IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 26
Текст из файла (страница 26)
следствие 5.1). Матрица диагонального вида — наиболее простая, но не всякий линейный оператор может иметь такую матрицу (см. пример 5.7). Линейный оператор, который не может быть приведен к диагональному виду (т.е. его матрица ни в одном базисе не является диагональной), имеет характеристическое уравнение, у которого есть комплексные или кратные действительные корни.
Приведение матрицы линейного оператора к простому виду связано со структурой его инвариантных надпространств. Теорема 5.7. Пусть Я1 и Яг — инвариантные подпространства линейного оператора А: ь" -+ я"., причем Я1 ® Яг = ь". Тогда в некотором базисе Ь матрица А этого оператора А име- 177 Д.5.1. Жорданона нормальная форма ет блочно-диагональный вид: (5.10) где 0 обозначает нулевые блоки соответствующего типа, а квадратные блоки Ны Но имеют порядки о1щ'Н1 и оппН2 соответственно.
м Выберем в линейных подпространствах 'Н1 и 'Но базисы у =1у1 ... Д) и д= (д1 ... дь). В совокупности эти два базиса дают базис Ь всего пространства с, (см. доказательство теоремы 2.5). Так как Я1 — инвариантное подпространство линейного оператора А, вектор А~;, г = 1,1, попадает в Н1 и поэтому является линейной комбинацией системы векторов Другими словами, координаты вектора Ау; в базисе Ь, соответствующие векторам д, равны нулю. Аналогично координаты векторов Ад, о = 1, к, в базисе Ь, соответствующие векторам уо также равны нулю. Значит, в базисе Ь матрица А оператора А имеет вид (5.10).
~ Следствие 5.3. Если Ны ..., 'Н, — инвариантные подпространства линейного оператора А: ь". -+ .С, причем 'Н1 ®... Ю Ю'Н, = ь",, то в некотором базисе матрица оператора А имеет блочно-диагональный вид Н1 О О где квадратный блок Н, имеет порядок йщЯ,, 1 = 1, в, а остальные блоки являются нулевыми. ~ Выберем в каждом из инвариантных подпространств Н, базис. Все базисы в совокупности образуют базис простран- 178 5.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ства ь", в котором оператор А будет иметь матрицу указанного вида. ~ Остановимся на случае, когда характеристическое уравнение линейного оператора имеет лишь простые корни, среди которых, вообще говоря, есть и комплексные. Так как характеристическое уравнение линейного оператора имеет действительные коэффициенты, каждому комплексному корню а+ Ц этого уравнения соответствует комплексно сопряженный корень а — ю',0 той же кратности (Ц. Теорема 5.8. Любой паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнения линейного оператора соответствует двумерное инвариантное подпространство этого оператора. м Зафиксируем в линейном пространстве,С некоторый базис Ь и рассмотрим матрицу А линейного оператора А в этом базисе.
Пусть Л = а+ г,9,,9 ~ О, — комплексный корень характеристического уравнения линейного оператора А. Тогда бе1(А — ЛЕ) = О и система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (А — ЛЕ)х = О с комплексными коэффициентами имеет ненулевое решение х, которое можно записать в виде х = и+ )и, разделив действительные и мнимые части у элементов столбца х. Столбец и не является нулевым, так как в противном случае х = и, и Аи = Ли. Мы видим, что действительные элементы столбца Аи получаются из действительных элементов столбца и умножением на комплексное число Л, а это возможно лишь в случае, когда и = О.
Но это заключение противоречит выбору столбца х. Столбцы и и и линейно независимы. Действительно, если они линейно зависимы, то ри+ пе = О, где одно из чисел р и и отлично от нуля. Мы можем утверждать, что р ф О, так как в противном случае ие = О. Но е у~ О, значит н = О. Получилось, что оба коэффициента р и и являются нулевыми. 179 Д.5.1. Жордалова иормэльвая форма Итак, р у~ О, и поэтому и = ке, где к = — ь /р Е й. Следовательно, х=и+1е = (л+ю)е. Так как Ах =Лх, то А((к+1)е) = Л(к+1)е, и мы, сокращая равенство на к+1, находим, что Ае = Ле. Как мы уже знаем, для комплексного Л такое равенство невозможно.
В равенстве Ах = Лх сделаем замены Л = о+ Щ х = и+ ю: А(и+ 1е) = (а+ цЗ) (и+ Ы). Разделив действительные и мнимые части, получим два матричных уравнения Аи = аи — ~Зе, Ае = фи+ аю. (5.11) Рассмотрим векторы и и в, которые в базисе Ь имеют столбцы координат и и е. Эти векторы образуют линейно независимую систему, так как линейно независимы столбцы и и ш Кроме того, Аи = аи —,Во, Ае = )Уи+ ае, так как в матричной записи это совпадает с (5.11).
Полученные соотношения означают, что двумерное линейное подпространство Я = арап(и,е) является инвариантным подпространством линейного оператора А. ~ Для любых действительных а и ~3 обозначим С(а„В) = (5.12) С(она) О С(ор>,8р) р1 (5.13) О Теорема 5.9. Если характеристическое уравнение линейного оператора А: Е -+ ь".
