V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Мы будем рассматривать только глад"ие векторные поля. Множество всех гладких векторных полей "а многообразии М будем обозначать через 7)(М). Значение екторного поля Х в точке Р многообразия будем обозначать через Хр. вектор Н'~ является касательным вектором к кривой Ро~, а вектор (дСодГ)с. — касательным вектором к кривой Со Р'о'у, образу ~ при отображении Со Г. Так как в то же самое время кривая Со Ро~ есть образ кривой Р'о ~ при отображении 6, получаем равенство ! 3. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 368 х1 — — и1 (х1,...,х„), Хп — ип(Х11 1Хп) ~ а1 — — и1(Х1,...,Хп) ап = Ю„(Х1,...,Хп). Условие ттоХ = ЫМ означает, что функции и; совпадают с координатными функциями карты, т.е.
и;(х1,...,х„) = х;, 1= 1, н. Поэтому первые п координатных функций в координатной записи векторного поля являются фиктивными (несущественными), а векторное поле полностью определяется функциями а1, ..., а„, которые называют координатпными функт4иями вектпорноео пол,я Х. Очевидно, что гладкость векторного поля равносильна гладкости его координатных функций.
На множестве У С М определены такие векторные поля Х;, 1= 1, и, что векторное поле Х; каждой точке Р Е У сопоставляет вектор, который в карте (КЬ) имеет координаты (О, ..., О, 1, О, ..., О) (единица находится на 1'-м месте). Введем для таких векторных полей, заданных локально, лишь в рамках одной карты, обозначения Х; = —, 1=1, и, и будем называт" 1 координатными вектпорными по*ами, соответствующим" Пусть Х вЂ” гладкое векторное поле на многообразии М и (КЬ) — некоторая карта на этом многообразии.
Обозначим через х1, ..., хп хоординатиы тлочки многообразия в локальной системе координат Щ Ь), а через а1, ..., а„— координаты на сательного вектора. Тогда совокупность х1, ..., х„, а1, . ° °, а„ будет представлять собой координаты точек касательного рас слоения ТМ, принадлежащих множеству ТУ = 0 ТРМ. Век Реи торное поле Х как гладкое отображение нз М в ТМ в ука занных координатах будет записываться с помощью гладких координатных функций: 11.6. Векторные поля на многообразиях карте (КЬ). Тогда векторное поле Х с координатными функ- циями а1, ..., а„можно записать следующим образом: д д Х = а1(х1,...
„х„) — + а~(х~,...,х„) — +... дх~ '* дх~ д д ...+а„(х|,...,х„) — =~) а;(х1,...,х„) —. (!).24) д Таким образом, векторные поля — являются базисом во мноа, жестве всех гладких векторных полей в рамках фиксированной карты, а координатные функции векторного поля являются коэффициентами разложения по этому базису. Пусть Х вЂ” векторное поле, а ~ — гладкая функция на многообразии М. В каждой точке Р Е М можно определить производную Хр® функции ~ вдоль касательного векторп Хр.
Производная функции по направлению касательного вектора— число. Поэтому мы получили новую функцию ~р(Р) = Хр(~) на многообразии М, которую называют производной фуикции ~ вдоль вехтпориоао пол,я Х. Выбрав некоторую карту (КЬ) на многообразии М, мы можем записать значение Хр(~) для точек Р Е Г производной функции ~ вдоль касательного вектора Хр согласно предста; влению (11.12) в следующем виде: Хр(~) = (~о Ь 1)'(Ь(Р))(Хр)),, где (Хр)), — координатное представление касательного вектора Хр. Из этого представления вытекает, что функция у(Р) = = Хр® является гладкой. Действительно, если х1, ..., х„— "оординаты на многообразии М, порожденные картой (КЬ), то координатное представление ~д = ~оЬ ' гладкой функции У есть гладкая функция переменных х1, ..., х„, а векторное "оле Х может быть записано с помощью гладких функций 11.
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 370 а;(х~,..., х„) в виде Х = ~а;(х~,...,х„) —, д "' "дх Поэтому функция у дЬ ~р(х~,..., х„) = Г а;(х~,..., х„) — (х~,..., х„), дх, дЬ Х(~) = Га;(х~,...,х„) — (х~,...,х„). дхг (11.23) д В частности, для координатного векторного поля Х; =— д~:, получаем простую формулу Х;(~) = —. дЬ дх; Эта формула и служит основанием для обозначения координат- ных векторных полей символом частной производной. Теорема 11.13.
Пусть Х вЂ” векторное поле на многообразии М. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) Х вЂ” гладкое векторное поле; 2) в любой локальной системе координат х~, ..., х„вектор ное поле Х определяется равенством (11.22), где а;(х~,...,хв) г = 1, в, — гладкие функции; 3) для любой гладкой функции ~ Е С"(М) функция Х® также является гладкой. являющаяся координатным представлением функции ХР®, есть гладкая функция многих переменных. Значит, и сама функция Кр(Д) на многообразии М является гладкой. В карте для производной гладкой функции ~ вдоль векторного поля Х имеем 11.б. Векторные поля на многообразиях 371 М Эквивалентность условий 1 и 2 уже была доказана выше. Выше также было отмечено, что для гладкой функции ~ и гладкого векторного поля Х функция Х(У) также является гладкой, т.е.
