IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 30
Текст из файла (страница 30)
> Теорема 7.4. Если катрина линейного оператпора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то этот оператор является ортогональным. Наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной. 204 Х ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ е Выберем в евклидовом пространстве Е любой ортонормированный базис е. Тогда для любых векторов х и у, имеющих в этом ортонормированном базисе е столбцы координат х и т у соответственно, вьшолнено равенство (х,у) = х у (зто запись скалярного произведения в ортонормированном базисе, см.
3.7). Пусть матрица А линейного оператора А в ортонормированном базисе является ортогональной. Тогда выполняется т соотношение А А = Е и, следовательно, равенство х (А А)у =х Еу (7.4) верно для любых столбцов х и у. Но это равенство представляет собой матричную запись равенства скалярных произведений (Ах, Ау) = (х, у) для векторов х и у, имеющих столбцы координат х и у в этом же ортонормированном базисе. Мы приходим к заключению, что оператор ортогональный.
Докажем обратное утверждение теоремы. В любом ортонормированном базисе соотношение (7.3) в координатах имеет вид (Ах) (Ау) =х у, т.е. его можно записать в виде (7.4). Как мы ранее доказали (см. лемму на с. 185), нз этого равенства, выполняющегося для любых столбцов х и у, следует равенство матриц А А = Е, что н означает ортогональность матрицы А. ~ Замечание 7.1. Напомним, что матрица линейного оператора состоит иэ столбцов координат образов базисных векторов. Имея зто в виду, нетрудно заметить, что равенство А А = Е означает, что столбцы матрицы А, как элементы п-мерного линейного арифмещического пространства со стпандартным скалярным произведением, попарно ортогональны и имеют единичную длину. Действительно, в 1-й строке и у-м т столбце матрицы А А стоит скалярное произведение 1-го и у-го столбцов матрицы А.
Это позволяет свести теорему 7.4 к теореме 7.3. хЗ. матрицы перехода в евххидовом пространстве 205 7.3. Матрицы перехода в евклидовом пространстве Теорема 7.5. В евкдидовом пространстпвг матприиа перехода от одного ортпонормированного базиса к другому является орптогонадьноб. ~ Рассмотрим в проювольном п-мерном евклндовом простпранстиве Е два ортонормированных базиса Ь = (Ь| ... Ь„) и е = = (ет ... е„). Пусть У вЂ” матрица перехода от Ь к е. Как следует из определения 1.6, столбцы ет, ..., е„матрицы перехода У вЂ” это стоябцы координата вектпоров нового базиса е относительно старого базиса Ь, т.е.
У = (е1 ... е„), где е; = Ье;, т =1, и. Поэтому т ет т т (е1 ег ... е„) = т е„ т т т етет етег ... етеа 1 0 ... 0 т т т — егет егег " еге„О 1 ... 0 е„ет е„ег ... е„е„О 0 ... 1 Последнее равенство в приведенной выкладке следует из того, что столбцы е1, ..., е„— это столбцы координат векторов ортонормированного базиса в ортонормированном базисе, а матричное проюведение е;е представляет собой запись в координатах скалярного произведения (е;,еу), которое в силу ортонормированности базиса е равно нулю при 1-,Е у и единице при т'=у. т Мы показали, что У У = Е, а зто, согласно определению 7.1 ортогональной матрицы, и означает, что У вЂ” ортогональная матрица.
ь 206 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ Теорема 7.6. Пусть Ь вЂ” ортонормированный базис в и-мерном евклидовом пространстве Е. Любая ортогональная матрица У порядка и является матрицей перехода из базиса Ь в некоторый другой ортонормированный базис. ~ Столбцы ет, ..., е„матрицы У можно рассматривать как координаты в базисе Ь некоторых векторов еы ..., е„пространт ства Е.
Матрица У У есть не что иное, как маптрииа Грома для систпемьт веккторов еы ..., е„, так как элемент этой матрицы в т'-й строке и у-м столбце равен е; еу, что представляет собой запись в координатах в ортонормированном базисе скалярного произведения (е;,е ). т Равенство У У = Е означает, что векщоры ет, ..., е„попарно оритогокалькы и имеют единичную длику (см. доказа; тельство теоремы 7.5). Поэтому указанная система векпторов является ликебко независимой (см.
теорему 3.4), а так как количество векторов в системе совпадает с размеркосптьто тт евклидова пространства, она является базисом (см. теорему 1.4). Этот базис ортонормированный, а матрица У есть матрица перехода из базиса Ь в базис е. > Замечание 7.2. Иногда говорят, что ортогональная матрица состоит из ортонормированных столбцов и строк. Эта терминология мотивируется следующим. Равенства 0 0 = Я, 00 = Е, верные для любой ортогональной матрицы, означают, что системы столбцов и строк матрицы О, рассматриваемых как элементы к-мерного ликебкого арифметиического кросптраксотв а, являются ортонормированными.
