IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Чтобы упростить вы- числения, используем умножение строк на комплексные числа, сопряженные к элементам первого столбца: 2+1 3 — 21 — 7 ~ 5 4 — 71 — 14+ 71 1 — 1 1 -3+21 2 1+1 -5 — 1 31 1- 21 -1- 41 3 — 2 — ю' — 4+ г 1 -3 — 21 1+ 21 5 4 — 71 -14+ 7ю' 2 1+1 — 5 — 1 с 1 — 3 — 21 1+ 21 1 -3 — 21 1+ 21 0 19+ 31 — 19 — 31 0 1 — 1 0 7+51 -7 — 51 0 0 0 51 Вовросьги задачи Видим, что ранг матрицы СЛАУ равен двум, а значит, линейное пространство решений одномерно. В качестве базисных неювестных можно юять яп хз, тогда хз — свободное неизвестное. Полагая яз = 1, находим хз = 1, х1 = 2. Таким образом, фундаментальная система решений рассматриваемой т СЛАУ имеет один вектор ж<Ц = (2 1 1), а общее решение имеет вид где С вЂ” проювольное комплексное число.
Далее мы будем рассматривать линейные пространства только над полем действительных чисел. Вопросы и задачи 1.1. Может ли линейное пространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; в) 100 элементов? 1.2. Выясните, образует ли линейное пространство: а) множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, относительно линейных операций над векторами; б) множество всех векторов плоскости с началом в начале системы координат, расположенных в правой полуплоскости, относительно обычных операций сложения и умножения векторов; в) множество кососимметрических матриц третьего порядка относительно операции сложения матриц и умножения матрицы на число; г) множество функций вида асов$+ Ьз1п8, $ Е ( — оо,со), а, Ь Е Й, относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число; Ь ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 52 д) множество многочленов степени п относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.
1.3. Пусть множество М состоит из одного элемента а. Определим операции сложения и умножения на действительное число а соответственно равенствами: а+ а = а, аа = а. Является ли М линейным пространством? 1.4. Предположим, что множество М состоит из всевозможных упорядоченных пар действительных чисел х = (а~, аэ). Пусть на этом множестве заданы следующие операции: а) если х = (а~,аэ), у = (Д,)уэ), то х+у = (а~+А,аэ+4г); б) если у е К и х Е М, то 'ух = (уа~,аэ).
Является ли М линейным пространством? 1.5. Является ли линейным пространством множество всех действительных чисел, если операции сложения Ю и умножения О на число ввести следующим образом: хщу = х+у, аОх = =!аФ 1.6. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты и образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения. 1.7. В линейном пространстве 1~з заданы три вектора аг = (1; 4; 3), аэ = (3; 3; 2), аз = (8; 1; 3).
Выясните, является ли система этих векторов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найдите зависимость между векторами (нулевую нетривиальную линейную комбинацию этих векторов). 1.8. Пусть в линейным пространстве Е задана линейно независимая система из и векторов. При каких условиях можно утверждать, что Жтх. = п? 1.9. Докажите, что дипел~~ = 2, йш)'з = 3. 53 Воиросьти задачи 1.10. Найдите размерность линейного пространства, состоящего из решений системы линейных однородных уравнений (Н1]. Как связаны между собой понятия: а) базис и фундаментальная система решений; б) размерность линейного пространства решений и ранг матрицы системы? 1.11. Векторы ам аг, аз, а4 линейного пространства Е заданы своими координатами в некотором базисе: а1= 2, аг= 5, аз= -7, а4= -5 Является ли система этих векторов линейно зависимой? Дайте ответ, не проводя вычислений. 1.12. Выясните, образуют ли векторы а1=(1, О, О, 0), аз = (1, 1, 1, 0), аг = (1, 1, О, 0), а4 — (1 1 1 1) базис в линейном арифметическом пространстве К4? 1.13.
