V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ самом деле достаточно указать координаты лишь в одной локальной системе координат. Тогда его координаты в другой системе координат можно вычислить по формулам (11.8). Рассуждения, приведенные выше, показывают, что касательный вектор можно задать следующим образом. Выберем на многообразии М какую-либо гладкую параметризованную кривую 'у: (а, 6) -+ М, проходящую через точку Р = Яо). Для каждой системы координат (0,Ь) в окрестности точки Р рассмотрим набор координат вектора (Ьо ~)'(~о) в Е".
Тогда получим соответствие между всевозможными системами координат и наборами из а чисел, причем при изменении системы координат набор чисел будет меняться в соответствии с формулами (11.8). Другими словами, любая гладкая параметризованная кривая, проходящая через точку Р, определяет в точке Р касательный вектор. Этот вектор называют касашеаьиьюм вектором к гладкой параметириэованмой кривой у: (а,6) -+ М на многообразии М в точке Р. Рассмотрим гладкую параметризованную кривую ~: (а,6) — ~ -+ М и гладкую взаимно однозначную функцию ~: (с,а) -~ (а,6).
Композиция ~ о ~: (с, И) -+ М представляет собой вторую гладкую параметризованную кривую, образ которой совпадает с образом кривой ~. Переход от параметризованной кривой ~ к параметризованной кривой ~ = ~о~ будем называть заменой параметра кривой. Замена параметра изменяет касательный вектор к параметризованной кривой в заданной точке Р. Действительно. рассмотрим параметризованную кривую у (а,6) -+ М на многообразии М и для нее замену параметра ~: (с,а) -~ (а,6). Пусть Р='у($о) и ~о — — Дто). Если (У,Ь) — какал-либо система координат в окрестности точки Р, то касательный вектор в точке Р к параметризованной кривой ~ в этой системе координат представлен вектором (Ьо у)'($о).
В результате замены параметра получаем параметризованную кривую ~ = '~ о ~, касательный вектор к ней в точке Р представлен вектором (Ьо у)'(то). 347 11А. Касательные векторы силу правила ди44еренцирования сложной функции имеем (607) (то) = (Ь07 Ой (то) = (607) (го) У (то). Следовательно, при замене параметра касательный вектор к параметризованной кривой умножается на действительное число и преобразуется в вектор, коллинеарный исходному. В частном случае, когда ~'(то) = 1, касательный вектор остается неизменным. Отметим, что ненулевой касательный вектор к параметризованной кривой можно преобразовать в любой коллинеарный вектор, подобрав соответствующую замену параметра.
Действительно, если 4 — касательный вектор к параметризованной кривой 7(1) в точке Р, то касательный вектор А~ является касательным вектором к параметризованной кривой 7(Л$). Х1 — Х1 +(11 о ха = хп+6з~. о Значению параметра ~ = О соответствует точка в Е" с координатами хо, ..., х'„', т.е. точка Ь(Р). Так как Ь(У) — открытое множество в И", содержащее точку Ь(Р), то существует такой интервал (11, $~), содержащий нуль, образ которого при отобра4~ении о целиком попадает в ь(У), т.е. и(1) е ЦУ) при 1 б (~1 ~я).
Теорема 11.6. Любой касательный вектор к многообразию М в точке Р является касательным вектором к некоторой параметризованной кривой на М в точке Р. ~ Пусть ( — касательный вектор к многообразию М в точке Р. Выберем произвольную систему координат х1, ..., х„, определяемую картой (У,Ь), накрывающей точку Р, и пусть х~~, ..., хо — координаты точки Р в выбранной системе координат, а 6, ..., 4„— координаты касательного вектора ~. Рассмотрим Вектор-функцию о(1) вида 348 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ Композиция функций ~ = й 1 оо, рассматриваемая на интервале (11,$~), представляет собой параметризованную кривую на М, для которой у(0) = Р.
Так как о(1) — гладкая вектор-функция, эта параметризованная кривая является гладкой. В системе координат (У,Ь) параметризованная кривая ~ представляется как вектор-функция ю(1), а координатами касательного вектора к ~ в точке Р являются координаты вектора о'(8), т.е. ~~, ..., ('„. Значит, касательным вектором к у в точке Р является вектор ('. > Пример 11.16.
