IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.11. Докажите, что в линейном пространстве квадратных матриц порядка и линейные подпространства симметрических и кососимметрических матриц можно рассматривать как прямые дополнения друг друга. 2.12. В линейном пространстве квадратных матриц порядка п найдите размерность и базис пересечения линейных подпространств верхних треугольных и нижних треугольных матриц.
2.13. Докажите, что множество трсхдиагонэльных матриц порядка и является линейным пространством относительно линейных матричных операций. Найти размерность н базис этого линейного пространства. 2.14. В шестимерном линейном пространстве Е даны два линейных подпространства Я~ и Яэ размерностей 3 и 4 соответственно. Что можно утверждать о размерности пересечения этих линейных подпространств? При выполнении какого условия справедливо равенство Я~ +Яэ = С? Может ли сумма Я~ + Яэ быть прямой? 2.1$. Сколько прямых дополнений имеет двумерное линей- ное подпространство в трехмерном линейном пространстве? 3.
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 3.1. Определение евклидова пространства В линейном простпранстве свободных вентпоров Уз кроме линейных операций рассматривались и другие. Были введены две операции умножения векторов (скалярное и векторное), для вектора использовалась такая естественная характеристика, как длина (модуль). Взаимное расположение векторов можно было оценивать с помощью угла между ними (ПЦ. Понятие скалярного произведения вводилось исходя из геометрических свойств свободных векторов (длины и угла между векторами).
В проювольном линейном пространстве этих свойств пока нет, и поэтому мы не можем ввести скалярное произведение аналогичным способом. Однако такое произведение можно определить исходя ю алгебраических свойств, которые были установлены для пространства Уз. Определение 3.1. Линейное пространство Е называют евнлидовым проспзрансжвом, если в этом пространстве задано сналлрное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов х, у Е Е поставлено в соответствие действительное число (х, у), называемое сналлрнмм произведением.
При этом выполняются следующие ансиомы сналлрноео умножения: а) (х,у) =(у,х); б) (х+ у, х) = (х, х) + (у, х); в) (Лх, у) = Л (х, у), Л й К; г) (х, х) ) О, причем (х, х) =О лишь в случае, когда х = О. З.Ь Олределеиие евклидова лроетраиетва 79 Скалярное произведение часто обозначают так же, как и п оизведение чисел, т.е. вместо (х,у) пишут ху. Скалярное п наведение вектора на себя называют ска аерньем квадрата м (по аналогии с квадратом числа). ример 3.1. В линейном пространстве 1тз было введено скалярное умножение согласно правилу (х, у) = ]х[ ]у]соя(х,у), где х, у — угол между векторами х и у, а ]х], ]у] — их длины.
Это умножение удовлетворяет приведенным аксиомам скалярного умножения [1Н] и, следовательно, полностью согласуется с определением 3.1. Таким образом, линейное пространство Уз относительно указанной операции является евклидовым пространством. Пример 3.2. В линейном арифметпическом простпранстпве К" формула (х, у) = хту~ +...
+ х„у„вводит скалярное умножение, поскольку выполняются аксиомы скалярного умножения. Указанное скалярное умножение векторов из К" иногда называют стпандартпным, а само Кв — евклидовым арифметпическим простпранстпвом. Пример 3.3. В произвольном п-мерном линейном простпранстпве .С всегда можно ввести скалярное произведение, причем различными способами. Выберем в этом пространстве некоторый базис ем ..., е„. Для произвольных векторов х = хтет +... + х„е„и у = утет+... +у„е„положим (х, у) = хтут +... + хвув Нетрудно убедитьсл, что аксиомы скалярного умножения выполняются, т.е. и-мерное линейное пространство становится евклидовым. Отметим, что разным базисам будут соответствовать, вообще говоря, разные операции скалярного умножения. Задание скалярного произведения через координатпы еектпоров в некотором базисе можно рассматривать как обобщение стандартного скалярного произведения в К": компоненты если в нем ввести скалярное умножен Р ие 1 (у, д) = у(х)д(х) Ых.
о Убе имея, используя свойства определенно р го интег ала [Ч?], что зта операция — действительно скалярное умножение. Аксиома а): 1 1 (~,д) = ~(х)д(х)Йх= д(х)~(х)Йх = (д, ~). о о Аксиома б): 1 (~ -ь,о) =/~~ ( )+ь( )Ь( )ь= о 1 1 Ях)д(х) Йх+ 1г(х)д(х) Йх = (~1, д) + (6, д) . о о Аксиома в): 1 1 руд~=/~1л,))д( )ы =ф( )д~ ~н = ~(уд). о о Аксиома г): 1 1 (~, Я = ~(х)~(х)~ = Р(х)~(х > О. о о Непосредственно из аксиом скалярного умножения следует ряд его простейших свойств. Далее х, у, « — произвольные векторы евклидова пространства, а Л вЂ” действительное число. Свойство 3.1.