что из условия 1 следует условие 3. Таким образом, остается доказать, что из условия 3 вытекает условие 1 или условие 2. Итак, пусть выполнено условие 3. Выберем произвольную точку Р и докажем, что в некоторой карте, накрывающей точку Р, координатные функции векторного поля являются гладкими. Выберем произвольную карту (У,Ь), накрывающую точку Р. Тогда существует такое число я) О, что замкнутая 2е-окрестность ЩЬ(Р),2е) точки Ь(Р) в И" целиком попадает в область Ь(0) — образ множества У при отображении Ь. Можно показать, что существует такая бесконечно дифференцируемая действительная функция одного действительного переменного фй), которая удовлетворяет условиям у(й) = О при 8 < О и у(1) = 1 при ~ > 1 и является возрастающей.
Функция д(х) = ~.т — 6®~ ~ = у 2 — " ), х Е И", определена в И" и является гладкой, причем д(х) = 1 при х Е ЩЬ(р),е) и д(х) = О при х ф 1.1(Ь(р),2е). Пусть х~, ..., х„— локальные координаты, соответствующие карте (О, Ь), и $~ — прообраз окрестности ЩЬ(Р), я) точки Ь(Р) ~= И" при отображении Ь, т.е. 1~ = Ь '(13(Ь(Р),е)). Рассмотрим г-ю координатную функцию х; отображения Ь. Функция Д(Я) = х;(Ч)д(Ь(Я)) определена на множестве У, причем на множестве ~ она совпадает с функцией х;, а на множестве У ~Ь ~(У(Ь(Р),2е)) она обращается в нуль.
Можно показать, что, доопределив функцию Д на М ~ У нулевыми значениями, мы получим гладкую функцию на многообразии М. Таким образом, на многообразии М существует такая гладкая функция Д, которая на множестве ~ совпадает с координатной функцией х; отображения Ь. В системе координат х~, ..., х„ ®а множестве $~ представление (Д)а функции д имеет вид (Л)ь(х~,...,х„) = х;. Обозначив координатные функции векторного поля Х через а~, ..., а„, заключаем, что Х(Д) = а; 372 И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ в окрестности $' точки Р.
По предположению, производная любой гладкой функции ~ вдоль векторного поля Х является гладкой функцией. Значит, функции а;, г = 1, и, являются глад кими в окрестности точки Р. Поскольку карта (У,Ь) и точка Р выбирались произвольно, приходим к выводу, что из условия 3 вытекает условие 2.
° Теорема 11.14. Любое гладкое векторное поле Х обладае1 свойствами: 1'. Х(Л~+рд) = ЛХ(~)+иХ(д)1 Л) ~и б Ж, У) д Е С'х'(М). 2'. ХЦд) = УХ(д) + Х(У)д У д Е С" (М). Любое отображение В: Соо(М) -+ С~(М), обладающее указанными свойствами, порождается некоторым гладким векторным полем Х, т.е. функция В(Д) есть производная функции ~ вдоль векторного поля Х. ~ Первое утверждение теоремы вытекает из теоремы 11.8, так как речь идет о проверке свойств в каждой точке многообразия, которую можно считать фиксированной. Поэтому остановимся на доказательстве второго утверждения. Любое отображение В: Соо(М) -+ Соо(М) в каждой точке Р б М определяет отображение Вр(~), которое функции У Е б С (М) ставит в соответствие число, равное значению функции В(~) в точке Р, т.е.
Вр(~) = (В(~)) (Р). Если отображение В обладает свойствами 1' и 2', указанными в формулировке теоремы, то для любой точки Р Е М отображение ВР является дифференцированием в пьочке Р. Дифференцирование в точке, согласно теореме 11.9, есть дифференцирование вдоль некоторого касательного вектора в этой точке.
Значит, в каждой точке Р Е М определен касательный вектор Хр Е ТРМ т.е. на многообразии М задано векторное поле Х. Условие. что отображение В любой гладкой функции ставит в соответствие гладкую функцию, означает, что производная Х(Д) любой гладкой функции вдоль векторного поля Х является гладкой. Согласно теореме 11.13, векторное поле Х гладкое. Р' 373 11.Б, Векторные иаа» на многообразиях Отображение Х: С"'(М) + С" (М), обладающее свойствами 1' и 2' из теоремы 11.14, называют дифферезщированием влее6ры С '(М). Свойство 1' означает, что дифференцирование алгебры является линейным оператором, действующим на этой алгебре. Свойство 2' определяет дополнительные свойства % этого линейного оператора. Согласно теореме 11.14, понятие гладкого векторного поля на многообразии и понятие дифференцирования алгебры гладких функций на этом же многообразии можно отождествить, заменяя в случае необходимости одно другим.
На множестве Р(М) гладких векторных полей на многообразии М можно ввести операции сложения векторных полей и умножения векторного поля на гладкую функцию. Суммой Х+ У векторныа полей Х и У называют векторное поле, которое каждой точке Р Е М ставит в соответствие касательный вектор Хр+1р, т.е. по определению (Х+ У)р = Хр+ Ур. Произведением 1 Х вектпорноео полл Х но гладкую фунгщию ~ называют векторное поле, которое каждой точке Р б М ставит в соответствие касательный вектор ~(Р)Хр, т.е.
по определению (~Х) р = ~(Р) Хр. Нетрудно убедиться, используя координатную запись, что сумма двух гладких векторных полей является гладким векторным полем, произведение гладкого векторного поля на гладкую функцию есть гладкое векторное поле. Более того, если в карте (ЦЬ) векторные поля Х и У имеют координатные записи 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 374 а функция ~ 6 С~'(М) представлена функцией Ях1,...,х„), т! и д Х + 1' = ~ (а, (м~,..., х„) ~ 6;(х|,..., ж„)) —, ! 1=1 П 1 д ХХ = ~ ~яж1,..., л„) а;(х1,...,х~)1 —, ~ дх; т.е. при сложении векторных полей их координатные функции складываются, а при умножении векторного поля на функцию координатные функции умножаются на эту функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