а. Пусть многообразие М есть область в И". Атлас на М можно выбрать из единственной карты (М„7), где Л М -+ М С В вЂ” тождественное отображение. Рассмотрим произвольный касательный вектор,~ в точке Р к многообразию М. По теореме 11.6 он является касательным вектором к некоторой гладкой параметризованной кривой 7: (~1,~р) — ? М в точке Р= у(~0).
Вектор (1о у)'(10) является координатным представлением вектора ( в системе координат (М,.7). Но поскольку отображение,У является тождественным, то вектор ( можно отождествить с производной ~'(10) вектор-функции у. Таким образом, в рассматриваемом случае касательные векторы к многообразию М вЂ” это произвольные векторы в И б. Рассмотрим график Г(~) бесконечно дифференцируемой на интервале 0 = (ю1, жз) функции у = ~(х) одного переменного.
Согласно примеру 11.8, множество Г(~) является многообразием, атлас на котором можно составить из одной карты (Г(~), Ь). где Ь вЂ” проекция множества Г(~) на ось Ох, т.е. Цх,у) = х. Согласно определению, любой касательный вектор ~ в точк~ Р Е Г(~) в заданных координатах на многообразии представляется одним числом. В результате между множеством действительных чисел и множеством касательных векторов установл~" но взаимно однозначное соответствие. Геометрическое представление функции графиком позволяет дать удобную интерпретацию понятия касательного вектор~ 349 И.4. Касательные векторы к многообразию Г(~~).
Представим множество Г(~) как параметризованную кривую с помощью вектор-функции у(х) = = (х, у(х)), х б О. Любой касательный вектор ~ в точке Р = = (хо, Дхо)) можно интерпретировать как касательный вектор к гладкой параметризованной кривой у на Г(~), которая представляет собой отображение у: (Ф1, $~) -+ Г(~) в точке Р = у(1о). В заданных координатах касательный вектор к этой кривой имеет представление ~ = (Ь о у)'(~о). Гладкость параметризованной кривой 7 на многообразии Г(у) означает, что гладким является отображение 7 как отображение интервала ($1, $2) в Вз. Действительно, это отображение является композицией гладких отображений Ь '(х) =у(х) и Ь о у (первое является гладким в силу бесконечной дифференцируемости функции ~, второе — в силу гладкости кривой у), При этом т Поскольку вектор д'(хо) = (1 ~'(хо)) является фиксированным, естественно отождествить каждый касательный вектор, имеющий координатное представление (Ь о'у)'($о), с вектором 'у'(1о).
Но последний в силу свойств вектора у'(хо) коллинеарен гсасатпельной к графику Г(~) функции у = у(х) в точке Р. Итак, мы заключаем, что касательный вектор к многообразию Г(у) в точке Р можно рассматривать как вектор, лежащий на касательной к графику функции у = у(х) в этой же точке. Абстрактное понятие касательного вектора к многообразию 'приобрело вполне конкретную реализацию. Отметим, что такую интерпретацию можно распространить на более общий случай дифференцируемой функции. Однако если функция У = ~(х) не является дифференцируемой в точке хо е О, то ее график по-прежнему является гладким многообразием (см.
пример 11.8), в то время как касательная к графику функции в точке (хо, у(х)) не существует. В этом случае связь между касательными векторами к многообразию и касательной к граФику теряется. п. теория многооиглзий 350 Рис. 11.14 Из определения 11.5 трудно выяснить геометрические свойства касательного вектора, Например, касательный вектор к поверхности связан с линейным приближением поверхности касательной плоскостью, но из определения касательного вектора к многообразию такое заключение сделать трудно. Две гладкие параметризованные кривые 71'.
