IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В нонечномерном евклидовом простпранстпве существует ортонормированный базис. При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так, чтобы ограничиться вычислением векторов д; и не использовать их нормированные варианты е;. В этом случае нужно последовательно вычислить векторы дт, ..., д„, а затем провести их нормировку, приводящую к векторам е;. Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, З.8. Процесс ортотоиелиэации Грома — Шмидта 99 в левой колонке (3.9) заменим векторы е; на д; согласно формулам в правой колонке.
Получим: 91 =Ум (Уг 91) дг =Уг — г 91 !!д !!' (Уг, 91) (Уг, дг) дз 3 г 91 г дгэ (У,д ) (У.,дг) (У. 9.— ) д.— У. !! !!, 91 !! !!, дг " !! !!г 9.-1. Пример 3.14. В линейном пространстве Уг рассмотрим векторы а1 и аг с длинами !а1! = 2, !аг! = 6 и углом между ними ~р = ц/3. Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен О или ц, они неколлинеарны, а потому образуют базис в Кг. Построим при помощи процесса Грама — Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим: д1 =а1, 1 (аг, а1) 6'2' г 3 дг =аг — а1=аг— !а1!г 4 2 а1 = аг — -а1.
Затем полученные векторы 91 и дг. нормируем: д, 1 !91! = !а1! = 2, е1 = — = -аь !д1! 2 !дг! = !аг — -а1~ = ~аг — -а1,аг — -а1) = 2 ! ~ 2 ' 2 =!аг! — 3(аг1а1)+-!а1! =6 -3 6.2 -+- 2 =27, — г г 1 9 г 4 2 4 дг 1 1 ег = — = — аг — — а1. !9г! 31/3 2~ГЗ Векторы а1, аг и построенный по ним ортонормированный базис е1, ег представлены на рис.
3.5. 3. ЕВКЛИДОВЫ НРОСТРАПСТВА Е1 а, Рис. З.б 3.9.Ортогональное дополнение Как следует нз теоремы 2.7, в произвольном яикейпом проспьрапстве .С любое линейное подпростпрапсепво Н имеет прямое дополнение, т.е. такое линейное подпространство Н', что Н ЮЯ' = .С. Такое линейное подпространство Я' не является единственным.
Однако в случае евклидова пространства среди всех возможных прямых дополнений к данному линейному подпространству одно выделяется. Определение 3.8. Орепогопаяьпььм допояпепиеяе линейного подпространства Н в евклидовом пространстве Е называют множество Я всех вектиоров и е Е, ортпогопальпых каждому вектору линейного подпространства Н.
Пример 3.15. В евклидовом пространстве ~з свободпыя венцовое рассмотрим линейное подпространство Я векторов, параллельных данной плоскости (см. пример 2.1). Тогда ортогональным дополнением 'И." будет множество векторов, перпендикулярных к этой плоскости (рис. 3.6, а), в то время как в качестве прямого дополнения Н1 можно взять подпространство векторов, коллинеарных произвольной прямой, пересекающей плоскость в единственной точке, т.е. не параллельной плоскости и не лежащей в этой плоскости (рис. 3.6, б).
Отметим, что в данном случае Нл является линейным подпространством в 1~э. 3.9. Ортогоиальное дололяеяие Рис. э.е Теорема 3.6. Ортогональное дополнение Я~ линейного надпространства 'Н в евклидовом подпространстве Е является линейным подпространством в Е, причем Е = Я Ю Я~ и йшЯ + + ЙшЯ~ = йшЕ. < Чтобы доказать, что 'Нл является линейным подпространством в Е, нужно проверить условия 1) и 2) определения 2.1.
Взяв два произвольных вектора х и у, принадлежащих Я.", умножам скаллрно их сумму на произвольный вектор Ь Е Я. Получим: (х + у, 6) = (х, 6) + (у, Ь) = О+ 0 = О, т.е. для любых векторов х и у из множества Я~ их сумма х+ у принадлежит тому же множеству.
Теперь рассмотрим пронэеедение вектора х Е Ял на произвольное действительное несло Л. Для произвольного вектора ЬЕЯ (Лх, Ь) = Л (х, Ь) = Л 0 = О, и поэтому Лх Е Я~-, если х Е Я~.. Следовательно, Ял является линейным подпространством в Е. Отметим, что любой вектор х, принадлежащий пересечению Я ПЯ~, ортогонален самому себе: (х, х) = О, так как любой вектор иэ Я~ ортогонелен любому вектору подпространства 'Н. По вектор ортогонален самому себе лишь в том случае, когда он нулевой (аксиома г) скаллрного умножения).
Поэтому Я ПЯ~ = (0), а сумма Я+Я~ рассматриваемых линейных 102 3. ЕВКЛЩОВЫ ПРОСТРАНСТВА надпространств является прямой (см. теорему 2.3). Докажем, что эта прямая сумма совпадает со всем евклидовым пространством Е. Выберем некоторый ортонормированный базис ун ..., у„, в линейном подпространстве Я и дополним его до базиса у1~ ° "~ ут~ Лл-~-н ° ", уп во всем евклндовом пространстве Е, бппЕ = и. Исходя нэ этого базиса построим при помощи процесса Грама — Шмидта ортонормированный базис е = = (е| ...
