IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 22
Текст из файла (страница 22)
~ Замечание 4.3. Для любых двух линейных операторов А и В, действующих в линейном пространстве ь",, выполняется соотношение Кб(АВ) < шш(НяА,ВбВ). Действительно, рассмотрим оператор А как линейный оператор А:ппВ -+ ь".. Размерность образа оператора, т.е. его ранг,не превосходит размерности линейного пространства, из которого он действует, так как сумма дефекта и ранга совпадает с размерностью этого пространства (см. 4.1). В нашем случае имеем Кя(АВ) = йшпп(АВ) < йиппаВ = КбВ.
Так как образ линейного оператора АВ является линейным подпространством образа линейного оператора А, то Кб(АВ) < КбА. Доказанное соотношение можно перенести на квадратные матрицы с помощью теорем 4.5 и 4.4. В результате получаем, что ранг произведения матриц АВ не превосходит 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 148 пйпЩА, В.яВ). Особо отметим случай, когда одна из матриц, например В, является невырожденной. Тогда Вг(АВ) < Кя фи одновременно КяА = Кя((АВ)В т) < Кя(АВ). Следовательно, при умножении матрицы А справа на невырожденную матрицу ее ранг не изменяется. При умножении матрицы А слева на невырожденную матрицу ранг также не нзменяетс, что доказывается аналогично.
4.6.Линейные пространства линейных операторов Обозначим через Ь(Е,С) множество всех линейныг операторов, действующих из линейного пространства Е в линейное пространство Е'. В этом множестве введем операции сложения линейных оператпоров и умножения линейного оператора на дейстпвйтпельное число. Суммой линейных оператпоров А, В Е Ь(Е,Е') назовем оператор А+ В е е Ь(Е, С), определяемый формулой (А+В)х=Ах+Вх, хЕЕ, а произведением линейного оператпора А е ЦЕ,Е') на дейстпвитпельное число Л назовем оператор ЛА е ЦС,С'), действующий согласно формуле (ЛА)х = Л(Ах). Поскольку (А+ В)(стх+ ~3у) = А(стх+,Ву) + В(ах+ 13у) = = (аАх+)3Ау) + (аВх+ ~3Ву) = = ст(Ах + Вх) +,В(Ау + Ву) = = а(А+ В)х + ЯА+ В) у 149 4.б.
Диаейвые пространства аиаейнатх операторов (ЛА)(стх+Яу) = Л(А(стх+,Ву)) = Л(А(ах) + АЦЗу)) = = (Лет)Ах+ (Л~У)Ау = (стЛ)Ах+ ()тЛ)Ау = = ст(ЛАх) + ЯЛАу) = ст((ЛА)х) + 13((ЛА)у), отображения А+ В и ЛА действительно являются линейными операторами. Таким образом, отпноситпельно введенных нами операций множестпво Ц.С,.С') замкнутпо. Проверив аксиомы линейного простпранстпва, можно убедиться, что т. (С,.С) относительно этих операций является линейным пространством. Для каждого линейного оператора А: С -+ С' определен линейный оператор ( — А), задаваемый равенством (-А)х = = -(Ах). Нетрудно проверить, что ( — А) действительно линейный оператор: (-А)(Лх+ ру) = -(А(Лх+ ру)) = — (ЛАх+ рАу) = = Л( — (Ах)) + р(-(Ау)) = Л((-А)х) + р((-А)у).
В сумме с А линейный оператор (-А) дает нулевой оператпор. Поэтому в соответствии с терминологией линейных пространств (-А) называют оператпором протпивоположнымк А. Линейное пространство Ц.С,С) линейных операторов из линейного пространства С в себя называют линет1нььн простпранством линейных оператпоров (преобразований) пространства,С. Каждому линейному оператору А е ЦС„С), действующему в и-мерном линейном пространстве С, в заданном базисе Ь соответствует квадратная матрица А порядка и (матприиа этого линейного оператпора).
