V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В частности, можно рассмотреть множество М С И™. Но в этом случае понятие непрерывной функции уже было определено ранее (см. 1.4). Естественно в этой ситуации добиваться того, чтобы оба пп нятия непрерывной функции совпадали. Нетрудно показать что для такого совпадения достаточно, чтобы отображен"~ Ь: М -+ С, С С И", задающее на М координаты, было '*о'н"~ морфизмом, т.е. являлось непрерывным на М и имело обратно р~ ого 'Вся излагаемая далее теория распространяется и на случай, ,ывяо под гладким отображением понимается отображение, г раз непреры" дифференцируемое. См., например: Мищенко А.С., Фоменко А.
Т. на множестве. Отметим, что любая скалярная функция мн„ гих переменных д: С-+ И является представлением некоторой функции на множестве М, а именно функции до Ь. 309 11. 1, Определение гладкого многообразия Пример 11.1. В качестве множества М выберем окружность радиуса п'.
В плоскости окружности введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. 1~ажется естественным в качестве координаты на рассматриваемой окружности взять угол у, отсчитываемый от оси абсцисс НРОтив часовой стрелки (рис. 11.3, а). Декартовы координаты трчки окружности связаны с соответствующим углом у соот- ношениями х = Йсояу, у= Йяпу. (11. 1) ти соотношения определяют отображение д, взаимно однозн "ачно отображающее полуинтервал [ — 1г, 1г) в И~. Отображение непрерывно, однако обратное к нему отображение Ь не явля~ся непрерывным в точке Р( — 1; О), так как точкам верхней ображение, непрерывное на С (зто вытекает из теоремы !.9 О непрерывности сложной функции).
Аналогичен более общий случай, когда множество М являся метрическим ггросгпранством: в метрических простран~вах также введено понятие непрерывного отображения. В «туации, когда среди функций на множестве М уже тем или „иым способом выделен класс непрерывных функций, будем рассматривать, специально не оговаривая зто, только такие координаты, при введении которых не возникает разночтений в отношении непрерывных функций. В частности, для множеств ф С $Р ограничимся лишь координатами, задаваемыми с помощью гомеоморфизма Ь. Сказанное относится и к понятию гладкости. Если М— открытое подмножество в Ж", то мы имеем две интерпретации понятия гладкого отображения: как функции многих переменных, определенной на открытом множестве, и как функции на множестве, на котором введены координаты некоторым отобраЖением Ь. Обе зти интерпретации не различаются, если отображение Ь и обратное к нему отображение Ь ' являются гладкими.
11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 310 полуокружности в окрестности точки Р соответствует угол близкий к я, а точкам нижней полуокружности — угол, близкими к -я. Одну карту на всей окружности М ввести не удается, Рис. 11.3 Выкидывая точку Р, т.е. сужая отображение (11.1) на интервал ( — я, т), получаем гомеоморфизм, и окружность с выколотой точкой оказывается гомеоморфной интервалу прямой. На самом деле выбор выбрасываемой точки не является существенным.
Например, окружность без точки Ч(1, О) оказывается гомеоморфной при рассматриваемом отображении интервалу (0,2я), а если выкинуть точку (О, 1), то для поучения гомеоморфизма нужно рассмотреть отображение (11.1) на интервале (я/2,5я/2). Таким образом, хотя нам не удалось ввести одну систему координат на всей окружности. мы можем оперировать двумя системами координат, например выбирая угол у б (-я', я) для всех точек окружности, кроме Р, и угол Ф Е (0,2т) для всех точек окружности, кроме точки Я (ем* рис.
11.3, б). Две системы координат в совокупности накрыва ют всю окружность. Этот пример, как и аналогичный пример с цилиндро"' (см. пример 8.4), показывает, что не следует рассчитывать н~ построение координат, единых на всем множестве М. Ю1и но ориентироваться на набор из нескольких систем координат' действуюших в разных частях множества. Такой подход "е 11.!.
Определение гладкого многообраэия 311 1~фшает в исследовании локальных свойств, т.е. в окрестности заданной точки, но позволяет, например, окружность рассматривать как единый объект. Правда, при этом возникает ситуация, когда в некоторых частях множества М одновременно действуют несколько систем координат. В этой ситуации нужно уметь переходить от одних координат к другим, или, как говорят, пересчитывать координаты. Итак, в этой главе мы будем рассматривать множество М в совокупности г системами координат на ее частях (рис.