(а1,61) -~ М и ур. (ар, бя) -~ М, проходящие через точку Р = 71(~1) = 'у~(~я) назовем соприкасающимися кривыма, если в какой-либо системе координат (У,Ь) в окрестности точки Р выполнено соотношение ~(Ьо у1)(11+А|) — (Ьо у2)($2+Ь1) ~ =о(Ь$) при Ь|-+О. (11.9) в. Регулярная поверхностпь 5 в пространстве, которая задана гомеоморфизмом Е: С ~ Ез, где С С И~ — некоторая область, является многообразием (см.
пример 11.5). Атлас на этом многообразии можно построить из единственной карты (М,Ь), где М = Р(С) и есть собственно поверхность Я, а. Ь = Р ' — отображение, обратное к отображению Е. Как и в предыдущем случае, гладкая параметризованная кривая на многообразии является гладкой параметризованной кривой в Вз. Поэтому касательный вектор в данной точке Р многообразия можно интерпретировать как касательный вектор к кривой в Вз (рис. 11.14).
Все такие векторы расположены в касательной тмоскости к поверхности 5 в точке Р. В этом случае мы можем отождествить понятия касательного вектора к многообразию и вектора в касательной плоскости к поверхности.:ф 11 А. Касательные векторы 351 Теорема 11.Т. Две гладкие параметризованные кривые 71 и 72 на многообразии М, проходящие через точку Р, соприкасаются в этой точке тогда и только тогда, когда касательные векторы к кривым 71 и 7о в точке Р совпадают.
° Пусть |1 и ~р — значения параметра у параметризованных кривых у1 и у2, соответствующие точке Р. Выберем в окрестности точки Р некоторую локальную систему координат (У, Ь). Вектор-функции Ь о 71 и Ь о 7о представляют параметризованные кривые 71 и 7т в выбранной системе координат (У,Ь) и являются дифференцируемыми соответственно в точках 1~ и ~~. Поэтому верны равенства (Ь 7 )(~1+ Ь|) — (Ь у )(~1) = (Ь 7,)'(~,)~~+ ~,(Ь~)Ь~, (Ь 7 И~2+~~)-(Ь 71)(~) =(Ь 7)'(~.)~и+ (Ь~)~Ю, где а1(Ь|) и а2(Ь1) — бесконечно малые вектор-функции при Ь8-+ О. Вычитая из первого равенства второе и учитывая, что (Ь о 'у1) (Й1) = (Ь о 'у2) (Й2) = Р, получаем (Ь о 71) (~ ~ + ~~) — (Ь о 7~) ($~ + ~$) = = ((Ь ~1)'(~1) — (Ь ~1)'Щ)Ж+а(Ы)Ж, ~11.10) где а(Ь|) = а1(Ь|) — е2(Ь|) — бесконечно малая вектор-функция при Ь|-+ О.
Если параметризованные кривые 71 и 72 имеют один и тот же касательный вектор в точке Р, то (Ьо71)'(й~) = (Ьо72)'(й~) и, следовательно, (Ьо71)(~1+~~) (Ьо72)(~2+~~) = с~(~~)~)~~. Значит, !(Ь 71)(~ +Ь~)-(Ь 7)(Ь +Ь|)!= = ~а(Ь1)~Щ = о(Ь|) при Ь8-+ О.
Следовательно, кривые соприкасаются в точке Р. ! 1, ТЕОРИЯ ИНО1'ООБРЛЗИЙ Если кривые ~1 и ~я соприкасаются в точке Р и для них верно равенство (11.9), то верно и равенство (Ь о'у1 ) (11 + Ь|) — (Ь о 72) (~2 + '~~~) = о~ (~~)~~~ с некоторой бесконечно малой вектор-функцией а(Ь|). Н~ тогда иэ равенства (11.10) вытекает, что при Ь| ф 0 Р ъ)'(~ ) — (~ ъ)'( ) = Ж~~) — (~|).
где левая часть равенства не зависит от Ь|, а правая часть является бесконечно малой при Ь| -+ О. Такое равенство возможно лишь при (й'у,)'(~,) = (и.'у,) (~,), т.е. когда касательные векторы к параметризованным кривым Ъ и у2 совпадают. ~ Множество всех гладких параметризованных кривых на многообразии ЛУ, проходящих через точку Р, распадается на не пересекающиеся классы попарно соприкасающихся кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