Тем самым определено отображение Ф: ЦС,С) -> Ма(К) из линейного пространства а.(С,С) в линейное пространство Ма(й) квадратных матриц порядка и с действительными коэффициентами,при этом Ф(А) = А. Согласно теореме 4.4 отпображение Ф является биектпивным. 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 150 Теорема 4.10. Пусть в н-мерном линейном пространстве С задан некоторый базис Ь. Тогда отображение Ф: Ц.С,.С) -+ -+ М„(Ж), сопоставляющее каждому линейному оператору его матрицу в базисе Ь, является иэоморфиэмом линейных просшрансте Ц,С,.С) и М„(К). ~ Как мы уже отметили, ошображение Ф биективно, и нам остается показать, что оно линейно. Пусть А и  — два произвольных линейных оператора иэ линейного пространства Ь(С,.С). Тогда для любого еентора х Е С со столбцом ноординаш х (А+ В)х = Ах+ Вх = ЬАх+ ЬВх = Ь((А+ В)х), где А и  — матрицы операторов А и В в базисе Ь. Итак, действие линейного оператора А+ В в базисе Ь записывается как умножение столбца координат вектора слева на матрицу А+ В.
Значит, А+ В и является матрицей линейного оператора А+ В. Итак, слоэсению линейных операторое при отображении Ф соответствует сложение их матриц. Аналогично умножению линейного операпьора на дейстеитпельное число Л соответствует умножение его матрицы на это число: (ЛА)х = Л(Ах) = Л(ЬАх) = Ь((ЛА)х). Условия а), б) определения 4.1 выполнены, поэтому отображе- ние Ф линейно 1ь Следствие 4.3. Если матрицы А,В Е М„(К) являются матрицами линейных операторов А,В Е ЦС,.С) в некотором базисе Ь линейного пространства С, то для любых чисел Л и р матрица ЛА+ рВ является матрицей линейного оператора ЛА+,иБ Е й(С, С) в том же базисе Ь. м Эта формулировка лишь перефразирует утверждение, что отображение Ф: Ь(С, С) -+ М„(И) является линейным, что доказано в теореме 4.10.
~ь 151 Вопросы и эадачи Вопросы и задачи 4.1. Выясните, являются ли линейными следующие отображения пространства Уз. а) х — ~ 3(х,х)х; б) ортогональная проекция на плоскость хОу; в) х -+ (хха) хЬ, где а, Ь вЂ” фиксированные векторы пространства Уз. 4.2. Выясните, являются ли линейными следующие отображения линейного пространства всех многочленов от переменной $ в себя: а) умножение многочлена на 1; б) умножение многочлена на аР; в) дифференцирование многочлена. 4.3. Будет ли линейным отображение А: Кз -+ Кз, если: а) А(х) =(зшх1, О, хз); б) А(х) =(х1+хз, 2хг+хз, — х1), где х=(х1, хз, хз) 4.4. Покажите, что линейным оператором является отображение А, которое каждый вектор х = а1е1 + ...
+ са„е„, заданный в линейном пространстве .С своими координатами относительно базиса е =' (е1 ... е„), отображает в вектор А(х) = = а1е1+ ... + а,ае,„, где чп ( п (оператор проектирования на подпространство арап(е1,..., е,„)). Найдите матрицу зтого линейного оператора в базисе е. 4.5. Запишите в заданном базисе матрицу следующих линейных операторов, действующих в линейном пространстве Уз: а) оператора проектирования на плоскость хОу, базис а, у, Й; б) оператора проектирования на ось Оу, базис а, у, Й; в) оператора проектирования на плоскость хОу, базис е| = = а, еч =.ч', ез = $+.з+Й.
4.6. В пространстве Уз задан вектор с = 34 — 2ч+ Й. Докажите, что отображение А, определяемое условием А(х) = с х х, является линейным. Найдите его матрицу в базисе а, з', Й. 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4.7. В линейном пространстве К„(х) многочленов переменного х степени не выше в задан линейный оператор дифференцирования 1.з [Р(х)) = Р'(х). Запишите матрицу этого оператора в базисе г ез= —, 2! ' х" е„= —. и! е~ — — 1, ег=х, 4.8.
