V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Параметризованные кривые из одного класса имеют один и тот же касательный вектор, в то время как параметризованные кривые разных классов не являются соприкасающимися и имеют разные касательные векторы. Касательные векторы к многообразию в точке Р оказались во взаимно однозначном соответствии с классами соприкасающихся кривых. Поэтому их можно отождествить. Напомним, что касательный вектор был определен как отображение, которое каждой карте в окрестности точки Р ставит в соответствие упорядоченный набор чисел.
Такое отображение можно определять по-разному, например так. Выбираем класс соприкасающихся параметризованных кривых в точке Р и в нем некоторую кривую у, для которой Р= ~(й0). Каждой карте (У,Ь) ставим в соответствие вектор (Ь 7)~(~0) Е Е". Нетрудно увидеть, что описанное соответствие определяет касательный вектор к многообразию М в точке Р а именно касательный вектор к кривой у в точке Р. Итак. 11.4. !касательные векторы У1,(х1'МЛ (11Л1) где Д(х1») — матрица Якоби функции ~1, в точке хр = Ь(Р), Это число можно было бы назвать производной функции У вдоль вектора (~. Такая производная отличается от ироюводной функции по направлению вектора ~1, лишь числовым множителем ~Я (см.
теорему 5.1). Оказывается, что число фхрм1„полученное по представлениям функции и вектора в карте (У,Ь), от выбора карты не зависит, а определяется лишь функцией ~ и касательным вектором (. Значит, зто Ф число можно записать в виде Я~). Действительно, вектор ~ можно интерпретировать как касательный вектор к некоторой гладкой параметризованной кривой у, проходящей через точку Р= у(~о). В этом случае (л = (Ьо у)'(~р) и, согласно правилу дифференцирования сложной функции, ®) — (1 о Ь ) (хр)(1, = = У ~ Ь ')'(х1 ) (Ь ~ 7) Ио) = (У '7) (~о). (11.12) ПОлученное представление не связано с выбором карты. Обозначим координаты на многообразии М, заданные картой (У, Ь), через х1, ..., х„, и пусть Р = (х1, ..., х~), а касатель-®~4й вектор ( в точке Р к многообразию М имеет координаты можно сказать, что касательные векторы к многообразию М в точке Р и классы параметризованных кривых, соприкасаю1цихся в точке Р, — одно и то же.
Интерпретация касательного вектора как класса соприкасающихся кривых составляет суть геометрического подхода к определению касательного вектора. На многообразии М рассмотрим касательный вектор ~ в точке Р. Пусть 1 Е Г" (М) — произвольная гладкая Функция на М. Выберем карту (КЬ), накрывающую точку Р. Тогда в этой карте функция 1 будет представлена скалярной функцией многих переменных ~д = ~ о Ь ', а вектор ~ — некоторым н-мерным вектором ~ь. Рассмотрим число 11.4. Касательные векторы Оказывается, что это обобщение на самом деле фиктивное: дифференцирование в точке всегда является дифференцированием вдоль некоторого касательного вектора.
Теорема 11.9 . Пусть 0 — дифференцирование в точке Р на многообразии М. Тогда в точке Р существует, и притом единственный, касательный вектор ~, для которого 0~Д) =4(~), У Е С~~М) 4 Согласно сформулированной теореме, множество дифференцирований в точке Р многообразия М и множество касательных векторов в этой точке находятся во взаимно однозначном соответствии. Это значит, что можно те и другие отождествить и считать, что касательный вектор в точке Р и операция дифференцирования в точке Р— одно и то же. Указанное отождествление реализует третий подход к понятию касательного вектора, который естественно назвать алгебраическим. Пусть х1, ..., х„— локальные координаты, заданные картой, накрывающей точку Р многообразия М, ~ — касательный вектор к многообразию М в точке Р, имеющий координаты а1, ..., а„.
Тогдаоперация дифференцирования в точке Р, определяемая этим касательным вектором, может быть записана в виде где хо„ ..., хо — координаты точки Р в выбранной системе Координат. Опустим в этом равенстве упоминание функции ~: ° Д ~=~а,— дх; Эта запись имеет двоякий смысл. Во-первых, такая запись указывает на интерпретацию касательного вектора как опе- Доказательство этой теоремы см., например: Сяернбере С.
