IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ь„) и ее начала в точке Ьо, и новая система координат, состоящая иэ ортонормированного базиса с = (сь ... с ) и начала со. Рассмотрим произвольную точку х с координатами хь и х, соответственно в старой и новой системах координат. Иэ определения координат точки в К" имеем соотношения х — Ьо=Ьхь, х — со=ох,. Приравнивая выражения для х, получаем Ьхь+Ьо = схс+ со. (9.3) Пусть У вЂ” матрица перехода из ортонормированного базиса Ь старой системы координат в ортонормированный базис с новой системы координат. Тогда У вЂ” ортогональная матрица (см.
теорему 7.5) и с = ЬУ. Подставляя это представление для с в равенство (9.3), находим Ьхь + Ьо = ЬУхс + со, или Ь(хь — Ух,) = со — Ьо. (9.4) Координаты вектора со — Ьо относительно базиса Ь представляют собой координаты точки со (начгла новой системы координат) относительно старой системы координат, которые 244 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА мы обозначим через со,ь. со — Ьо = Ьсо,ь. С учетом этого равенства преобразуем правую часть (9.4): Ь(хь — Ухс) = Ьсоь.
Отсюда следует, что (9.5) хь = Ухс+ со,ь. Соотношение (9.5) представляет собой формулу преобразования координат при изменении системы координат. Если соь = О, т.е.начола старой и новой систем координат совпадают, то преобразование координат принимает вид (9.6) хь — 1~хс В двумерном случае при дополнительном условии деЬ У = 1 преобразование (9.6) представляет собой поворот системы координат вокруг неподвижного начала системы координат. В трехмерном случае при том же условии с(еЬУ = 1 это преобразование является поворотом системы координат вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.
Ось поворота определяется собстпвенным вектором матрицы У с собственным значением 1. Если с(АУ = -1, то преобразование системы координат кроме поворота включает преобразование симметрии относительно некоторой плоскости или сводится к одной симметрии. Пример 9.1. Преобразование системы координат с матрицей сов со — вш1в О У = вша совф О О О -1 состоит в повороте на угол 1в вокруг третьего вектора исходного базиса и последующей симметрии относительно плоскости, которой параллельны первые два вектора (при повороте эта плоскость перейдет в себя). аЗ.
Упрощеиие урввиеиии поверхности второго порвяиа 245 По аналогии с двумерным и трехмерным случаями условно назовем замену (9.6) при произвольном и поворотом системы координат в случае деЬУ = 1 и поворотном системы координат с отражением (симметриее2) в случае с1е$ У = = -1. Введенные термины условны потому, что в и-мерном пространстве при п > 3 теряется наглядный смысл понятия е поворот". Если в преобразовании (9.5) матрица У является единичной, т.е. У = Е, то старая и новая системы координат имеют один и тот же ортонормированный базис. В этом случае преобразование координат имеет вид (9.7) ХЬ = Хс+ СО,Ь.
При и = 2,3 такое преобразование означает параллельный перенос системы координат, при котором направления осей координат не изменяются. В общем случае (при и > 3) преобразование (9.7) мы также будем называть параллельным переносом системы координат. Любое преобразование координат вида (9.5) можно представить как последовательное применение двух преобразований х' = Ух, и хь = х'+ сО ь, которые означают параллельный перенос исходной системы координат в точку с и последующий ее поворот (возможно, с отражением), определяемый матрицей У. 9.3.
Упрощение уравнения поверхности второго порядка Один из подходов к анализу поверхности второго порядка в К", заданной уравнением (9.2), состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимает наиболее простой вид. Изменение системы координат приводит к преобразованию исходных координат х точки к ее новым координатам у по формуле х = Уу+уз, 246 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА где уе — координаты начала новой прямоугольной системы координат относительно старой (см.
(9.5)), а У вЂ” ортогональная матрица. При этом преобразовании уравнение (9.2) трансформируется к виду (Уу+уо) А(0у+уо)+2Ь (Уу+уо)+с=О, или у У АУу+2(Ь П+уоАЩу+уоАуо+2Ь ус+с=О. (9.8) Уравнение (9.8) показывает, что параллельный перенос системы координат (в этом случае У = Е) не изменяет квадратичной формы поверхности второго порядка. Квадратичная форма поверхности преобразуется по общему правилу (8.4) преобразования квадратичных форм при замене базиса.
Наиболее естественный способ упрощения уравнения (9.2) ,базируется на предварительном преобразовании квадратичной формы поверхности. Согласно теореме 8.2, существует новый ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Этот базис состоит иэ собственных векторов матрицы А квадратичной формы, записанных в исходном ортонормированном базисе. Матрица перехода от старого ортонормированного базиса к новому ортонормированному базису является ортогональной.