Найдите координаты вектора е в базисе е = (е1 ег ез), т если известны его координаты ( — 1 4 3) в базисе Ь = (Ь1 Ьг Ьз), а базисы связаны соотношениями е1 = — Ь1 + Ьг - ЗЬз, ег = Ь1 — 2Ьг Ьз ез = Ь1 + 2Ьг + 2Ьз. бг= 3 р Ьг= — 1, Ьз= 1 1.14. В линейном пространстве две системы векторов Ь = = (Ь1 Ьг Ьз) и е = (е1 ег ез) заданы своими координатами в некотором базисе: 54 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА е1 = 1 , ег = 0 , ез = 1 Докажите, что эти системы являются базисами. Найдите: а) матрицу У = Рм перехода от базиса Ь к базису е; б) матрицу Р,з обратного перехода от базиса е к базису Ь; в) координаты вектора ег в обоих базисах; г) координаты вектора х = = — ЗЬ1 — 5Ьг+2Ьз в базисе е.
1.15. Найдите размерность 41юМ„,„(И) линейного пространства матриц типа пз хо с элементами из Ж. 1.16. Является ли матрица 4 2 -3 матрицей перехода от одного базиса трехмерного линейного пространства к его другому базису? 1.17. Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является: а) треугольной; б) симметрической; в) кососимметрической? 1.18.
Может ли в пространстве $~з матрица перехода быть кососимметрической? 1.19. При каких условиях векторы а, Ь, ахЬ в пространстве Рз образуют базис? 1.20. Докажите, что в линейном пространстве К„[х] многочлены (х — а)", Ь = О, и, а = сопз$, образуют базис. Найти координаты произвольно взятого многочлена р(х) Е К„[х] в этом базисе.
2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 2.1. Определение и примеры В любом линейном простпранстве,С можно выделить такое подмножество векторов, которое относительно операций из С само является линейным пространством. Это можно делать различными способами, и структура таких подмножеств несет важную информацию о самом линейном пространстве С. Определение 2.1. Подмножество Н линейного пространства С называют линейным подпростпранстпвом, если выполнены следующие два условия: 1) сумма любых двух векторов иэ 'Н принадлежит Н: х, у е 'Н =о х+ у е 'Н; 2) произведение любого вектпора из Н на любое действительное число снова принадлежит'Н: хе'Н, Лей =о Лх е'Н. Определение 2.1 фактически говорит о том, что линейное подпространство — это любое подмножество данного линейного пространства, замкнутпое относительно линейных операций, т.е.
применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому подмножеству, не выводит результат за пределы подмножества. Покажем, что линейное подпространство Н как самостоятельный объект является линейным пространством относительно операций, заданных в объемлющем линейном пространстве .С. В самом деле, эти операции определены для любых элементов множества С, а значит, и для элементов подмножества 'Н. Определение 2.1 фактически требует, чтобы для элементов иэ Н результат выполнения операций также принадлежал Н. Поэтому операции, заданные в С, 56 2.
ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА можно рассматривать как операции и на более узком множестве 'Н. Для этих операций на множестве Я аксиомы линейного пространства а) — 6) и д)-з) выполнены в силу того, что они справедливы в Е. Кроме того, выполнены в две оставшиеся аксиомы, поскольку, согласно определению 2.1, если ж Е Я, то: 1) О ° ж = О Е Ж и Π— нулевой еектпор в Я; 2) ( — 1)ж = — ж е Я. В любом линейном пространстве ь". всегда имеются два линейных подпространства: само линейное пространство Е и нулевое иодпрос~прансгпво (0), состоящее иэ единственного элемента О. Эти линейные подпространства называют несобсгпвенными, в то время как все остальные линейные подпространства называют собсгпвеннььии.
Приведем примеры собственных линейных подпространств. Пример 2.1. В линейном пространстве $~2 свободных векторов трехмерного пространства линейное подпространство образуют: а) все векторы, параллельные данной плоскости; б) все векторы, параллельные данной прямой. Это вытекает из следующих соображений. Из определения суммы свободных векторов [П1] следует, что два вектора а, Ь и их сумма а+ Ь компланарны (рис. 2.1, а). Поэтому, если а и Ь параллельны данной плоскости, то этой же плоскости будет параллельна и их сумма. Тем самым установлено, что для случая а) выполнено условие 1) определения 2.1.
Если вектор умножить на число, получится вектор, коллинеарный исходному (рис. 2.1, б). Это доказывает выполнение условия 2) определения 2.1. Случай б) обосновывается аналогично. Рис. 2.1 Линейное пространство Уз дает наглядное представление о том, что такое линейное подпространство. Действительно, 2.1. Определение и примеры 57 фиксируем некоторую точку в пространстве. Тогда различным плоскостям и различным прямым, проходящим через зту точку, будут соответствовать различные линейные подпространства из Уэ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