Пусть Е и Е' — линейные пространства. Какому линейному пространству изоморфно пространство Ь(Е,С)? Чему равна размерность пространства ЦЕ,.С')? 4.10. Рассмотрим линейное пространство всех матриц второго порядка. Покажите, что умножение справа любой матрицы этого пространства на матрицу есть линейный оператор. Найдите матрицу этого оператора в базисе = 00 'г= 00 'з=10 '= 01 4.11. Покажите, что в линейном арифметическом пространстве Йз существует единственный линейный оператор, переводящий векторы а~, аг, аз соответственно в векторы Ьз, Ьг, Ьз, 4.9.
Определите, какие из следующих отображений А: йз -+ -+ йз являются линейными: а) А(х) = (х~+1, хг, хз+3); б) А(х) = (хг» 2хг+хз, х~ — хг); в) А(х) = (х1 — хг + хз, хз, хг); г) А(х) = (х +хз, хз+хз, Зхз — хг+хз), если х = (хм хг, хз). Для линейных операторов найти матрицы в базисе, в котором заданы векторы х и А(х). 153 Вопросы и задачи и найдите матрицу этого оператора в том же базисе, в котором даны координаты указанных векторов: а) а1= 3, аг= 1, аз= О Ь= 1, Ь= 1, Ь= б) а1= О, аг= 5, аз= 1 Ь1= 2 > Ьг= 5, Ьз= -1 в) а1= — 1, а2= О > аз= 1 Ь1 = 3 Ьг = 1 дз = 1 4.12. Линейный оператор А.
в базисе (е1 ег ез е4) имеет матрицу 1 2 О 1 3 О -1 2 2 5 3 1 1 2 1 3 Найдите матрицу этого оператора в базисе: а) е4, ег ез> е1, б) 31 е1> Уг =е1+е2 Уз е1+е2+ез> У4 = е1+ег+ез+е4) в) 31 е1 е2> У2 е1 ез УЗ е1 е4 У4 е4 154 4. ЛИИЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4.13. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе (е~ ...
е„) поменять местами два вектора е; и е ? 4.14, Линейный оператор А в базисе (ез ег ез) имеет матрицу А= 20 -15 8 Найдите матрицу этого оператора в базисе У~ = 2ез + Зег + ез, уг = Зез + 4ег + ез Уз = е~ + 2ег+ 2ез. 4.15. Линейный оператор А Е Ь(йз, Жз) в базисе ез= -6, ег= 7, ез= -3 имеет матрицу 1 -18 15 А = -1 -22 18 1 -25 22 Найдите матрицу этого оператора в базисе Л= -2, Уг= -1, Уз= 1 4.16. Найдите матрицу линейного оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве многочленов степени не выше двух, в базисе е ~ = 1, ег = х, ез = х .
Используя г матрицу перехода, найдите матрицу этого оператора в базисе уз = 1, уг =х — 1, Уз = (х — 1)~/2. 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНА'ЧЕНИЯ 5.1. Характеристическое уравнение матрицы Для произвольной квадратной матрицы А = (а; ) порядка п рассмотрим определитель ам — Л а1з ... а1„ а21 а22 Л ° ° ° а2н йеФ(А — ЛЕ) = а„1 а,а ... а„„вЂ” Л где Š— единичная матрица, а Л вЂ” действительное переменное.
Относительно переменного Л этот определитель является многочленом степени и и может быть записан в виде Хл(Л) = с$ес(А — ЛЕ) = ~( — 1)~ИьЛ", (5.1) я=о где множители ( — 1)" введены для удобства. Определение 5.1. Многочлен Л,~(Л) = йеЦА — ЛЕ) называтот харантперистпичесним многочленом матприцы А, а уравнение тл(Л) = Π— иарантттеристпичесним уравнением матприиы А. Пример 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