11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ д рации дифференцирования: обозначение — используют для д~. операции вычисления частной производной. В нашем случае это обозначение указывает на операцию дифференцирования вдоль касательного вектора с координатами О, ..., О, 1, О, .", О (единица отвечает ~-й координате), т.е. базисного вектора в И", и соответствует вычислению частной производной скалярной функции. Во-вторых, рассматриваемую запись можно интерпретировать как разложение вектора в базисе, элементы д ~ которого обозначены через — ~ дх, ~р* Итак, освещены все три интерпретации касательного вектора.
Каждая из трех интерпретаций: координатная, геометрическая и алгебраическая — имеет свои преимущества. Конкретную интерпретацию выбирают исходя из особенностей решаемой задачи. Координатная интерпретация, взятая в качестве определения касательного вектора, удобна для непосредственных вычислений и позволяет установить связь г дифференциальным исчислением функций многих переменных.
Геометрическая интерпретация придает понятию касательного вектора наглядный геометрический смысл и удобна при теоретическом анализе задачи. На основе этой интерпретации. как правило, вводят новые понятия. Наконец„алгебраическая интерпретация устанавливает связь теории многообразий с алгеброй, позволяет упростить формулы и удобна для доказательства различных утверждений.
Пусть М вЂ” некоторое подмножество многообразия М и Р б № Будем говорить, что касательный вектор ( к М в точке Р является касателъмым к подмножестпву Ф на мновоо6разии М, если он является касательным вектором к некоторой параметризованной кривой, образ которой цели ком лежит в множестве № Остановимся на случае, когда подмножество М может быть задано как подмножество все" точек многообразия М, удовлетворяющих системе уравнени" ЯЯ) = О, ~ = 1, Й, где Д вЂ” гладкие функции на многообР" зии М. 357 11.4.
Касательные векторы Теорема 11.10. Пусть подмножество Ж С М задано системой уравнений ЯЯ) =О, ~=1,Й, где Д вЂ” гладкие функции на. многообразии М. Если касательный вектор ~ в точке Р Е М является касательным к подмножеству М, то ((Д) = О, ~ = 1, Й. Наоборот, если 4(Д) = О, ~ = 1,Й, причем для некоторой системы координат (У,Ь) в окрестности точки Р ранг матрицы Якоби системы функций ~1 о Ь ~, ..., ~1, оЬ ' в точке Ь(Р) е Е В" максимален и равен Й, то вектор ( является касательным к подмножеству У.
° Пусть касательный вектор ~ касается подмножества Л в точке Р. Тогда существует параметризованная кривая у: (и,0) + -+ М на многообразии М, у которой образ включен в М, а Ф касательный вектор в точке Р=7(~о) есть вектор 4. Для произвольной функции ~ Е С (М) на интервале (а,6) определена функция одного действительного переменного ~о у, причем эта функция дифференцируема и, согласно (11.12), ~(~) = =(~~'у)'(1о). Так как кривая 'у целиком включается в М, то Д у = О, г = 1, Й. Отсюда заключаем, что ДД) = Яо «) (10) = О, ~ = 1, 1с Доказательство обратного утверждения проще провести в „координатном" стиле. По условию теоремы ранг матрицы '"' " ) для системы функций Д в некоторой системе д~~ координат х1, ..., х„в окрестности точки Р, имеющей координаты хо, ..., хо, равен Й.
Выберем в этой матрице базисный иинор и для упрощения выкладок предположим, что он располоЖен в первых lс столбцах матрицы. По теореме о неявной функции система уравнений Ях1, ...,х„) = О, ~ = 1, й, описывающая подмножество М, в некоторой окрестности точки (х1~, ..., хо) эквивалентна системе вида (11.14) 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ у;(х~+, +а~,.+1|,...,х„+а4), г'= 1, Й! О 0 х;(1) = х +аА ~= 1+1, п. Непосредственной проверкой убеждаемся, что зта кривая ле- жит на множестве Ж, проходит через точку Р (при 1 = 0) и касается вектора (. ° Пример 11.16. На трехмерной сфере Яз рассмотрим множество касательных векторов в ее южком полюсе 5 (см.