(х, Лу) = Л(х, у). < Это свойство аналогично аксиоме в) скалярного умножения и вытекает иэ равенств (х, Лу) = (Лу, х) = Л(у, х) = Л(х, у), которые выполнены в силу этой аксиомы и коммутативности скалярного умножения (аксиома а)). ~ Свойство 3.2.
(х, у+ «) = (х, у) + (х, «). м Это свойство аналогично аксиоме б) и следует из равенств (х, у+ ) = (у+ «, х) = (у, х) + (, х) = (х, у) + (х, «), которые выполнены в силу этои аксиомы и коммутативности скалярного умножения. В Свойство З.З. (х, 0) = О. м Утверждение следует из свойства 3.1: (х, 0) = (х, 0 0) = 0(х, 0) = О. е тл УП Свойство 3.4. ~ ~; сц,хь, у) = ~ оь(хы у), где оь Е К, я=1 Й=1 Й = 1, т. м Утверждение является обобщением аксиом б) и в) и выражает собой многократное применение этих аксиом. Доказательство базируется на методе математической индукции, который проводится по количеству т слагаемых в формуле. При аахе, у) = (~~) стахе +о +~х„,+1, у) = Е а=1 а=1 ,~б) =(Я~ „,р)-)), „у)= а=1 предположение математической = ~) ол(хя,у)+(ссп,+1х„,+),у) = индукции а=1 ) =с,' )) ),у))- ) .И= а=1 и)+1 = ~оа(хьу).
Свойство 3.5. Если векторы х и у евклидова пространства Е таковы, что для любого х Е Е выполнено равенство (х, х) = = (у, х), то этн векторы совпадают: х = у. ~ Это свойство не является достаточно очевидным н ннтунтнвно понятным, но нграет важную роль в некоторых доказательствах. Чтобы доказать зто свойство, преобразуем равенство (х, х) = (у, х) в форму (х — у, х) = О, воспользовавшись аксиомой б). Полученное равенство верно для любого вектора х, в частности, оно верно для вектора х = х — у: (х — у, х — у) = О.
Последнее же равенство, согласно аксиоме г), может выполняться только в случае, когда х — у = О. > 3.2. Неравенство Коши — Буняковского Теорема 3.1. Для любых вектаоров х, у евклидова простпрансгава Е справедливо неравенстпво Коши — Бунаковсного (х, у) < (х, х) (у, у) .
этот очевидный случай, будем считать, что х ~ О. Для любого действительного числа Л, в силу аксиомы г), выполняется неравенство (Лк — у, Лх — у) > О. (3.2) Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного ултиожеиил: (Лк — у, Лк — у) = Л(к, Лк — у) — (у, Лк — у) = = Л (х,к) — 2Л(х, у)+(у,у). Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра Л (коэффициент (ж, к) при йЛв согласно аксиоме г) ненулевой, так как х ф 0), неотрицательный при всех действительных значениях параметра.
Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е. (к, у) — (и, к) (у, у) ( О. Пример 3.5. Доказательство неравенства Коши — Буняковского выглядит достаточно просто. Тем не менее это неравенство очень полезное. Применяя его в конкретных евклидовых пространствах, мы получаем некоторые хорошо известные в анализе и алгебре неравенства. В случае линейного аритрлтетпического простпранстпва $Р неравенство Коши — Буняковского трансформируется в керавекстпво Хоили: (от Ьт +... + апЬп)г ( (азт +...
+ аг ) (Ьгт +... + Ь~ ). В евклидовом пространстве С[0, 1), скалярное произведение в котором выражается определенным интегралом (см. пример 3.4), неравенство Коши — Буняковского превращается в 84 3. ЕВКДИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА неравенство Буняковского (называемое также неравен-' ством Шварца): 1 1 1 у(х)д(х)дх < у (х)дх д (х)дх. о о о 3.3. Нормированные пространства В линейном простпрансгаее обобщением понятия длины свободного вектора является норма. Длину вектора в линейном пространстве Уо или 1~о можно рассматривать как функцию, определенную на множестве 1/о (соответственно К~), которая каждому вектору ставит в соответствие число — его длину. Эта функция обладает некоторыми характерными свойствами [111], которые и служат основой для определения нормы в линейном пространстве. Норму вектора в линейном пространстве иногда называют длиной, имея в виду связь с аналогичным термином векторной алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
