является гладким, и мы можем рассмотреть индуцированное отображение Р, которое каждой гладкой функции на цилиндре С ставит в соответствие гладкую функцию в Ж~, т.е. гладкую скалярную функцию двух переменных. Если ~ — функция на цилиндре С, то Р" (~)— функция от ~р и 1, периодическая по у с периодом 2я'. Мно®ество гладких функций Ду,1) на многообразии И~, периодических по <р, есть алгебра (подалгебра алгебры С"(Е~) всех "ладких функций на Е~), которую мы обозначим С.
Индуцированное отображение,Р' есть гомоморфизм алгебры Х в алгебру С. Нетрудно показать, что этот гомоморфизм обеспе"ивает взаимно однозначное соответствие между элементами 1!. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 340 Пусть Р: М -+ У вЂ” гладкое отображение т-мерного многообразия М в и-мерное многообразие У. Рассмотрим произвольную точку Р б М, карту (У,Ь) на многообразии М, накрывающую точку Р, и карту (1~, й) на многообразии М, накрывающую точку Я = Р(Р). В охрестпности точки Р отображение Е' имеет координатное представление гл« = Й о Ро Ь 1, являющееся гладкой функцией многих переменных, определенной в окрестности точки Ь(Р) б Е со значениями в Е".
Вычислим ранг матрицы Якоби функции Ел«в точке Ь(Р): г = йд(Рл«)'(Ь(Р) ). Оказывается, что число г не зависит от выбора карт (У,Ь) и (1~,Й). Действительно, если взять другую карту (Ц,Ь1), накрывающую точку Р, и другую карту Я,Й1), накрывающую точку Р(Р), то координатное представление Рл,«, отображения Р в паре выбранных карт будет связано с координатным представлением Р~«следующим образом: Р'л,«, =Й1оР'оЬ, ' = =(~1ой )о(Йо~'оЬ )о(ЬоЬ~~ ) =д««оРл«одл л, где д««, и дл,л — отображения перехода из карты (3/, й) в карту ®, й1) и из карты (У1,Ь1) в карту (У, Ь).
Отсюда следует, что (~'л «,)'(Ь~(Р)) = (д««,)'(Й(Я)) (Рл«)'(Ь(Р)) (дл,л)'(Ь1(Р)) т.е. матрица Якоби одного представления получается из матрицы Якоби другого представления умножением на две квадратные матрицы, являющиеся матрицами Якоби отображений перехода. В силу согласованности двух пар карт эти матриць1 являются невырожденными. Но при умножении произвольно" двух алгебр, т.е. является изоморфизмом этих алгебр. Существование изоморфизма двух алгебр позволяет отождествить эти алгебры, и мы можем сказать, что алгебра функций на цилиндре С вЂ” это алгебра гладких функций на Е~, периоди ческих по первому аргументу с периодом 2т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
