IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Определение 3.2. Функцию, заданную на линейном пространстве .С, которая каждому вектору х Е Е ставит в соответствие действительное число ]]х]], называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы: а) Ох]] > О, причем равенство [[х]] = О возможно только при х= О; б) ][Лх]] = )Л))Щ Л Е)к; в) ]]х+ у]] < )]х]]+ ][у]] (неравенстпво тпреугояьника). Определение 3.3. Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным простпранстпвом. Евклидовы просшрансшвв и нормированные пространства представляют собой примеры линейных пространств с дополнительными структурами: скалярнььи умножением и нормой соответственно. Эти два понятия совершенно различны, одна ко, как утверждает следующая теорема, исходя из скалярного 85 З.З.
Нормироааюпее пространства умножения в евклидовом пространстве можно задать норму и тем самым превратить евклидово пространство в нормирован- ное. Теорема 3.2. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет норму согласно формуле (Щ = Дх, х). (3.3) < Отметим, что, согласно аксиоме г) скалярного умножения, (х, х) > 0 и, следовательно, функция, заданнал соотношением (3.3), определена для всех векторов х евклидова пространства. Проверим выполнение аксиом нормы. Аксиома а) нормы немедленно следует из аксиомы г) скалярного умножения (определение 3.1). Аксиома б) нормы вытекает из аксиомы в) скалярного умножения и свойства 3.1: (х, у) < ~/(х, х) Ду, у) или, с учетом (3.3), (х, У) < Зх8 Щ~.
Используя это неравенство, получаем ~)х+у~)г = (х+у,х+у) = = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) < < (х, х)+ 2~/хЙ 'вув+(у, у) = (~ф!+ Щ~) Введение нормы по формуле (3.3) опирается только на общие свойства скалярного умножения, вытекающие нз его аксиом, и не связано со спецификой конкретного линейного про- Остается проверить аксиому в) нормы, для чего мы воспользуемся неравенством Коши — Буняковского (3.1), которое можно записать в виде 86 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА странства. Позтому такую норму в евклидовом пространстве называют евклидовой или сферической нормой.
Когда говорят, не уточняя, о норме в евклидовом пространстве, обычно имеют в виду именно зту норму. Вовсе не обязательно, чтобы в евклидовом пространстве норма вводилась через скалярное произведение. Рассмотрим следующие примеры, показывающие другие часто используемые нормы, не связанные с каким-либо скалярным произведением. Пример 3.6.
В линейном ари4метическам простпрансгпве К" нормой является функция !! !!1 вида !!ж!!1=!х1!+...+!х„!, ж=(х1, ..., х„) (!. ! в правой части обозначает модуль действительного числа). Легко убедиться, что аксиома а) нормы выполнена, так как величина !х1! + ... + !х„! всегда неотрицательна, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда все компоненты х, арифметического вектора равны нулю. Так же просто убедиться в верности аксиомы б) нормы. Для проверки неравенства треугольника (аксиома в) нормы) выберем произвольные два вектора х = (х1, ..., х„) и у = = (у~, ..., у„) нз К".
Тогда !!к+у!1, = !!(х~+ у1, ..., х. + у.И!, = = !х1+у1!+... + !х„+у„! < < !х1!+ !у1!+... + !х,!+ !уи! = !!х!1, + !!у!1,. Приведенную норму называют 11-нормой или октвэдрической нормой. Пример З.Т. Функция 87 3.3. нормированные вростравства заданная на векторах х = (х1, ..., х„) в К", также является нормой в Кв. Эту норму называют 1,-нормой или кубической 'нормой.
Как и в предыдущем примере проверка аксиом а) и б) 'нормы очевидна. Проверим неравенство треугольника для произвольных векторов и = (хм ..., х„) и у = (ум ..., у„): !1х+у!1 = !!(х1+уп ..., х„+у„)11 = щах(1х1+у11,..., !х„+у„О < < щах (1х~1+ !у1 1,..., 1х„! + !у„Ц < щах (1х11,..., !х„Ц + + Пу11,".,1у И=11*11 +1!у11 Ф Нормы !!х!1, 11х!1, !1х111 одного и того же вектора х связаны неравенствами 11*11 < 11*11 < 11*11„ которые непосредственно вытекают иэ определений этих норм. Пример 3.8. Множество Я тех векторов х нормированного пространства, которые удовлетворяют равенству !!х1! = 1 (единичных вектпоров), называют единичной сферой.
Множество Я зависит от линейного пространства и однозначно определяет рассматриваемую в нем норму. На рис. 3.1 изображен вид единичной сферы для различных норм двумерного линейного пространства (конкретно линейного пространства радиус-векторов точек плоскости): евклидовой (рнс. 3.1, а), октаздрической (рис. 3.1,б) и кубической (рис. 3.1,в). В случае трехмерного линейного пространства (линейного пространства радиус-векторов) единичные сферы укаэанных норм изображены на рис. 3.2. Мы видим, что это сфера (рис.
