IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первое х1+2хг — 2хз = О. В качестве независимых переменных выбираем хг, хз. Фундаментальную систему решений составляют хг = 1, хз = О, х1 = — 2 и хг = О, хз = 1, х1 = 2, т.е.
векторы — 1, = О Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению Лцг = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированную пару собственных векторов е1, ег при помощи метода ортогоналиэации Греме — Шмидта: 2 дг = Ьг — (Ьг, е1)е1 = — 4 5 7А.
Приведение симметрической матрицы к диагональному виду 211 Для собственного значения Лз = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид (А — 10Е)х = О, или -8х|+ 2хг — 2хз = О, 2х1 — бхг-4хз =О, -2х1 -4хг — бхз = О. В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять т одно ненулевое решение, например вектор Ьз = (1 2 — 2) . Нормируя этот вектор, получаем ч= — ( 2). Найденные векторы е1, ег, ез образуют ортонормированный базис из собственных векторов.
4. Составим из найденных векторов е; матрицу которая и является искомой. Убедиться в том, что матрица У определена правильно, можно при помощи подстановки матрицы У и заданной матрицы А в следующее тождество: УА17= 0 1 0 Замечание 7.4. В случае и = 3 при Л1 = Лг зй Лз собственные векторы удобнее с точки зрения зкономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (Лз = 10 в рассмотренном примере) найти 212 7.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ собственный вектор и нормировать его. Обозначим полученный вектор, например, ез. Затем для собственного значения кратности 2 (А1д = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его. Получим вектор е1. Векторы е1 и ез будут ортогональными согласно теореме 6.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторного произведения: еэ = = е1хез.
Описанный прием позволяет избежать процесса ортогоналиэации. Точно так же можно не применять процесс ортогонализации при п = 2, так как, зная один вектор е1 ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90'. Для этого достаточно поменять две координаты вектора е1 местами, а у первой из них к тому же изменить знак. При и ) 3 приемов, аналогичных описанным, нет. Вопросы и задачи 7.1.
Опишите множество всех ортогональных матриц второго порядка. 7.2. Пользуясь результатами задачи 7.1, докажите, что любой ортогональный оператор в евклидовом пространстве Уз является либо поворотом вектора на некоторый угол, либо симметрией относительно некоторой прямой, либо произведением таких операторов. 7.3. Докажите, что произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором.
Можно ли утверждать, что: а) сумма ортогональных операторов есть ортогональный оператор? б) произведение ортогонального оператора на число есть ортогональный оператор? 7.4. Докажите, что линейный оператор А в евклидовом пространстве тогда и только тогда является ортогональным, когда А*А = 1. 213 Воиросм и задачи 7.5. Докажите, что если Я вЂ” инвариантное подпространство для ортогонального оператора А, то и Я вЂ” тоже инвариантное подпространство этого оператора.
7.6. Докажите, что собственными значениями ортогонального оператора могут быть лишь числа 1 и -1. Т.Т. Приведите пример ортогонального оператора, не имеющего собственных векторов. Какой может быть размерность евклидова пространства, в котором есть такие операторы? 7.8. Докажите, что любой ортогональный оператор в пространстве Уэ имеет собственный вектор.
Используя результаты задач 7.2 и 7.5, опишите множество ортогонэльных операторов в У~. 7.9. Докажите, что любому перемещению твердого тела вокруг неподвижной точки иэ одного положения в другое соответствует ортогональный оператор в пространстве Рэ и что эти положения связаны между собой вращением тела вокруг неподвижной оси. Эта ось проходит через неподвижную точку и параллельна собственному вектору указанного ортогонального оператора.
7.10. Приведите пример оператора, одновременно являющегося и самосопряженным, и ортогональным. 7.11. Приведите к диагональному виду ортогональным преобразованием следующие симметрические матрицы: а) 2 1 2 , б) 1 5 чу 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 8.1. Определение квадратичной формы Определение 8.1. Однородный многочлен второй степени от и переменных с действительными коэффициентами Е анхт +2 ~~т а;эхгх1, а;1 Е Й, 2 (8.1) 1йнеуйн называют ивадраптннной формой.