Изменяя, если необходимо, направление одного собственного вектора на противоположное, можно считать, что определитель этой ортогональной матрицы положителен и потому равен единице. Значит, существует такой поворот исходной системы координат, что квадратичная форма поверхности (9.2) в новых переменных будет иметь канонический вид. Пусть у1, ..., у„— новые координаты, в которых квадратичная форма поверхности (9.2) имеет канонический вид.
Начало системы координат при этом не изменяется, и преобра- 9.3. Уирои~еиие уравиеиие иоверхиеети второго передка 247 эованное уравнение (9.8) поверхности сводится к следующему: и и Л;Уз+2~ д У +с=О, (9.9) После пара саельного переноса системы координат д у; =у~+ —,, Л1 / У Уэ УФе этот случай сводится к случаю 2). где (п1 ... Ии) = И= У Ь, а Л;, 1=1,п, представляют собой собственные значения матрицы А квадратичной формы поверхности, соответствующие векторам нового ортонормированного базиса. Дальнейшее определяется возможными значениями Л, и 4. Для каждого значения индекса е, 1 = 1, и, возможен один из четырех случаев: 1) Лю 360, 4 уйо; 2) Л;ф0,4=0; 3) Л;=0,4фО; 4) Л; =0,4 =0.
Если реализуется случай 4), то соответствующая переменная у; вообще не входит в уравнение и мы имеем случай ннлнндрнчесной поеерхностпн е Ж" (при и = 3 такая поверхность действительно является цилиндрической [ПЦ). В остальных случаях дальнеишее упрощение уравнения (9.9) сводится к упрощению вида линейных слагаемых. Если в уравнении 19.9) для 1-й переменной у, реализуется случай 1), то по этой переменной можно выделить полный квадрат: 248 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА . Реализуем все такие параллельные переносы и, если необходимо, изменим порядок переменных (зто равносильно переста-, новке векторов в базисе).
Тогда уравнение поверхности (9.9) в новых переменных з примет вид 3 ;, 9+2 ~,1 +й (9.10) ч=т+1 г зг~-1 =,1 11зо 1=г+1 И = у4, 1=г+1, з, =(Е(4,')') ~, (9. ) Ыс+ 1 а остальные переменные подбираются так, чтобы соответству- ющая замена переменных имела ортогональную матрицу У'. Эта матрица при указанной замене переменных имеет блочно- диагональную структуру: У'= 0 У 0 в которой блоки Е представляют собой единичные матрицы порядков г и и — з, а блок Ъ' порядка з — г отвечает переменным з„+м ..., г, и должен быть ортогональной матрнцей. где параметр г определяет количество переменных, для которых реализовался случай 2) (возможно, после выделения полного квадрата и соответствующего параллельного переноса).
В остальных случаях реализуется случай 3) (после перестановки индексы от г+ 1 до з) или случай 4) (индексы от з+ 1 до п). Если з = г, то случай 3) не встречается и в уравнении (9.10) линейные слагаемые будут отсутствовать. При з ) г+ 1 случай 3) реализуется для нескольких переменных.
Тогда необходим дополнительный поворот, который преобразует ситуацию к случаю з = г+ 1. Этот поворот сводится к замене переменных з,+1, ..., г, новыми переменными з„'+м ..., з,', при которой 9.3. Упршценне уравнения поверхности второго порядка 249 Л;«; + с(,"+,«„+1+ Ь = О, Е г 1=1 (9.12) в котором г ) О (должно быть хотя бы одно слагаемое второго порядка), а коэффициент Н„"+1 может быть нулевым. Если д,"+1 ф О и 6 ф О, то еще одним параллельным переносом, который определяется заменой переменного «„+1 по фор- муле и «,+1 = «с+1+ ан с+1 можно „убрать" слагаемое 6.
Учитывая, что умножение урав- нения на произвольное ненулевое число не меняет поверхности, мы заключаем, что исходное уравнение (9.2) путем замены си- стемы координат приводится к одному из следующих видов: г ~р1«э = 1, 1=1 ~~1 р1«9 = «„+1. (9.13) 1=1 Л1«9 = О, 1=1 В представлениях (9.13) параметр г является рангом ивадраупичной формы поверхности второго порядка, который не 'Равенство (9.11) представяяет собой первое из уравнений перехода от нового базиса к старому, которое реализуется обратной матрицей У Значит, первая строка матрицы У ' состоит из коэффициентов в (9.11), т -1 но У = 1', т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