пример 11.3), касающихся пересечения сферы с трехмеркоа плоскостью, которая в координатах хо, х~, х2, хз пространств» И~ описывается уравнением (11.15) хо+ х1+ х~ + хз+ 1 = О. Для этого возьмем в окрестности точки 5 стереографичестп хоордикаты с центром в северком полисе и найдем в этих координатах уравнение, задающее данное пересечение. Пусть точка (хо, х~, х~, хз) б И~ лежит в пересечении, и у1, ур, уз — се стереографические координаты.
Согласно примеру 11.3, связь между координатами выглядит следующим образом: х1 У2 хз У1 = 1 У2= Уз= — ° 1 — хо 1 — хо 1 — хо Из равенства (11.5) находим, что 2 1 — х0 —— 1+ ',«, 'у~ Пусть а1, ..., а„— координаты вектора ~ в выбранной системе координат. Рассмотрим параметризованную кривую. которая в координатах х1, ..., х„ описывается системой 359 11.4, Касательные векторы Следовательно, с — 1 2 *О „2+ 1' х;= —, 1=1,2,3, 2у; 1 2+1$ ' $ ° 1 где п2 = У2,+У22+Уз~. Подставляя найденные выражения для координат жо, х1, х2, 2;з в уравнение трехмерной плоскости (11.15), находим У1 + У2 + Уз + У1 + У2 + Уз О. (1 1.16) Это уравнение описывает в локальной системе координат множество точек на сфере, попадающих на заданную трехмерную плоскость.
Иначе говоря, это уравнение в окрестности точки 5 описывает пересечение 0 сферы с трехмерной плоскостью. Левая часть уравнения есть гладкая функция У(у1,у2,уз), определенная в окрестности южного полюса, имеющего координаты у1 — — О, у2 — — О, уз = О. Мы тем самым описали множество 0 в окрестности точки 5 уравнением ~(У1,У2,Уз) = О. Чтобы найти все касательные векторы в точке 5, касающиеся множества О, нужно решить уравнение ((~) = О относительно неизвестного вектора ~с. Пусть этот вектор в системе координат у1, у2, уз имеет координаты а1, а2, аз.
Тогда условие касания этого вектора множества 0 в точке 5 будет иметь вид †(О, О,О)ад + †, (0,0,0)а2 + †(0,0,0)аз = О, д~ д~ д~ ~У1 дУ2 с~Уз или (11.17) а1+ а2+ аз — — О, так как все три частные производные при У1 — — У2 — — Уз — — 0 равны единице. Поскольку матрица-строка (Я, ~„', Я,) в точке 5 (при У1 — — У2 — — Уз — — 0) имеет максимальный ранг, равный единице, условие Я~) = О является не только необходимым, но и достаточным. Значит, вектор с координатами а1, а2, из касается подмножества 0 тогда и только тогда, когда его координаты удовлетворяют уравнению (11.17).
И. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 360 11.5. Касательное расслоение и дифференциал Рассмотрим множество всех кпсатиельных векторов к и-мерному многообразию М в точке Р. В зтом множестве можно ввести операции сложения двух векторов и умножения вектора на действительное число. Действительно, каждый касательныи вектор можно трактовать как дифференцирование в точке Р. Рассмотрим два касательных вектора ~ и п в точке Р.
Функция ,0Ц), определяемая формулой является линейной функцией, поскольку она задана как сумма двух линейных функций. Кроме того, используя то, что Я~) и ф~) являются дифференцированиями, получаем ~(Ы =Му)+Юй = ЯР)НЯ+Ийу(Р))+ + (У(Р) 7(~)+ ЖУ) Ы(Р)) = У(Р) (Ь)+ Ч(у))+ + (6У)+ Ю)) а(Р) = ЯР) 0®+ 0(ЙЯР). Следовательно, функция ВЦ) есть дифференцирование в точке Р. Этому дифференцированию соответствует касательный вектор, который мы назовем суммой касательных векторов ~ и й и обозначим ~+й. Аналогично вводим произведение Л~ касательного вектора ( на произвольное число Л Е Е, трактуя касательный вектор как дифференцирование и по определению полагая (М) У) = Л6У), У ~ С (М) Отметим, что, согласно равенству (11.13), сложение касательных векторов и умножение касательного вектора на число в координатах выполняется как сложение и умножение на числ" векторов и-мерного линейного арифметического пространств~' Это значит, что введенные нами операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства и тем самым превращают мно- 11..5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
