V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Еасательное расслоение и дифференциал 361 >кество касательных векторов в точке Р в и-мерное линейное пространство. Это линейное пространство называют касатпелькым пространстпвом к многообразию М в тачке Р и обозначают ТрМ (рис. 11.15). Рис. 11.15 Пример 11.17. Многообразие И" является и-мерным линейным пространством, Поэтому касательное пространство ТрИ", Р Е И", можно было бы отождествить с И".
Однако более удобна другая точка зрения. Касательный вектор к многообразию И" в точке Р по аналогии с геометрическими векторами можно интерпретировать как связанный вектор, имеющий фиксированное начало Р, поскольку различаются любые касательные векторы с разными точкал~и приложения. С" этой точки зрения касательное пространство к многообразию М в точке Р представляет собой множество связанных векторов с общим началом Р. Пример 11.18. Регулярнпя поверхность 5 является двумерным многообразием (см. пример 11.5).
Касательное пространство к многообразию 5 в произвольной точке Р б 5 можно етождествить с линейным пространством векторов, коллинеарных касательной плоскости к поверхности 5 в точке Р (см. пример 11.15). Пример 11.19. Пусть Е: С С И -+ И "— гладкая функЦИя многих переменных, определенная в области С. РассмотРим множество М решений системы нелинейных уравнений 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ Е(х) = О. Если ранг матрицы Яхоби Р'(х) функции,Р(х) вск) ду в М максимален и равен пг — и, то, согласно теореме 1!.1, множество М является п.-мерным многообразием. Еасатель ное пространство к многообразию М в произвольной точке Р можно отождествить с гг,-мерной плоскостью в Е'", заданнои системой уравнений т — (х,,...,х„,)(р, — к„) =О, а= 1,и1-п, (11.!м) Ю~ о .о о .г где Д вЂ” хоординагпные функции функции Е, х'1, ..., х",„ координаты точки Р в Е, а у1, ..., у„, — координаты произвольной точки в В"'.
Действительно, согласно теореме 11. И), е вектор ~ Е Е"' является касательным к многообразию М, которое можно рассматривать как подмножество многообразия Е, если ((Д) = О, г = 1, гп-и. Но запись равенств ~(~;) = О. г = 1, ги — гг, в координатах в В'" совпадает с (11 18). Пример 11.20. Найдем двумерную плоскость в пространстве В", с которой отождествляется касательное пространс пи) в точке 3 к пересечению трехмерной сферы Яз и трехмерной плоскости (11.15) из примера 11.16. Это пересечение удобн» представить как двумерное многообразие М, заданное в координатах хо, х1„хя, хз пространства Е4 системой уравнений хо+ х1 + х2+ хз 11 я 2 хо+ х1+ хя+ хз+ 1 = О.
Используя результаты примера 11.19 для многообразия М и его точки Р = 5 = ( — 1,О,О,О), получаем систему уравнений у.+1= О, уо+Ю1+ у2+ уз+1=О, которая задает искомую плоскость. 11.5. !касательное расслоение и дифференциал 363 Множество ТМ всех касательных векторов к многообразию М во всех его точках называют касатпельным расслоением этого многообразия.
Касательное расслоение и-мерного многообразия М рассматривают как гладкое многообразие размерности 2п, вводя системы координат на ТМ следующим образом. Пусть (О, Ь) — карта на многообразии М. Рассмотрим объединение ТГ = 0 ТРМ касательных пространств по всем точРИ1 кам носителя Г карты. Отображение Н: ТУ -+ Ж~" определим следующим образом: Н(Р® = (х1, ..., х„, а1, ..., а„), т.е.
объединив координаты х1, ..., х„точки Р Е У и координаты а1, ..., а„касательного вектора ~ в этой точке, вычисленные в локальной системе координат (У,Ь). Если (У,у) — другая карта, согласованная с (К Ь), то из формул (11.8) следует согласованность соответствующих карт касательного расслоения. Таким образом, атлас многообразия М позволяет построить атлас касательного расслоения ТМ этого многообразия.
Ставя в соответствие каждому вектору 4 Е ТМ его точку приложения, получаем гладкое отображение я". ТМ -~ М, которое называют естпестивенной проекцией насатпельноао расслоенил на многообразие. На случай гладкого отображения многообразий можно перенести понятие дифференциала функции многих переменных. Напомним, что если функция ~: С с Ж"-+ И, определенная в области С, дифференцируема в точке хо Е С, то ее дифференциал в этой точке имеет вид Ыу = ~'(хо)Ых, где ~'(жо)— матрица Якоби функции ~ в точке юо.
Это равенство, по существу, представляет собой запись линейного оператора, который вектору Ых ставит в соответствие вектор Ну = ~'(хо) Их. Пусть Р: М -+ Ф вЂ” гладкое отображение гладких многообразий М и Ф. Выберем карты (Г,Ь) и (У,й) на многообразиях М и М, накрывающие точки Р б М и Я = Р(Р) б М В ~тих картах отображение Е' будет записываться как гладкая :Функция многих переменных Р1,~ = йо г" оЬ '. Рассмотрим дифФеренциал этой функции в точке хо = Ь(Р). Этот дифференци- 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 364 Полученное равенство означает, что арифметический вектор й1, является координатным представлением касательного вектора к гладкой параметризованной кривой Ро ~ на многообразии Ж в точке Я. Значит, касательному вектору к параметризованной кривой т в точке Р рассматриваемый линейный оператор ставит в соответствие касательный вектор к параметризованной кривой Р0 т в точке Г(Р).
