IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 32
Текст из файла (страница 32)
г г 2 2 г Введя новые переменные 21 = х1 — 2хг, 22 = 2хг, получим ква- дратичную форму канонического вида: 2~1 — ггг. 218 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму от в1 переменных общего вида (8.1). Если аы ф О, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное х1, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В результате получим: у(х) = 2 анхг+2 ~ аг х;х = 2 в=1 1(в(1(вв =а11х1+2~ а11х1х +~ анх;+2 ~ абх;х 2(в<1<вв =ам(х1+в21гхг+ ..+аых„) -аы 2 а1 х— 2 Ч' в2 2 1=2 2 — 2ам ,''в а1вв211х;ху + ~~ а;;х; + 2 ~ а;ух1х1 —— 2<в<1<я 2(в<1<вв вв 2 в!ч =а111 2 а11Х ) +,11(Хг,...вХвв)в где а', = аы, св11 = а11/а11, у = 1, вв, а 11 — квадратичная форма, не содержащая переменного х1.
С квадратичной формой 11 можно поступить аналогичным образом, выделял полный квадрат по переменной хг. Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму у'(х) к виду вв г г вв г ('(х) =а1(~а1ухг) +аг(~ вггухг) +...+а'„(~ вг„гхг), 1=1 у=г 1 =в' где козффициенты а' являются ненулевыми, а в211 = 1, 1 =1, т.. 8.3. Квадратичные формы канонического вида 219 Выполним линейную замену переменных ! х, = а11Х1+... + а1вх„, ! Х2 = !222Х2 + .. ° + с!2оха! ! Хг =СачтХг+ "+ЕсгоХо! ! Хг+1 = Хг+1, ! х =х определяемую верхней треугольной матрицей У.
Отметим, что диагональнме элементы матрицы 1! равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы придем к квадратичной форме Дх') = а1(х1) +... + а„(х„), имеющей канонический вид. Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степени. Например, может случиться, что ам = О.
Тогда мы вместо переменного х1 можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет ни одного квадрата (например, Дх1,Х2) = Х1х2). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для определенности а12 у~ О, так что присутствует слагаемое 2а12Х1х2.
После замены переменных ! ! ! ! ! Х1 = Х1 + Х2, Х2 = Х1 Х2! Хз = ХЗ, ... ! Хо = Хо ПОЛУЧИМ КВЬДРЗ, тичную форму, у которой присутствует квадрат переменного х1! Так как х1х2 — (х! + х2)(х1 — х2) = (х1) — (х2) Отметим, что канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. 220 а кВАдРАтичные ФОРмы Так, в примере 8.3 после дополнительной замены переменных ю1 — — 21/2, ю2 = 22/2 получим еще одну квадратичную форму канонического вида 4ш1 — 4ш2.
2 2 8.4. Ортогональные преобразования квадратичных форм Как мы установили (см. 8.2), матрица А квадратичной формы при переходе к новому базису изменяется по формуле А' = У АУ, где У вЂ” матрииа перехода. Если рассматривается евклидова пространство, а старый и новый базисы выбраны ортонормированными, то матрица перехода У является ортогональной и мы имеем дело с ортпогоналъным преобразованием квадратичной формы, т.е. преобразованием А' = У АУ, в котором матрица У ортогонвльна.
Теорема 8.1. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрииы не изменяется. ~ Пусть А — матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразовании эта матрица изменяется по форт муле А' = У АУ, где У вЂ” ортогональная матрица. Согласно свойству 7.2, ортогональная матрица У имеет обратную, причем У 1 = У .
Поэтому А' = У АУ = У 1АУ, и мы видим, что матрицы А' и А подобны. Согласно теореме 5.2, характеристические уравнения подобных матриц совпадают. > Теорема 8.2. Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду. < Матрица А данной квадратичной формы является симметрической. Но любая симметрическая матрица, согласно следствию 6.4, подобна диагональной, т.е. существует такая не- вырожденная матрица Р, что матрица А' = Р 1АР является диагональной. Нам надо лишь убедиться, что в качестве Р можно выбрать ортогональную матрицу. Тогда А' = Р АР 8.4. Ортогоиеиьиые лреоорезоиииии ииалритиииых форм 221 и диагональная матрица А' является матрицей квадратичной формы, полученной из исходной при помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид А' равнозначен каноническому виду квадратичной формы.
Чтобы выяснить характер матрицы Р, нужно вспомнить теорему 6.5, из которой и было выведено упомянутое следствие 6.4. Рассмотрим произвольное п-мерное евклидово простпранстпво Е (п — количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис Ь в этом пространстве. Матрица А является матпрнпей некоторого самосопряженного оператпора А в базисе Ь. Согласно теореме 6.6, существует такой ортонормированный базис е, что матрица А' оператора А в этом базисе является диагональной. Согласно формуле преобразования матрицы линейного оператора, имеем А' = Р ~АР (см. теорему 4,6), где Р— матрица перехода из базиса Ь в базис е.
