V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (1081393), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Так как функция г~ является решением системы (11.60), то Ур(л1) = О, ~Х, У1Р (г1) = = О. Следовательно, функция д = ~Х, ~Х, УЦ(я1) не равна нулю в точке Р. В силу гладкости эта функция не обращается в нуль в некоторой окрестности точки Р. Положим ~2 — Х (я1) ~3 — Х (я2) (11.61) и рассмотрим управление о, которое связано с исходным упра- влением равенством и = а+~Ь, где (11.62) Отметим, что У( ~) = У(Х( )) = Р' ХИ )+Х(У( )) = О ~У, Х](л2) = [У, Х~(Х(г1)) = ИУ, Х1, Х~(лд)+ Х(~У, Х1(я1)) = д, У(гз) = У(Х(г~)) = ~У, Х) (~р) + Х(У(яр) ) = д ф О. Х(я1) = Х(л1) + аУ(г1) = я2, Х(~~) = Х(я~) + ОУ(яг) = ~з Х(яз) = Х(яз)+~У(яз) = О Поэтому функции а н ~3 определены корректно.
При переходе к системе координат я1, гр, ~э с заменой управления и управлением о исходные векторные поля Х и У переходят в векторные поля Х = Х+ аУ, У =,ВУ. Найдем координаты векторных полей Х и У в системе координат л1, яг, гэ. Для этого достаточно вычислить производные вдоль этих векторных полей координатных функций.
Имеем Д.11.2. Приложения теории векторных полей и распределений 435 (последнее равенство вытекает иэ определения функции а). Следовательно, д д Х = хг — + хз —. дх1 дх2 Аналогично У(х1) =,ВУ(г~) = О, У(хз) = РУ(хз) = 0 У(~з) = ФУ(хз) = 1 Д М т.е'.
У = —. Найденные представления векторных полей Х а..' и У в системе координат г1, х2, гз позволяют записать в этой системе координат рассматриваемую аффинную систему, и нетрудно увидеть, что она имеет вид (11.58). $» Замечание 11.8. Доказательство теоремы 11.32 не только подтверждает возможность упрощения аффинной системы с помощью замены переменных, но и дает метод вычисления такой замены переменных. Действительно, функция х1 может быть найдена как решение системы (11.60), функции гз и язв по формулам (11.61), а функции а и ~3, определяющие замену управления, — по формулам (11.62).
Пример 11.34. Выясним, каким требованиям должна удовлетворять действительная функция ~ одного действительного переменного, чтобы система х1 — У(хз) + х1+ ихз, х2 —— и, хз =хз была эквивалентна системе (11.59). Для этого используем теорему 11.32. В данном случае д д д д Х= (Л )+х,) — + —, У=* — + —. дх1 дхз дх1 дхя 437 Водросы и эадачн уравнений (11.бО) в данном случае имеет вид дх~ дх~ хз — + — =О, дх~ дхг дх~ доз (хз+ ~'(х ) — хг) — + —. = О.
дх~ дхз Одним из ее решений является функция 1 й(хьхг,хз) = х~ — хгхз — -(хз+С~)г. 2 Далее последовательно находим зг — ~(х1) — х1 х2хз+ Сгт хз = х3 + ~'1хг+ Сг~ х~+ хг+ С~хг+Сг 1 Ф= хз+ С~ хз+С~ Вопросы и задачи 11.1. Докажите, что не существует непрерывного взаимно однозначного отображения окружности на часть прямой. Выведите из этого факта то, что на окружности не существует атласа иэ одной карты. 11.3. Используя теорему 11.1 о задании многообразий уравнениями, докажите, что п-мерная сфера Я" есть многообразие.
11.2. Выясните, можно ли ввести гладкую структуру на следующих множествах: а) конус; б) остальные поверхности второго порядка; в) объединение прямой и точки вне этой прямой; г) множество квадратных матриц порядка и с определителем, равным единице; д) отрезок прямой; е) объединение двух координатных осей в Жг. 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ 438 Сколько карт в атласе Я", построенном с помощью этой теоремы? Покажите, что сфера Я" с такой гладкой структурой диффеоморфна сфере Я" с гладкой структурой из примера 11.3. 11.4.
Аналогично примеру 11.9 введите гладкую структуру на следующих множествах: а) цилиндре; б) листе Мебиуса; в) бутылке Клейна; г) проективной плоскости. Эти многообразия могут быть получены из прямоугольника путем склейки его сторон, что символически изображено на рис. 11.22 (как и в примере 11.9, склеиваются противоположные стороны, маркированные стрелками, причем при склеивании стрелки должны быть совмещены). Рис. 11.22 11.5. Рассмотрим числовую ось Ж с атласом, состоящим нз одной карты (Ж,Ь), где отображение Ь: Ж-+ Ж определяется равенством Ь(ж) = жз. Докажите, что Ж с этим атласом диффеоморфно стандартному многообразию Ж. 11.8. Приведите пример гладкого взаимно однозначного отображения, не являющегося диффеоморфизмом.