имеет р различных пар комплексно сопряженных корней а ж Ц~, у = 1, р, и д различных действительных корней и, у = 1, д, 2р+ д = и = йшЕ, то в некотором базисе матрица А этого оператора А имеет вид 180 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ~ Каждой паре комплексно сопряженных корней а х1Д характеристического уравнения соответствует двумерное инвариантное подпространство 'Рд оператора А с базисом и, ий (см. доказательство теоремы 5.8).
Каждому собственному значению р соответствует одномерное собственное надпространство й линейного оператора А. Можно показать, что все эти подпространства образуют прямую сумму, так как пересечение любой пары таких подпространств содержит лишь нулевой вектор. Учитывая, что сумма размерностей этих подпространств равна 2р+ д = и = йш.С, заключаем, что Р1 Э...ЭР~Э Я1 Ю...Ю Я~ =.С. Согласно следствию 5.3, в некотором базисе матрица А оператора А имеет блочно-диагональный вид, причем каждый диагональный блок представляет собой матрицу ограничения оператора А на соответствующее инвариантное надпространство. В случае двумерного подпространства Р в базисе ид, и.
эта матрица равна С(а,~93) (см. (5.12)), а в случае одномерного инвариантного пространства й такой блок есть просто число, представляющее собой собственное значение п,ь ~ь Следствие 5.4. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы А порядка и имеет р различных пар комплексно сопряженных корней а ж Щ, у = 1, р, и д различных действительных корней,и;, у = 1, д, 2р+ д = и, то эта матрииа подобна некоторой блочно-диагональной матриие вида (5.13). ~ Указанная матрица А является матрицей некоторого линейного оператора А, характеристическое уравнение которого имеет различные корни.
Согласно теореме 5.9, в некотором базисе оператор А имеет матрицу А' блочно-диагонального вида (5.13). Матрицы А' и А подобны как матрицы одного оператора. ~ Если характеристическое уравнение оператора имеет кратные корни, действительные или комплексные, то инвариант- д.5.1. Жордавова нормааьная форма 181 ные подпространства такого оператора имеют более сложную структуру. Рассмотрим два типа специальных матриц. Для произвольного действительного числа р введем обозначение матрицы порядка ю р 1 О ...
О О О р 1 ... О О 1'(д) = О О О ... р 1 0 0 0 ... 0 р У этой матрицы все диагональные элменты равны р, над главной диагональю расположены элементы 1, а все остальные равны нулю. В случае л = 1 рассматриваемая матрица сводится к единственному числу р. Для любого комплексного числа А = о+ ьЗ (,З ф О) введем обозначение блочной матрицы порядка 2г: С(о,~З) Е 0 ... 0 0 0 С(о В) Е ... 0 0 С,(а,1З) = 0 0 0 0 ...
С(а,13) Е 0 0 ... 0 С(а,1З) где Сд(а„В) = С(а,1З) — квадратная матрица порядка 2 вида (5.12). Все остальные блоки также являются квадратными матрицами порядка 2, Е обозначает единичную матрицу, а 0— нулевую. Блочно-диагональную матрицу вида С„,(а~,Д) О 182 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ где а~,,0 Ц = 1, т) и щ (1 = 1, Й) — действительные числа, называют жордановой, ее диагональные блоки — жордановььнн клеписа.нн. Жорданову матрицу А', подобную данной матрице А, называют жордановой нормальной формой (жордановой канонической формой) матрицы А.
Жорданова нормальная форма определяется неоднозначно, так как подходящими преобразованиями подобия можно переставлять диагональные блоки (перестановка блоков в матрице линейного оператора вызывается перестановкой соответствующих векторов базиса). Среди жордановых клеток жордановой матрицы могут встречаться одинаковые. Однако можно утверждать, что если две жордановы матрицы подобны, то одна получается из другой перестановкой диагональных блоков. Это объясняется тем, что каждая жорданова клетка вида,ЦИ ) определяется собственным значением р матрицы, а жорданова клетка С (а,/з ) — комплексным корнем Л = а + ьЦ характеристического уравнения матрицы.
Частным случаем жордановой матрицы является матрица вида (5.13) (когда все корни характеристического уравнения простые) и диагональная матрица (все корни действительные, а все жордановы клетки имеют порядок 1). Теорема 5.10. Каждая матрица имеет жорданову нормальную форму. Вопросы и задачи 5.1. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу: а) 5 -3 3; б) 5 -7 3; в) -3 5 -1 1 0 0 -1/3 4/3 -2/3 2-2 0 г) -4 4 0; д) 4/3 -1/3 2/3; е) -2 1 -2 -2 1 2 -2/3 2/3 2/3 0 -2 О 183 Воирооы и эадачи ж) — 2 2 — 2 ; э) — 2 -2 4 ; и) -2 6 -2 к) 3 -2 -1 В примерах в), д)-к) постройте базис из собственных векторов и запишите матрицу линейного оператора в этом базисе. 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