Так как оба базиса ортонормированные, матрица Р является ортогональной. ф Теорема доказана, но подход, который мы испольэовали в доказательстве, позволяет сделать и другие выводы; о которых в формулировке теоремы речь не идет. Во-первых, диагональными элементами матрицы А' квадратичной формы канонического вида, получающейся в результате ортогонального преобразования, являются собсптвенные значения матприны А квадратичной формы. Из этого следует, что мы можем записать матрицу А' канонического вида, не находя соответствующего ортогонального преобразования.
Во-вторых, находя ортогонгльное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, мы фактически ищем базис нз собстпвенных вентпоров соответствующего самосопряженного оператпора. Действительно, если кяадра тичная форма и самосопряженный оператор имели в исходном ортонормированном базисе одинаковую матрицу, то н в новом ортонормированном базисе их матрицы будут совпадать. 222 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой запись функции, заданной в евклидовом пространстве, через коордииапгы вектора в некотором ортонормированном базисе.
На самом деле такая интерпретация носит чисто вспомогательный характер, помогающий смотреть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак не используется в самом алгоритме построения ортогонального преобразования. Достаточно лишь записать матрицу квадратичной формы и применить к этой матрице процедуру приведения к диагональному виду (см. 7.4).
Нроиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Пример 8.4. Квадратичную форму 1(х,у) = хг1 — 4х1хг от двух переменных мы приводили к каноническому виду методом Лагранжа (см. пример 8.3). Теперь попробуем привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием. Матрица нашей квадратичной формы имеет вид А= ( Найдем характперистическое уравнение этой иапьрииьс = (1 — Л) (-Л) — 4 = Л вЂ” Л вЂ” 4 = О. -2 Π— Л Вычисляем корни характеристического уравнения, они же соб- ственные значения матрицы А: 1~ йГ7 Лцг = 2 Теперь можем записать канонический вид наутей квадратичной формы: 1+ ~/Г7 1 — ~/Г7 2 Уг 2 Уг' В.4.
Ортогонаяьнме преобразования квадратичных форм 223 Пример 8.5. Найдем канонический вид квадратичной формы ,1(хыхг) = 5хг+8х1хг+бх~г, к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем одно из таких ортогонвльных преобразований. Квадратичная форма имеет матрицу А=( ) с характеристическим уравнением матрицы Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются Л1 = 1, Лг = 9, т.е. квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием к каноническому виду У(йы уг) = 91 + 9йг. Для построения ортогонального преобразования найдем собстпвенные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной формы. Из однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — ЛЕ)х = 0 при Л = 1 находим собственный вект т тор е1 = (1 — 1) .
Тогда вектор ег = (1 1), ортогональный вектору еы будет собственным вектором с соответствующим собственным значением Лг = 9 (см. 7.4). Нронормировав эти векторы, составляем нз столбцов их координат матрицу ортогонального преобразования которой соответствует линебнал замена переменных х = Ру. ф. Единообразное поведение самосопряженных операторов и квадратичных форм при замене ортонормированного базиса объясняется следующей связью. 224 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Теорема 8.3. Пусть А: Š—.+ Š— самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве Е. Функция Дх) = (Ах, х), определенная на евклидовом пространстве, является квадратичной формой. Наоборот, для любой квадратичной формы у(х) на евклидовом пространстве Е существует такой самосопряженный оператор А, что ~(х) = (Ах, х).
Этот оператор определен однозначно. ~ Чтобы доказать первое утверждение теоремы, вспомним, как записывается скалярное произведение в ортонормированном базисе (см. 3.7). Используя такую запись и учитывая самосопряженность оператора, получаем (Ах,х) = (х, Ах) =х Ах, где х — столбец координат вектора х; А — матрица линейного оператора А. Мы пришли к координатной записи х Ах некоторой квадратичной формы. Пусть Дх) — квадратичная форма, которал в данном т ортонормированном базисе е имеет вид Дх) = х Ах.
Взяв самосопряженный оператор А, который в базисе е имеет матрицу А, получаем У(х) = х Ах = х (Ах) = (х, Ах) = (Ах, х). Наконец, докажем, что если для двух самосопряженных операторов А и В выполняется равенство (Ах, х) = (Вх, х) для любого вектора х Е Е, то А = В. Записав указанное равенство в координатах (А,  — матрицы операторов, х — столбец коорт т динат вектора х), получаем х Ах = х Вх, т.е.
равенство двух многочленов второй степени от и переменных. Такое равенство возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты этих многочленов при одинаковых слагаемых равны, но это эквивалентно равенству матриц А = В и, следовательно, равенству самосопряженных операторов. ~ 225 8.5. Закон инерции 8.5. Закон инерции Квадратичная форма может быть приведена к различным каноническим видам. Например, для квадратичной формы хзь — 4хьхз найдены уже три канонических вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
