V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Теорема 11.19. Пусть в локальных координатах х1, ..., х,-, на многообразии М гладкие векторные поля Х и У имеют вид и Х= а,—, дх; Тогда ~ху~ = ~~(,— '-~,— ') —. до; да; д Ы1 ~=1 (11.~8) 4 Чтобы вычислить координаты векторного поля [Х, У], отметим, что для произвольного векторного поля Х его значением Векторное поле [Х, У] называют коммутатором вемторкых волей Х и У. Выясним, как коммутатор векторных полей вычисляется в локальных координатах. 387 11.8.
Алгебрв Лн векторных полей Х(Д) на координатной функции Д(х1,...,х„) = х; является ~-я координатная функция Х. Действительно, Учитывая сказанное, выясним, как векторное поле [Х, У1 дей- ствует на координатные функции Д. Имеем 1(У) ( У)) ( У)) () ( ) д6; да; д6; да; Пусть векторные поля Х и У в некоторой локальной системе координат х1, ..., х„имеют координатные функции а1, ..., а„ и 61, ..., 6„соответственно. Рассмотрим векторные функции многих переменных Х(х) = (а1(х) ... а„(х)) и У(х) = = (61(х) ... 6„(х)), составленные из координатных функций векторных полей (здесь х = (х1, ..., х„) ). Тогда для векторной функции У(х) = (с~(х) ...
с„(х)), составленной из координатных функций векторного поля [Х, У], имеем Ы( ) = У'(х) Х(х) — Х'(х) У(х), (11.29) где Х'(х) и У'(х) — матрицы Яко6и функций Х(х) и У(х). Теорема 11.20. Коммутатор векторных полей обладает следующими свойствами: 1'. [Х, аУ +,8Я~ = а [Х, У~+,В [Х, Я], а,,В Е Е (линейность). 2'. [Х, У1 = — [У, Х) (антикоммутативность).
3'. ЦХ, У1, Я~+ЦУ, Я~, Х1+[[Я', Х~, У~ =О (тождество Якоби). Отсюда по найденным координатным функциям векторного поля [Х, У~ получаем равенство (11.28). Ь 388 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ ~ Доказательство каждого свойства состоит в проверке того, что левой и правой частям доказываемого равенства соответ- ствуют равные дифференцирования алгебры гладких функций на многообразии. ~ Линейное пространство А, в котором задана операция, удо влетворяющзя свойствам 1'-3', т.е. линейная, антикоммутативная, подчиняющаяся тождеству Якоби, называют алгеброй Яи. Сформулированная теорема утверждает, что линейное пространство гладких векторных полей на многообразии М с коммутатором векторных полей есть алгебра Ли.
Примером алгебры Ли может также служить линейное пространство 1'з свободных векторов с операцией векторного умножения. Дадим геометрическую интерпретацию коммутатора векторных полей. Пусть Х и У вЂ” векторные поля на многообразии М и Р Е М. Обозначим через (А,) и (В,) фазовые потоки векторных полей Х и У. Пусть 1 — достаточно малое число. Построим в точке Р интпегральную кривую у~(т) = А,(Р) векторного полл Х, из точки у1(1) = А~(Р) проведем интегральную кривую у~(т) = В,(А~(Р)) векторного поля Р. Затем из точки у~($) проведем интегральУз Уз® У~(Ф) ную кривую уз(т) векторного поля — Л, У2 а из точки уз(1) — интегральную кривую "~4(т) векторного поля — У.
Рассмотрим Ф) У1® отображение, которое числу Р ставит Р У~ в соответствие точку у4(~) (рис. 11.18). Рис. 11.18 Это отображение задает на поверхности М параметризованную кривую у(1), которую с учетом замечания 11.5 можно представить в виде У4~ уф) = (В, о А Ф о Ц о АФ)(Р) (11.30) Теорема 11.21. Вектор [Х,У)Р является касательным вектором к параметризованной кривой ~(~) в точке Р. ~ Выберем гладкую функцию ~ на М и рассмотрим гладкую функцию одного действительного переменного ~р(~) = А",(У) (Р). 11.8. Алгебра Лм векториых полей Согласно теореме 11.17, верны равенства ю'(О) = рА;(У)(Р)~ =ХУНР), у"(О) = —,А;(~)(Р)~ = — А;(Х(~))(Р]~ = Х(х(~))(Р). Следовательно, формула Тейюра функции (р(~) в окрестности точки ~ = 0 второго порядка имеет вид А;(~)(Р) = ЯР) + 1Х(~)(Р) + —,Х(Х(~))(Р) + о(1~).
(11.31) Так как равенство (11.31) верно для любой точки Р б М и любой функции ~, то мы можем записать следующее равенство отображений из С (М) в С (М): ~г А; =1+~Х+ — Х +о(~~). 2 Отсюда и из теоремы 11.5 с учетом представления (11.30) получаем ~(т(1 )) = /((В, о А ~ В~ о А,)(Р)) = =(В йоА ~оВс'Аю) (У)(Р) =(А, оВс оА,оВ с)(У)( ) ~2 ~2 = ((1+~х+ — х'+о(Р)) (1+а'+ — )" +о(Р)) ° ~2 ~2 (1- Х+! — Х1+ (')).(1- у+ —,у1+0(2)))(!)(Р).