11.4). Рис. 11.4 Предлагаемый подход используется в географии, когда земную поверхность представляют в виде атласа карт. Географическую карту с геометрической точки зрения можно трактовать как систему координат на той части земной поверхности, которую она изображает. Если на подмножестве У С М, заданы две системы координат отображениями 6: У вЂ” ~О~ СЕ" и Й: У-+Ор С Е", то функция ~, определенная на множестве Г, может быть представлена в координатах двумя способами. Естественно считать, что если функция представлена как непрерывная в одних координаТах, то ее представление в других координатах также должно быть непрерывным. Иными словами, функция ~оЬ 1: 01-+ Е непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна функция Г'Й '.
О~ — ~ Е (рис. 11,5). В качестве функции ~ можно взять "оординатные функции отображений Ь и Й. Например, ~.-я коОрдинатная функция отображения Ь в координатах, определяе"ых этим отображением, имеет вид ~р(х1,...,х„) = х; и является "епрерывной. Значит, она непрерывна и в координатах, опре- 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 312 Рис.
11.5 Аналогично можно рассуждать и относительно гладких функций. Нас будут интересовать прежде всего гладкие функции на множестве М. Поэтому естественно ограничиться только такими координатами на множестве М, область изменения С которых является областью в Е". Эти рассуждения приводят к следующим определениям. Определение 11.1. Картпой (локальной систпемой координатп) на множестве М называют пару (У,Ь), где Г- подмножество М, а Ь вЂ” взаимно однозначное отображение Г на некоторую область пространства Е". Подмножество Г называют областпью определения (или носитпелем) марты число п — размерностью картпы, а координатпы тпочки Ь(Р) в В" — координатпами точка Р б М в локальной систпеме координатп (У,Ь).
Иногда картой мы будем называть только отображение" имея в виду, что это отображение, вообще говоря, является частичным и само задает свою область определения У. Определение 11.2. Карты (ЕУ,Ь) и (Кй) на М, носите ли которых пересекаются по непустому множеству Ю = Г ~~1 деляемых отображением й. Отсюда приходим к условию, что композиция Ьой ~, представляющая собой функцию многих пр ременных, отображающую О~ в О~, должна быть непрерывной То же заключение получаем и относительно „симметричного варианта й о Ь '.
11.1. Определение гладкого многообразия 313 называют соеласовакиыма, если множества Ь($У) и Ци~) являются открытыми в И", а взаимно обратные функции многих переменных Йо Ь ' и Ьой ' являются гладхимм (рис. 11.6). 1~арты, носители которых не пересекаются, также будем считать согласованными.
Рис. 11.6 Если карты (У,Ь) и (КЙ) согласованы, то функции многих переменных йоЬ ' и Ьой ' являются гладкими и отображают область на область. Из этого следует, что размерности карт совпадают (хотя доказать это непросто). Функции многих переменных йоЬ ' и Ьой ' в теории многообразий известны как отпображения перехода, а их координатные функции— как фумкцим перехода. Если координаты точек в системе координат (У,Ь) обозначить через х1, ..., х„, а в системе координат (~,Й) — через у1, ..., у„, то отображения перехода можно записать в виде 91 — Уи(х!1 ° ° ~ ха)1 1 1~ %~ х; = х;(у1,..., у„), г = 1, н. Здесь функции х;(у1,..., у„) и у;(х1,..., х„), связывающие две системы координат, и есть функции перехода. Отметим, что каждая карта согласована сама с собой, так как в этом случае отображение перехода есть тождественное отображение.
Определение 11.3. Набор карт (У„,Ьо) на множестве М Называют атвласом этого множества, если все карты набора ! 1. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ согласованы, имеют одинаковую размерность, а их носители»» совокупности накрывают множество М, т.е. 00 = М. Пример 11.2. Рассмотрим отображение д: Е™ -+ Е", т < < п, из линейного арифметического пространства Е™ в линей ное арифметическое пространство Е", т < и, которое опред» ляется системой уравнений хг = хг + агггг + ° ° ° + аг А О о х„= х„+ а„А + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