3.2, а), октаэдр (рис. 3.2, 6) и куб (рис. 3.2, в). Вид единичной сферы для этих норм и послужил источником для их названий. 88 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Рис. 3.1 Рнс. 3.2 3.4. Угол между векторами Понятие угла между свободными векторами в пространствах Ъ~ и Рз обобщается на любое евклидова пространство. Однако если в пространствах свободных векторов определение скалярного произведения базировалось на угле между векторами, то в произвольном евклидовом пространстве наоборот, аксиоматически заданное скалярное произведение позволяет определить угол. Определение 3.4.
Уелом у между ненулевыми векторами ж и у в евклидовом пространстве Е называют значение ~р на отрезке от 0 до я, определяемое равенством 89 З.Б. Ортогоиаеьигее системы векторов Согласно неравенству Коши — Буняковского (3.1) правая часть в (3.4) по модулю не превосходит 1 и потому является косинусом некоторого действительного числа. Следовательно, угол ~о определен корректно для любой пары ненулевых векторов.
Равенство (3.4) не имеет смысла, если один из векторов нулевой. В этом случае угол между векторами не определен, и мы будем приписывать ему то значение, которое наиболее удобно в конкретной ситуации (то же соглашение действует и в пространствах свободных векторов, [11Ц). Пример 3.9. В Ж4 со стандартным скалярным умножением угол ~р между векторами х = (1, О, 1, 0) и у = (1, 1, О, 0) равен к/3, поскольку в соответствии с (3.4) 1 1+О 1+1 О+0.0 1 ~~~0'~-в~о~ ~ь~Т'+О'~-о' 2 Аналогично в евклидовом пространстве С(0, 1] (см. пример 3.4) угол ~о между функциями /(х) = 2 и д(х) = 2х-1 равен т/2, так как Уе=/Л )И )4 =/2(2 — 1И*=И '- )~ =0 и в соответствии с (3.4) говор = О. 3.5.
Ортогоналъные системы векторов Определение 3.5. Два вектора в евклидовом пространстве называют ортпогонаяьными, если их скалярное произведение равно нулю. Ортогональность векторов х и у будем обозначать так: х.1 у. Отметим, что, согласно свойству 3.3 скалярного умножения, нулевой вектор ортогонален любому другому.
90 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА у = а1а1+... + аьаь и поэтому, согласно свойству 3.4, (х,у) =а1(х,а1)+...+аь(х,аь) =О. В частности, если векторы х и а ортогональны, то для любого Л Е К векторы х и Ла тоже ортогональны: (х, Ла) = Л(х, а) = О. В пространстве Уз ненулевым ортогональным векторам х и у можно сопоставить катеты прямоугольного треугольника, причем так, что их сумме, построенной по правилу треугольника, будет соответствовать гипотенуза этого прямо/ угольного треугольника (рис. 3.3). По аналогии с уз мы назовем в евклидовом пространстве сумму х+ у ортогональных У Рис.
3.3 Евклидово пространство — это, согласно определению 3.1; частный случай линейного пространства, и поэтому можно го» ворить о его линейных поднространствах в смысле определения 2.1. Каждое из таких линейных подпространств является евклидовым пространством относительно скалярного умножения, заданного в объемлющем евклидовом пространстве. Говорят, что вектор х в евклидовом пространстве Е ортогонален надпространству Я, и обозначают х .1 Я, если он ортогонален каждому вектору этого подпространства. Если Н = врап1ам..., аь), то условие х 1. Н равносильно тому, что вектор х ортогонален каждому вектору а1, ..., аь. Действительно, если х ортогонвлен Н, то, согласно определению, он ортогонален и каждому вектору ам ..., аь.
Докажем противоположное утверждение. Пусть х.1 а;, 1 = 1, я, и у Е Н. Тогда вектор у я;ляется линейной комбинацией векторов а;: 3.5. Ортогональкые системы векторов Векторов х и у гипотенузой треугольника, построенного на х и у. Тогда на произвольное евклидово пространство распространяется известная тпеорема Пифагора. Теорема 3.3. Если векторы х и у из евклидова пространства ортогональны, то Цх+уЦ =ЦхЦ +ЦуЦ . ~ Здесь под нормой мы, как обычно, понимаем евнлидову норму.
Выразим левую часть этого равенства через скалярное произведение н воспользуемся условием ортогональности (х,у) =О: Цх+уЦ =(х+у,х+у) = =(х,х)+2(х,у)+(у,у) = ЦхЦ~+ ЦуЦ~. Определение З.б. Систему вентиоров евклидова пространства называют ортпогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны. Следующее свойство ортогональной системы является самым важным. Теорема 3.4.
Любая ортогональная сиснтема ненулевых векторов линейно независима. ~ Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов е1, ..., етк. Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов а1, ..., сан выполняется равенство (3.5) а1е1+... + сь,е,„= О. Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор е;: (а1е~ +... + ст;е; +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