Напомним, что матрица перехода определяет преобразование координат вектора при замене одного базиса другим. Если хь — столбец старых координат вектора х, х, — столбец новых координат, У вЂ” матрица перехода из старого базиса в новый, то хь = Ух,. Две последние теоремы показывают, что прн замене одного ортонормированного базиса другим в соответствующем преобразовании координат хь = Ух, матрица У ортогональная. 7.4. Приеедеиие симметрической матрицы к диагоиаеьиому виду 207 Замечание 7.3. Любое линейное преобразование линейного простраисгпва представляет собой отображение пространства в себя: каждый вектор линейного пространства меняет свое положение и переходит в свой образ.
Преобразование координат не затрагивает элементов пространства, а лишь отражает изменение системы отсчета (базиса). Можно сказать, что преобразование пространства — это изменение окружающего пространства, а преобразование координат — зто изменение положения наблюдателя.
Эта физическая аналогия показывает, в чем различие между двумя понятиями. 7.4. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду Матрица А линейного оператора А при замене базиса преобразуется согласно формуле А' = У 1АУ, где У вЂ” матрица перехода (см. теорему 4.6). Если речь идет об евнлидовом пространстве и переходе из одного ортонормированиого базиса в другой, матрица перехода У является ортпогоиальной (см.
теорему 7.5). Согласно свойству 7.2, такая матрица удовлетворяет т соотношению У 1 = У . Поэтому для случая ортонормированных базисов формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом: А'= У АУ. (7.5) Теорема Т.Т. Для любой симметрической матрицы М существует такал ортогональная матрица У, что У МУ = Л, где Л = Йаб(Ль ..., Л„) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы М, повторяющиеся согласно их нратпиости.
~ Доказательство теоремы основано на следствии 6.4, теореме 7.5 и свойстве 7.2. Согласно следствию 6.4, для симметрической матрицы М порядка и существует такая невырожденнвл матрица Р, что Р 1МР = Л = 41а6(Ль ..., Л„), где в после- 208 7. ОРТОГОНАЛЪНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ довательности Лы ..., Л„указаны все собственные значения матрицы М с учетом их кратностей. Из доказательства того же следствия вытекает, что Р является матрицей перехода между ортонормированными базисами. Поэтому Р— ортогональная матрица (см. теорему 7.5) и Р 1 = Р (см.
свойство 7.2). Следовательно, Р МР = Р 1МР = Л, т.е. в качестве матрицы У в формулировке теоремы можно взять Р. ~ Преобразование (7.5) с ортогональной матрицей У иногда называют ортпоеональным преобразованием мапьрицм А. Поэтому теорему 7.7 можно сформулировать так: любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду.
Чтобы найти соответствующую матрицу У, о которой говорится в этой теореме, необходимо: 1) найти собственные значения матрицы М; 2) для каждого собственного значения найти набор собсп1венных вектаоров, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейно независимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения; 3) преобразовать сисщемы собственных векп1оров, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортоеонализации Грома — Шмид1па.
Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства; 4) выписать матрицу У, столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы. Пример 7.4. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу А= 2 5 -4 к диагональному виду. 7.4. Приведеиие симметрической матрицы к дивгоивльиоиу виду 209 1.
Находим собственные значения матрицы А. Для этого составляем ее характеристическое уравнение 2 — Л 2 — 2 с1е1(А — ЛЕ) = 2 5 — Л вЂ” 4 = — Лз+ 12Л2 — 21Л+ 10 = О. -2 — 4 5 — Л Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целое число может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена. Поэтому мы можем поискать корни среди чисел х1, х2, хб. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что одним из корней является Л| = 1. Найденный корень позволяет разложить левую часть характеристического уравнения на линейный и квадратичный множители, например, при помощи деления характеристического многочлена на х — 1 вв столбик": Л вЂ” 12Л +21Л-10 Л вЂ” 1 13 Л2 Л вЂ” 11Л+ 10 — 11Л2+ 21Л вЂ” 11Л2+ 11Л 10Л-10 10Л вЂ” 10 Получаем разложение (Л вЂ” 1)(Л2 — 11Л+10) = О, откуда находим оставшиеся два корня Л2 = 1, Лз = 10.
Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1. 2-3. Найдем для собственного значения Лцх = 1 кратности 2 два линейно независимых собственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однородной 210 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ системы линейных алгебраических уравнений (А — Е)х = О, т.е. системы х1+2хг — 2хз = О, 2х1 +4хг — 4хз = 0 — 2х1 — 4хг+ 4хз = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