Это заключение коротко можно выразить следующим образом: если отображение,Р „перетаскивает" кривые с многообразия М на многообразие Ф, то линейный оператор переводит касательный вектор к параметризованной кривой в касательный вектор к ее образу при отображении Р. Такая интерпретация линейного оператора а1"р показывает что он действительно не связан с выбором каких-либо координат на многообразиях М и Ф. Линейный оператор аРР.. ТРМ -+ Тр(Р~И, построенный вы ше, называют дифференциалом гладково отпображенил 1 (или касатпельным отпобрамсением) в тпочке Р (рис.
1 ! ~ "~' ал определяет линейный оператор аРР, который касательному вектору ~ Е ТРМ с координатным представлением 4л в карте (У,Ь) ставит в соответствие вектор т1 е ТдФ, имеющий в карте (Ъ',Й) координатное представление ф = (Ру~,)'(хв)(у,. Оказывается, что построенный нами линейный оператор ЙРр иэ линейного пространства ТРМ в линейное простран ство ТдМ, Я = 1 (Р), не зависит от выбора карт (У, Ь) и ($~,й). Действительно, произвольный касательный вектор 4 Е ТрМ можно интерпретировать как касательный вектпор к некото рой гладкой параметризованной кривой "т на многообразии М, проходящей через точку Р = т(~0). В этом случае координатное представление (ь вектора ~ является касательным вектором (Ьо7)'(~в) к вектор-функции Ьо т.
Поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной функции, И,5. Квсвтельное расслоение и дифференциал Рис. 11.16 Теорема 11.11. Пусть Р: М -+ У вЂ” гладкое отображение многообразия М в многообразие У. Тогда для любой гладкой функции ~ Е С (Ф) верно тождество (игр~) ( ~) = ((~ о г ). (11.19) ~ Пусть касательный вектор ( Е ТрМ является касательным вектором к гладкой параметризованной кривой 7 в точке Р = = 7(~о). Тогда касательный вектор й= Нг р~ является касательным вектором к параметризованной кривой Ро7 в точке Р(Р).
Используя правило дифференцирования сложной функции, по- лучаем Ч(1) = У~ г 07) (~о) = (Уе~) е7) Ио) =(Дог). Понимая касательный вектор как линейную функцию на алгебре гладких функций, можем утверждение теоремы 11.11 переписать в виде игр~ = (о г (11.20) где Р' — индуцироеанное отображение, порожденное гладким отображением Р. Формулы (11.19) и (11.20) означают следующее. Чтобы найти производную функции ~ б С (Ф) вдоль образа Ир~ касательного вектора ( Е ТрМ при отображении Ир — дифференциале гладкого отображения Е': М -+ Ф вЂ” достаточно продиф- !!.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 366 где ~)~ и ф — координатные представления векторов ~ б ТРМ и т~ ~ Т~И, Я = Г(Р), х = ЦР), Ру,. = Йо РоЬ вЂ” координатное представление отображения Г в картах (У,Ь) и ($',й). 11з этого представления видим, что отображение йг' является гладким отображением многообразий ТМ и ТЖ. Его называют дифференциалом отпображенил Р'. Теорема 11.12.
Пусть Е М-+ Ж и С: Ф-~ К вЂ” гладкие отображения многообразий. Тогда Н(аог) = НСОНК (1! .21) я '.Это равенство достаточно проверить в фиксированной точке. Выберем произвольную точку Р и касательный вектор с б Е ТРМ. Существует гладкая параметризованная кривая ~ ня многообразии М, проходящая через точку Р, для которой вектор ( является касательным в точке Р. Ее образом при отображении Р является гладкая параметризованная кривая Р'о ), а образом Ро') при отображении 6' является гладка» параметризованная кривая 0 о Р о ~. Поскольку при гладко"' отображении касательному вектору к кривой соответствуег касательный вектор к образу этой кривой, то заключаем.
чт" Ф ференцировать вдоль касательного вектора ( образ функции ~ при индуцированном отображении Р™, переводящем функцин~ ~ в гладкую функцию на многообразии М. Пусть г: М -) Ж вЂ” гладкое отображение и-мерного много образия М в т-мерное многообразие Ф. Тогда в каждой точке Р ~ М определено отображение БАРР. ТРМ -~ Тс~Ж, Ч = ЦР) Следовательно, мы имеем отображение пг': ТМ -+ ТЖ каса тельного расслоения ТМ в касательное расслоение ТЖ.
Запишем его с помощью карты (Г,Ь) на многообразии М, накрывающей фиксированную точку Ро, и карты (Р,Й) на многообразии М, накрывающей точку чо — — Р(Ро): 367 11.6. Векторные поля на многообразиях и(а кК = даур0 = ус О йр)С Поскольку это равенство верно в любой точке Р для любого вектора ~ Е ТрМ, то верно равенство (11.21). ~ 11.6. Векторные поля на многообразиях Гладкую функцию на многообразии можно дифференцировать лишь вдоль какого-либо касательного вектора.
Если мы хотим дифференцировать функцию во всех точках многообразия, мы должны в каждой точке многообразия задать касательный вектор. Так мы приходим к понятию веюпориого по,юя иа многообразии. Согласно сказанному, векторное поле есть отображение, которое каждой точке Р многообразия ставит в соответствие касательный вектор с точкой приложения Р (т.е. любой точке соответствует „свой" вектор). Это отображение можно записать в виде Х: М -~ ТМ. Условие, что точке Р соответствует Касательный вектор из ТрМ, можно записать с помощью естественной проекции я касательного расслоения в виде я о Х = = Ым, где Ым — тождественное отображение многообразия М на себя. Если отображение Х: М -~ ТМ является гладким (и я'о Х = Ым), то его называют гладким векторным полем на многообразии М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
