IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Например, если квадратичная форма преобразовалась к виду Л,д',+...+Л д', в котором все коэффициенты Л; положительны, то соответствующая этой квадратичной форме функция в линейном пространстве принимает только неотрицательные значения. Значит никакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэффициентов, так как наличие отрицательных коэффициентов означает, что функция имеет и отрицательные значения.
Другой важной характеристикой является ранг матрицы квадратичной формы. Теорема 8.4. Ране квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных и равен: а) числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде; б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетом их нратноспьи).
~ При изменении базиса линейного пространства матрица А квадратичной формы преобразуется по формуле А' = У АУ, в которой У вЂ” матрица перехода (см. 8.2). Матрьща У, как матрица перехода, является невырожденной, поэтому ранг А' совпадает с рангом А, так как при умножении на невырожденную матрицу ранг не меняется (см. замечание 4.3).
Пусть квадратичная форма имеет два канонических вида У,(д„...,д„) =л,д',+...+л д', 12(хьь 1яй) = Иьяь + + ИЬьхяь 2 2 8. КВАДРА ТИЧНЫЕ ФОРМЫ в которых все коэффициенты Л; и р; ненулевые. Оба канонических вида — зто квадратичные формы, представляющие собой одну и ту же функцию на линейном пространстве, но записанную в разных базисах. Значит, одна из этих квадратичных форм получается из другой в результате замены базиса, и ранги их матриц совпадают. Остается заметить, что ранг квадратичной формы канонического вида равен количеству ненулевых коэффициентов этой формы, т.е. в нашем случае гк = /с.
Это доказывает утверждение а). Квадратичную форму можно привести к каноническому виду оргпогокальнм.к преобраэоеакием (см. теорему 8.2). При этом коэффициенты квадратичной формы канонического вида (они же диагональные элементы ее матрицы) будут собственными значениями матрицы исходной квадратичной формы.
Это доказывает утверждение б). > В различных канонических видах данной квадратичной формы остается неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и количество положительных и соответственно отрицательных коэффициентов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующее утверждение, называемое законом инерции. Теорема 8.5. Для любых двух канонических видов У1(р1," 19пь) =Л191~+" +Лту„„Л1ФО, 1=1,га1 (86) Яя1,...,хь) =,и1лд+... +чья~~, ра Ф О,,у' = 1, Й, (8.7) одной и той же квадратичной формы: — т = Й и их общее значение равно рангу квадратичной формы; — количество положительных коэффициентов Л; совпадает с количеством положительных коэффициентов р ", †количест отрицательных коэффициентов Л; совпадает с количеством отрицательных коэффициентов п~.
227 8.5. Закон ннерннн ~ Согласно теореме 8.4, количество ненулевых коэффициентов в квадратичных формах (8.6) и (8.7) одинаково, т.е. т = к. Пусть в этих канонических видах положительные коэффициенты предшествуют отрицательным, так что мы можем переписать их следующим образом: Л(у) )к1У1 + + Орур <~р+1ур+1 )2ЬУЬ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Ь(к) =Ан1+" +Як, — 11в+1к,.н —" — 0ьлю где )х; > О, 1= 1, к, и Д > О, у = 1, к. Этого всегда можно добиться изменением порядка переменных. Нам нужно доказать, что р = о. Пусть это не так, и мы для определенности положим, что р > о. 06ОЗНаЧИМЧЕрвз Е=(Е2 ...
Еп) ну=(у1 ... уп) баЗИСЫ, В которых записаны канонические виды 71 и ~2 (8.8) квадратичной формы. Покажем, что существует ненулевой вектор ж с координатами у1 ..., Уп в базисе е и г1, ..., яп в базисе у, для которого одновременно выполняются условия у; = О, 4 = р+1, п, и 2 = О, у = 1, д. Действительно, координаты э линейным образом выражаются через координаты у;: ку = ~9чу1+ ° "+нупуп) у = 1) и) причем матрица У = (иу;) — это матрица перехода из базиса у в базис е. Поэтому условия, поставленные для вектора х, составляют однородную систему линейных алгебраических- уравнений у,+,— О, Ум=о, ПЫУ2 + " + и1пуп = О) нв1У1 +... + ивпуп = О относительно координат у; вектора и. Так как уравнений меньше числа неизвестных (и — р+ о ( и), эта система имеет 228 а кВАдРАтичные ФОРмы ненулевое решение.
Следовательно, существует вектор х ф О, удовлетворяющий поставленным условиям. Но для этого век тора, согласно представлениям (8.8), имеем: ~(х) ~1(я~1 ~яд) о1р1 + +пррр > 0 Дх) = 5(яь..., г„) = — Д,+1я~~+1 —... — Дэ~ < О. Первое неравенство является строгим, так как все координаты у, вектора х, начиная с номера р+ 1, являются нулевыми, а ненулевой вектор должен иметь хотя бы одну ненулевую координату. Два взаимоисключающих равенства показывают, что предположение р ~ д не верно.
