IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следовательно, среди векторов, дающих минимальную невязку СЛАУ Ах = 6, минимальную норму будет иметь вектор х~~, и только он. Этот вектор является ортогональной составляющей (любого) частного решения нормальной СЛАУ относительно линейного подпространства К всех решений соответствующей однородной СЛАУ Ах =О. > Оказывается, что даа любой СЛАУ можно построить такую другую СЛАУ, единственным решением которой является псевдорешение исходной СЛАУ.
Для нахождения такой СЛАУ воспользуемся тем, что, согласно доказательству теоремы 3.11, условие минимальности нормы псевдорешения СЛАУ Ах = Ь означает его ортогонвльность всем векторам линейного подпространства К решений соответствующей однородной системы Ах = О. Ортогональность линейному подпространству К равносильна тому, что псевдорешение ортогонально каждому из векторов произвольно выбранной фундаментпальной системы решений СЛАУ Ах = О. Условия ортогональности представляют собой линейные уравнения, добавив которые к нормальной СЛАУ, мы и получим такую СЛАУ, единственным решением которой будет псевдорешение системы Ах = Ь. 120 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Пример 3.17.
Если матрица А нулевая, то псевдорешением СЛАУ Ах = Ь является нулевой вектор. Действительно, в этом случае невязка не зависит от выбора вектора х и равна ))Ь|!. Минимальную же норму среди всех векторов линейного арифметического пространства имеет нулевой вектор. Пример 3.18. Если матрица А является квадратной и невырожденной, то псевдорешение СЛАУ Ах = Ь совпадает с ее обычным решением, так как минимальная невязка, равная нулю, будет достигаться на единственном векторе, являющемся решением этой системы.
Псевдорешение совпадет с решением и в случае, когда матрица А не является квадратной, но имеет ранг, совпадающий с количеством столбцов. Это возможно в том случае, когда число строк превьппает число столбцов. Такую систему можно заменить эквивалентной ей квадратной, отбрасывал лишние уравнения. Пример 3.19. Рассмотрим простейшую систему х +у=О, х+у=1 двух уравнений с двумя неизвестными. Видно, что зта система несовместна.
Последовательно вычисляем А=( ), А А=( ) =( ), АЬ=( )( )=( ). Таким образом, нормальная СЛАУ в этом случае состоит из двух одинаковых уравнений: 2х+2у=1, 2х+2у = 1. Д.З.З. Псевдоретеиия и цсевдоооратиая матрица 121 Множество решений нормальной ,У системы, т.е. множество пар х, у, дающих минимальную невязку в 1 '. исходной системе, на плоскости изображается прямой х+ у = 0,5 '', од (рис. 3.7), а псевдорешением будет точка этой прямой, ближай- 0 ', 0,5 1 ', х шая к началу координат,т.е.точка с координатами х = 0,25, у = = 0,25. Этой точке соответству- Рис.
3.7 ет радиус-вектор с наименьшей нормой среди всех радиус-векторов точек прямой х+ у = 0,5. Если одно из уравнений исходной системы умножить на коэффициент, то и множество решений нормальной системы, и псевдорешение данной системы изменятся. Это достаточно очевидно, так как умножение уравнения на коэффициент изменяет, вообще говоря, его невяэку. Например, умножив второе уравнение рассматриваемой системы на 2: < х+у=О, 2х + 2у = 2 и вычислив находим, что нормальная СЛАУ и в этом случае будет состоять из двух идентичных уравнений 5х+ 5у = 4, но они уже другие. Псевдорешением рассматриваемой системы будет х = 0,4, у = 0,4.
Пример 3.20. Рассмотрим на плоскости треугольник с вершинами (1;1), (2;2), (3;1) (рис. 3.8). Прямые, на которых 122 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА лежат стороны этого треуголь- ника, опишем при помощи нор- мальных уравнений и составим из них систему х у — — — =о, ~Г2 ~Г2 у=1, — + — = 2~Г2. ъ~2 ~/2 Рис. 3.8 Полученная система несовместна, так как три прямых не имеют общей точки.