11.7. Пусть М и У вЂ” гладкие многообразия. На множестве М х Ф постройте гладкую структуру так, что проекции р: М х У -+ М и д: М х У -+ У будут гладкими отображениями. 11.8. Диффеоморфны ли окружность и эллипс' ? 11.9. Рассмотрим тор в Жз, получающийся в результате вра; щения окружности (х -2)~+ у~ = 1 вокруг оси Оу. Докажите, что функции ж, р, х на торе являются гладкими.
439 Вопросы и эадачи 11.10. Опишите аналогично примеру 11.12 алгебру гладких функций: а) на торе; б) на листе Мебиуса; в) на бутылке Клейна; г) на проективной плоскости. 11.11. Покажите, что если кривые соприкасаются в одной системе координат, то они соприкасаются и в любой другой системе координат. 11.12. Докажите следующие свойства операции дифференцирования функции на многообразии вдоль касательного вектора ~: 1) ЯЛ~+рд) =Л~(~)+у~(д), Л,р ЕВ, У д (=С (М)р 2) 6Й) = У(Р)6д)+й(Х)д(Р) У д ~ С" (М). 11.13.
Пусть гладкая функция ~: И -+ Е удовлетворяет условию ДО) = О. Покажите, что кривая ж =1 — соаДй), у=в1п~(й), г=й +1 касается сферы ж~+ у~+ л~ = 1 в точке (О, О, 1) 11.14. Докажите, что линейное пространство ТрМ изоморфно арифметическому линейному пространству Ж", где п— размерность многообразия М. 11.15. Используя пример 11.19, опишите касательное пространство к многообразию 50(3) (см.
пример 11.10) в точке Е Е ЯО(3) (Š— единичная матрица) как трехмерную плоскость р9 11.16. Покажите, что каноническая проекция я'ТМ -+ -+ М вЂ” гладкое отображение. 11.17. Докажите, что: а) многообразие ТЕ" диффеоморфно Е~"; б) многообразие ТБ1 диффеоморфно цилиндру. 11.18. Докажите, что дифференциал гладкого отображения в точке есть линейный оператор. 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 440 11.19.
Представьте векторные поля ~~Х+дУ, У1 (~ и д— гладкие функции) и ~~Х,дУ) в виде линейных комбинаций векторных полей Х, У и ~Х, У~. 11.20. Пусть подмножество У многообразия М определено системой уравнений Ях) = О, г = 1, й, где Д вЂ” гладкие функции на М, а векторные поля Х и У касаются У.
Покажите, что векторное поле ~Х, У~ также касается Ж (используйте теорему 11.10 и метод ее доказательства). 11.21. Используя задачу 11.20, докажите, что если распределение интегрируемо, то модуль этого распределения есть алгебра Ли. 11.23. Найдите фазовый поток векторного поля: д д д д д д а)» — — у —, 6) р — +» —, в) х — +у —. ды д» дд д» дд д» 11.24.
Докажите теорему 11.20. 11.25. Найдите минимальную алгебру Ли, содержащую заданные векторные поля Х и У: д д а) Х=у — — х —, дх ду' д д У=» — — у —; ду д»' д д б) Х= — +» —, дх др' д д в) Х=у — — х —, дх ду д д г) Х = — +ху —, дх дф' д д У=х — +д— дх д~' л д д У=е — +у —. д~ д» 11.22. Пусть (АД и (В,) — фазовые потоки векторных полей Х и У.
По аналогии с теоремой 11.21 покажите, что вектор ХР+УР есть касательный вектор к кривой у(~) = = ~Ва о А~) (Р) в точке Р. 441 Вопросы и задачи 11.26. Найдите вид векторного поля Х в системе координат и, и: и, ю — полярные координаты; и=ху, о= —. у х 11.27. Пусть Х вЂ” распределение на многообразии Ж4, которое в каждой точке Р задает касательное пространство к пересечению в этой точке поверхностей уровня функций ~)(х,у,х,~) = х~+у~+ г~+~~, ~2(х,у,г,~) = х~ — у~+ а~+~~.
Найдите область, в которой это распределение регулярно. Най- дите векторные поля У1 и Яг, порождающие это распределение в области регулярности. Покажите, что это распределение в области регулярности интегрируемо. 11.28. Приведите пример гладкого распределения, для которого не существует конечного числа векторных полей, порождающих его сразу на всем многообразии. 11.29. Пусть модуль распределения Х порождается одним векторным полем Я, т.е. любое векторное поле Х Е З(Х) имеет вид Х = УЯ.
где ~ Е С (М). Что можно сказать об интегрируемости такого распределения? 11.30. Покажите, что любое распределение на двумерном многообразии интегрируемо. 11.31. Приведите пример распределения, не являющегося гладким. д д а) Х=у — — х —, дх ду' полярные координаты); д д б) Х=х — +у —, дх ду' д д в) Х=у — — х —, дх ду' и = х~+у~, ю = агс® — (и, и у х 11. ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ 11.32.
Выясните, совместны ли следующие системы, и если совместны, найдите все решения: д ди ди х — — у — +3 — 3 дх ду д~ ~ди ди х — +у — =х; ду д~ ~ди аду ~ди х — -у' — +г — =г +у дх ду дх ди ди — +у — =О; ду д8 ди ди — +ху — =г, дх ду 2ди ди е — +у — =ху; ду дх ди ди у — — х — =х+ху, дх ду ди ди а — — х — = 2хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