Значит, р = д, т.е. количество положительных коэффициентов в двух канонических видах одинаково. Тогда и количество отрицательных коэффициентов у них совпадает, так как совпадает количество ненулевых коэффициентов. ~ 8.6. Критерий Сильвестра Квадратцчнме формы подразделяют нв различные типы в зависимости от множества их значений. Определение 8.3. Квадратичную форму Дх) = х Ах, т х = (х1 ... х„), будем называть: — положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство Дх) > 0 (~(х) < 0); — неотрицательно (неположительно) определенной, если у (х) > 0 (~(х) < 0) для любого столбца х, причем существует ненулевой столбец х, для которого У(х) = 0; — знанопеременной (неопределенной), если существуют такие столбцы х и у, что ~(х) > 0 и ~(у) < О.
229 8.6. Критерий Сильвестра Пример 8.8. Рассмотрим четыре квадратичные формы от трех переменных: .11(Х1~Х2>ХЗ) Х1+Х2+ХЗ~ 2 2 2 у 2(Х1, Х2) ХЗ) = Х1 + Х2, 2 2 лз(Х1,Х2!ХЗ) = Х1 — Х2+ХЗ~ 2 2 2 ,14(Х1)ХЗ~ХЗ) = Х1Х2. Квадратичная форма у1 положительно определена, так как представляет собой сумму трех квадратов и потому принимает только положительные значения, если переменные одновременно не обращаются в нуль. Квадратичная форма у2 неотрицательно определена: будучи суммой двух квадратов она не принимает отрицательных значений, но при х1 = х2 = 0 и хз ф 0 она принимает нулевые значения. Квадратичные формы уз и У~ знакопеременны.
Первая из них положительна при х = (1 0 0) т и отрицательна при х = (О 1 0) . Вторая положительна при т т х=(1 1 0) иотрицательнаприх=(1 — 1 0) . Квадратичные формы 52 и ~4 являются вырожденными, так как ранг каждой из них равен двум. ф Как следует из определения 8.3, тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она принимает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Поэтому, представив квадрапэичнрю (рормд в каноническом виде, сразу получаем следующие критерии для типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы.
Множество собственнык эначеннй Тип квадратичной формы Положительно определениае (Ух 14 0: У(х) > 0) Отрицательно определеннае (Чх ~ 0: у(х) < 0) Знаковеремеинал (3х:у(х) > О, Ввеу(р) < 0) Вырожденнал (Зх: к ~0, у(х) =О, Все собственные эначенил положительны (Л< >О, 4=1,п) Все собственные значение отрицательны (л! <О, 1=1,н) Есть собственные значение реэкык знаков (ВЛ >0,9ЛЗ<О) Есть нулевое собственное значение (ВЛю = 0).
230 В. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Хотя зта таблица дает удобную характеристику типам квадратичных форм, ее использование для определения типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением собственных значений матрицы. А это достаточно трудоемкая операция. На самом деле во многих случаях тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Метод состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы квадратичной формы.
Введем следующие обозначения. Пусть матрица квадратичной формы ~(х) = х Ах имеет вид ап агг ... аы а21 а22 ° а2в а„1 а,а ... а„„ где аб = а;, г,у = 1,и. Рассмотрим деловые миноры этой матрицы (которые также называют главными минорами): ап ... аы аэ1 " а в ап агг Ь1 =ап, Ьг = ), ..., ь„= агг агг ' Как видим, угловой минор порядка я расположен на пересече- нии первых й строк и первых й столбцов матрицы. Угловой минор максимального, и-го порядка представляет собой опре- делитель матрицы. теорема 8.6 (иритпериб Сильв естпра).
Для того чтобы квадратичная форма от и переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства Ь1> О, Ьг > О, Ьэ > О, ..., Ь„> О. ~ Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратичная форма положительно определена, то в ее каноническом виде все коэффициенты должны быть положительны. Значит, и определитель матрицы 8.6.
Критерий Сильвестра 231 квадратичной формы канонического вида положителен. Не- вырожденное преобразование квадратичной формы не меняет знака определителя, так как, согласно формуле преобразования (8А), бе$(У АУ) = (беФУ)аоеФА. Поэтому определитель матрицы исходной канонической формы тоже положителен, т.е. ~„> О. Если квадратичная форма Дхм..., х„) от п переменных положительно определена, то квадратичная форма Ях1,..., яь) = = у(хм...,хыО,...,О) от й переменных также положительно определена и, следовательно, определитель ее матрицы положитмен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