Определим для полученной системы нормальную СЛАУ. Для этого последовательно находим: 1 1 ~~2 ~/2 О 1 1 1 АА=, АЬ= ~Г2 ~Г2 Нормальная СЛАУ А Ах = А Ь имеет единственное решение т т х = 2, у = 1,5, являющееся (в силу единственности) псевдорешением исходной системы. Так как прямые плоскости заданы нормальными уравнениями, квадрат невязки системы для вектора (хе, уе) будет равен сумме квадратов расстояний от точки (хе;уе) до трех прямых.
Найденному псевдорешению на плоскости соответствует точка (2; 1,5), сумма квадратов расстояний от которой до трех сторон треугольника является минимальной. ф. Псевдорешения сохраняют линейные свойства решений линейных систем. Теорема 3.12. Если х1 — псевдорешение системы Ах = = Ьм хз — псевдорешение системы Ах = Ьм то Л|х1 + Лзхз— псевдорешение системы Ах = Л1Ь1+ Лев. Д.З.З.
Поевдорешения и ооевдообротная матрица 123 м Из условий теоремы вытекает, что х, является решением нор- мвльной СЛАУ А Ах = А Ь;, 1=1,2. Значит, Л~х~+Лохэ является решением нормальной СЛАУ А Ах = А Л~Ь| + А ЛоЬз, и нам остается показать, что при этом Л~х~ + Лохо имеет минимальную норму или, что то же самое, Л~х~ + Лзхо и любое решение у однородной СЛАУ Ау = О ортогональны. Отметим, что псевдорешения х; ортогональны всем решениям СЛАУ Ау = О как псевдорешения систем, различающихся лишь правыми частями. Это значит, что (у, х;) = О, если Ау = О. Поэтому (у, Лдх~ + Лзхз) = Л~ (у, х~) + Лз (у, хг) = О, если Ау=О. ~ Псевдообратная матрица. Решение СЛАУ Ах = 6 с квадратной невырожденной матрицей А может быть записано с помощью обратной жатприиы в виде х = А 'Ь [1П]. Обратная матрица А ~ является решением матричного уравнения АХ = Е, где Š— единичнал матрииа, а столбцы с; обратной матрицы являются решениями систем Ад; = е;, ю' =1, и, где еы ..., е„— стандартный базис в линейном пространстве Ко (столбец е; является также ь'-м столбцом единичной матрицы).
Для т Ь= (6~ ... 6„) справедливо разложение Ь= 6|е~+... +Ь„е„, и поэтому формула х = А ~Ь в векторной форме записывается в виде х = 6~у~ +... + Ь„д„, т.е. в виде линейной комбинации решений д;, коэффициентами в которой служат правые части 6; уравнений системы. Этот подход позволяет обобщить понятие обратной матрицы и использовать это обобщение для нахождения псевдорешений примерно так же, как обратную матрицу для построения обычных решений. Рассмотрим СЛАУ Ах = Ь с произвольной матрицей А типа ихй.
Пусть д; — псевдорешение системы Ах = е;, где еы ..., е„— стандартный базис в йо. Матрицу А» = (д~ ... д„), составленную из столбцов д,, называют исеадообратноб к 124 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА матрице А. Отметим, что матрица А+ имеет тип й хо, т.е. тот т же, что и транспонированная матрица А . Теорема 3.13. Псевдорешением СЛАУ Ах = Ь является вектор х = А+Ь. ~ Действительно, если д; — псевдорешение системы Ах = е;, г = 1, и, то, согласно теореме 3.12, х = Ь~д~ +... + Ь„д„является псевдорешением системы с той же матрицей и правой частью 5~е~ +...