Для нас квадратичная форма представляет интерес как способ задания некоторой функции векторного аргумента, определенной в п-мерном линейном ёростаранстове .С. Если в этом пространстве выбрать некоторый базис, то квадратичную форму (8.1) можно трактовать как функцию, значение которой определено через ноордннатпм х1, ... „х„еентпора х. Эту функцию часто отождествляют с квадратичной формой. Квадратичную форму (8.1) можно записать в матричном виде: (8.2) х Ах, где х = (хт ...
х„) — столбец, составленный иэ переменных; А = (ат ) — симметрическая матрица порядка и, называемая матпрнцей нвадраптинной формы (8.1). Ранг матрицы А квадратичной формы называют рангом квадраптнчной формы. Если матрица А имеет максимальный ранг, равный числу переменных н, то квадратичную форму называют невырожденной, а если К8А ( и, то ее называют вырожденной.
82. Преоорвзоваиие квадратичных форм 215 Пример 8.1. Квадратичная форма от трех переменных х21 + 4х1хз имеет матрицу (о о о). Так как Н8А = 2 < 3, то эта квадратичная форма является вырожденной. В матричной записи квадратичная форма имеет вид 1 О 2 х1 х1+4хьхз = (хь х2 хз) О О О х2 2 О О хз 8.2. Преобразование квадратичных форм т т Пусть дана квадратичная форма х Ах, где х = (х1 ..., х„) . В и-мерном линейном пространстве Е с фиксированным базнт сом Ь оиа определяет функцию ~(х) = хьАхь, заданную через координаты хь вектора х в базисе Ь. Найдем представление этой же функции в некотором другом базисе е.
Пусть У— матрица перехода от Ь к е. Тогда координаты хь вектора х в старом базисе Ь и координаты х, того же вектора в новом базисе е будут связаны соотношением (8.3) хь = Ух . Функция у(х) в новом базисе будет выражаться через новые координаты вектора х следующим образом: *ь Ахь = Жх,)™6Ух.) = х, Я ~Юх. = х,.4'х.. Итак, фувкция ~ в новом базисе также записывается при помощи квадратичной формы, причем матрица А' этой квадра- 216 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ тичной формы связана с матрицей А исходной квадратичной формы соотношением А'=с1" АУ. (8.4) Преобразование матрицы квадратичной формы вызывается за- меной переменных (переходом от переменных хз к переменным х,) в соответствии с формулой (8.3).
Замечание 8.1. Замену переменных вида (8.3) с произвольной матрицей У называют линейной. Изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейной замене переменных (8.3) с невырожденной матрицей У. Пример 8.2. Квадратичную форму 2 (х2,хг,хз) = 7х2 + бхг+ 2хз — 8х2хг+ 2хзхз — бхгхз 2 2 2 преобразуем к новым переменным Уз, Уг, Уз, где х2=Уз+ Уг+ Уз, хг =У2+2У2+2Уз хз =У2+ Уг+2Уз. Эта замена переменных в матричной записи имеет вид х=Уу, где У= 1 2 2 Согласно (8.4) имеем 1 1 1 7 -4 А'=У АУ= 1 2 1 -4 5 1 2 2 1 -3 -3 1 2 2 =(о з о), 217 ад Квадратичные формы канонического нида и квадратичная форма принимает вид У(уь уг уз) = 2у1 + Зуг — у» т.е.
все коэффициенты при попарных произведениях перемен- ных обнуляются и остаются слагаемые с квадратами перемен- ных. 8.3. Квадратичные формы канонического вида Определение 8.2. Квадратичную форму о1х1+... + аах„, а; Е Ж, е' = 1, и, 2 2 (8.5) не имеющую попарных произведений переменных, называют ивадратпичной угормой ианоническоао вида.
Переменные х» ..., х„, в которых квадратичная форма имеет канонический вид,называют иаиоиичесиими переменными. Один иэ методов преобразования (или, как говорят, приведения) квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Такой метод называют мееподом Лагранже. Проиллюстрируем этот метод на простом примере. Пример 8.3.
Рассмотрим квадратичную форму х21 — 4хгхг от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по х1. Для этого соберем все слагаемые, содержащие х1, и дополним до полного квадрата: х1 — 4хгхг = х1 — 4х1хг + 4хг — 4хг = (хг — 2хг) — 4хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