(11.32) Раскроем скобки в последнем выражении равенства (11.32). Учитывая только слагаемые второго порядка малости относительно 1, получим ~( ) ф)) = (1 + ~2Х о ~~ — ~2~ о Х + оф)) ( ~) (Р) = = ДР)+ Р[ХУУ)(Р)+ ь(~'). 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ Заменяя Р на т, находим производную функции 1 вдоль каса- тельного вектора ( к кривой т в точке Р: Отсюда следует требуемое равенство ( = ~Х, У1 Р Согласно доказанной теореме, коммутатор векторных полей с геометрической точки зрения характеризует степень разомкнутости четырехугольника, получающегося при последовательном смещении на одну и ту же величину вдоль полей Х,У,— Х,— У (см.
рис. 11.18). Теорема 11.22. Пусть Х и У вЂ” гладкие векторные поля на многообразии М, причем векторному полю Х соответствует фазовый поток (А1). Тогда [У, Х[ = — ИА~ [У) ~ д М Фиксируем функцию У и, как при доказательстве теоремы 11.21, используем равенство отображений А, = 1+ $Х+ о(1), которое следует из формулы Тейлора первого порядка для функции д(~) = А;(~)(Р).
Используя также теорему 11.15 и свойство 6' из теоремы 11.16, получаем йА1(У) = А', о У о А*, = (1 — ~Х+ о(~)) о У о (1+ 1Х + о(1)) = = У+1У Х вЂ” 1Х У+0И) = У+11У,Х1+0($). Отсюда следует утверждение теоремы. ~ Векторные поля Х и У называют коммутпирующими вектиорными полями, если 1Х, У] = О. Теорема 11.23. Векторные поля Х и У коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их фазовые потоки (А1) и (В1), т.е. А1оВ, =В,оА1, 1,т~й. 391 1!.8. Алгебра Ли векторных полей 'у(Й ) = (В ~оА ~оВа'Аа)(Р) =(В-соВс'А с'Аа)(Р) = Р.
Отсюда следует, что касательный вектор к кривой 7 в точке Р есть нулевой вектор, т.е. 1Х, У)р — — О. Так как точка Р Е М может быть выбрана произвольно, то 1Х, У~ = О. Пусть теперь 1Х,У) = О, Согласно свойству 5' из теоремы 11.16 и равенству (11.21), имеем — ИА~ ()') ~ = — Ы(А„о А...) ()") ~ и = — (<ЕА„ок(А, „)()')/ =НА,, — аЕАа ац(Ъ')! ). Заменяя ~ — ~о на т и используя теорему 11.22, получаем — ИА~(У)~ = НА~,( — ИА,()')~ ) = ИА~,((У,Х)) = О. Так как ~о — произвольное значение, то производная семейства полей ЫА~(У) по 1 тождественно равна нулю. Следовательно, тождественно равна нулю производная функции (р(1) = = (сЮА~(У)) (~)(Р) — У(~)(Р), где ~ — произвольная функция, Р— произвольная точка.
Таким образом, функция (р(1) есть решение задачи Коши (11.33) Но эта задача Коши имеет единственное решение — нулевое [И11]. Следовательно, у(1) = О. Поскольку функция (' и точка ~ Пусть фаэовые потоки (АД и (В~) векторных полей Х и У коммутируют. Фиксируем точку Р. Вектор 1Х, У1р является касательным вектором в точке Р к кривой ~, построенной по четырем фазовым потокам (см. теорему 11.21). Используя свойство коммутирования фазовых потоков А 1 и В~, для любого 1 получаем И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ Р произвольные, то дА~(У) = У. Значит, в силу теорем 115 и 11.15 А; о У = А; о сЕАю(У) = А; о (Аю ) о У о А = (А, ~ о А~) оУоА; = УоА;, (11.34) так как индуцироеанное отображение к тождественному отображению (А, ' о А~) само является тождественным. Вновь фиксируем функцию ~, точку Р на М и число ~.
Рассмотрим функцию ф(т) = (А, о В, о А; о В,) ( ~)(Р) — ~(Р). Используя (11.26) и (11.34), получаем — ф(т) = — (А ~ о В о У о А~~ о В )(~)(Р) + т + (А' ~ о В о А~ о У о В„'.)(Д)(Р) = О. Таким образом, функция Ф(т) также является решением задачи Коши (11.33) (с заменой ~ на т), а значит, ~(т) = О. Используя полученное тождество и теорему 11.5, выводим (А,оВо)*(~) =(А,оВ,) ((А', В',оА,"оВ;)(~)) = = (В, о А, о В, о А, о А, о Вт)'(Я. Так как функция ~ произвольна, то из последнего равенства функций следует равенство отображений: АсоВ = В оА~оВ-тоА-соАсо Вт Отсюда, используя свойства 1' и 5' фазового потока (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