+ Ь„е„= Ь, т.е. рассматриваемой системы Ах = Ь. ~ Как вытекает из изложенного, любая матрица имеет псевдообратную. Если матрица А квадратная невырожденная, то ее псевдообратная матрица А+ совпадает с обратной А ~, так как в этом случае псевдорешения д; систем Ах = е; будут совпадать с обычными решениями и, следовательно, будут столбцами обратной матрицы. Пример 3.21. Если А — нулевая матрица типа нхй, то А+ — также нулевая, но типа й хо.
В этом случае псевдорешением системы Ах = е;, 1 = 1, и, будет нулевой столбец высоты Ь (см. пример 3.17). Пример 3.22. Рассмотрим матрицу 4 5 6 Эта матрица имеет ранг 2, а соответствующая СЛАУ при любой правой части, согласно теореме Кронекера — Капелли, будет совместна, так как ранг расширенной матрицы не может превышать двух и потому совпадает с рангом матрицы системы.
Поэтому псевдорешение СЛАУ Ах = Ь являетсл одним иэ ее решений. Оно выделяется среди всех решений тем, что является ортогональным каждому решению соответствующей однородной системы. Фундаментальная система решений СЛАУ Ах = О состоит из одного вектора (поскольку ВдА = 2), и в качестве этого 125 Вопросы и задатп т вектора можно взять (1 — 2 1) . Добавляя условие ортогональности, получаем две системы длл " хождения столбцов д1 и дг псевдообратной матрицы: хг+2хг+ Зхз = О, д1 = -1/9, дг = 1/9 Итак, Вопросы и задачи 3,1. Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши — Буняковского превращается в равенство? 3.2. Можно ли утверждать, что в евклидовом пространстве верна теорема о трех перпендикулярах? 3.3. Выясните, является ли линейное пространство Мг(и) всех квадратных матриц второго порядка евклидовым относительно операции: а) (А, В) = а1аг + ЬзЬг + с1сг + а1аг' б) (А,В) =а1аг+Ь|сг+с15г+сЩ, где А= ' ', В= аг = (1, -2, 2), аг=( — 1,0, 1), аз = (5 -3 — 7) х1+ 2хг + Зхз = 1) 4х1 + 5хг+ бхз = 0 х1 — 2хг+хз =0 Решал эти системы, находим 3.4.
Убедитесь, что в Кз векторы 4х1+ 5хг + бхз = 1, х1 — 2хг+хз =О. 126 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА образуют базис. С их помощью постройте ортонормированный базис. 3.5. Проверьте, что в Кз векторы а1=(1, -2, 2), аг=( — 2, -2, — 1), пз = (2 — 1 — 2) образуют ортогонэльный базис, и для вектора ж = (1, 2, 3) найдите разложение по этому базису.
3.6. Убедитесь, что в К4 векторы а1=(1,2,2,— 1), аг=(1 1 — 5,3), аз=(3,2,8,— 7) линейно независимы. Используя процесс ортогоналиэации Грама — Шмидта, постройте ортогональный базис для линейной оболочки этих векторов. 3.7. В евклидовом пространстве К4 даны два вектора а1 = (1, — 2, 1, 3), аг = (2, 1, — 3, 1). Убедитесь, что эти векторы ортогональны. Для линейной оболочки этих векторов найдите ортогональное дополнение (в виде линейной оболочки) и постройте его ортонормированный базис. 3.8.
Определите размерность и найдите ортонормированный базис линейной оболочки векторов а1=(2, 1, 3, — 1), аг=(7, 4, 3, — 3), аз=(1, 1, — 6, 0), а4 =(5, 7, 7, 8). Дополните этот базис до ортонормнрованного базиса евклидова пространства К4. 3.9. В евклидовом пространстве К4 даны векторы а1=(1, 1, 1,1), аг=(1,2,2, -1), аз=(1 0,0 3);у=(4, — 1, — 3, 4). Найдите ортогональные проекции вектора у на линейную оболочку векторов а1, аг, аз и ортогональное дополнение к этой линейной оболочке. 127 Вопросы и задачи 3.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