ет е„,.~1 ... е„) в Е. Так как первые т векторов ,~м ..., Д, исходного базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину, процесс ортогонализации оставит их беэ изменения, т.е. е; = уп 1 = 1, п1. Векторы е„, ~1, ..., е„ортогональны каждому из векторов ем ..., е,„базиса линейного подпространства Я и, следовательно, ортогональны Н, так как Я = арап(е1,...,е„,). Поэтому все они попадают в ортогональное дополнение Я.". Рассмотрим произвольный вектор х Е Е и запишем его разложение по базису е: х=х1е1+...+х„е„.
Легко увидеть, что х1 = х1е1+... + х„,е,„есть вектор из Н, а хг = хо ~1ет+~ + ... + хпе„есть вектор иэ Я, при этом х = х1+ хг. Следовательно, х е Я%Я~, и так как вектор х выбирался произвольно, то НЮЯ~ =Е. Согласно следствию вз теоремы 2.5, из соотношения Я ® ЮН = Е вытекает следующее равенство для размерностеи б1тЕ = дппЯ+ дппЯ . ь Следствие 3.1. Каково бы ни было линейное подпространство Я в евклидовом пространстве Е, любой вектор х Е Е можно однозначно представить в виде х=Ь+И~, (3.11) где ВЕН, Ь~ ЕЯ~.
м Действительно, это утверждение означает, что Е = Я 9 Я~. ~ 103 3.9. Ортогоявльное дополнение Вектор Ь в разложении (3.11) называют ортогональной нроенциеб вектора х на линейное подпространство Я, а вектор Ь~. — ортоеона ььноб состпаеллюилеб вектора х относительно линейного подпространства Я.
Как построить ортогональное дополнение к данному линейному подпространству? Пусть линейное подпространство Я определено наиболее распространенным способом — как линейнол оболочка некоторой системы векторов ам ..., ат. Согласно определению 3.8 ортогонального дополнения, любой вектор х Е Я~ должен быть ортогонзлен каждому из векторов а;: (а;,х)=0, ~=1,т. (3.12) Наоборот, если вектор х удовлетворяет системе равенств (3.12), т.е.
он ортогонзлен каждому ю векторов а;, то этот вектор ортогонален и любой линейной комбинации системы векторов аы ..., ат (см. 3.5). Значит, х ортогонален каждому вектору линейного подпространства Я = арап(а1,..., ат) и принадлежит линейному подпространству Я~. Итак, система уравнений (3.12) описывает ортогональное дополнение линейного подпространства Я. Запишем эту систему в координатах в некотором ортонормированном базисе е = (е1 ...
е„). Пусть векторы а; в этом базисе имеют разложения а1 = ам е1+... + а 1„е„, а; = аме1+... + а не„, ам =а 1е1+... +а,„„е . Координаты проювольного вектора х в том же базисе обозна- чим хы ..., х„, т.е. полагаем, что х = х1е1+... +х„е„. 104 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Тогда в ортонормированном базисе е (аь х) = (опе1+... + а;„е„, х1е1+... + х„е„) = = апх1+... + аьзх„, 1 = 1, т. Таким образом, система (3.12), записанная в координатах относительно ортонормированного базиса е, имеет вид амх1+...
+ ашх„= О, (3.13) а,„1х1+... + а„,„х„= О, т.е. представляет собой однородную систему из гп линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Строки матрицы А этой системы совпадают с наборами координат векторов ам ..., а,а. Поэтому матрица А имеет ранг, равный рангу системы векторов ам ..., а„„т.е. этот ранг совпадает с размерностью линейного подпространства 'Н.
Каждое решение системы (3.13) представляет собой набор координат некоторого вектора из Н~ и наоборот, любой вектор из Я~ описывает решение системы (3.13). Поэтому можно сказать, что множество всех решений этой системы есть линейное подпространство Я~.. Согласно теореме 3.6, это подпространство имеет размерность и — дйш'Н = п — Ня А. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) описывается при помоши фундамеишальной системы решений.
Напомним, что столбцы фундаментальной системы решений линейно независимы, а любое решение однородной СЛАУ представляется в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений. Другими словами, фундаментальная система решений — это базис в подпространстве всех решений данной однородной СЛАУ. Каждый столбец фундаментальной системы решений представляет собой координатную запись вектора линейного подпространства Я"- в выбранном базисе е евклидова пространства с, при этом 105 3.9.
Ортогональное донолненне такие векторы в совокупности образуют базис подпространства Я~-. Мы здесь можем не различать фундаментальную систему решений системы (3.13) и соответствующий ей базис ортогонального дополнения Я"-. Пример 3.16. Пусть линейное подпространство Я представляет собой линейную оболочку системы векторов, заданных координатами в некотором фиксированном ортонормированном базисе и четырехмерного евклидова пространства Е: Найдем какой-либо базис ортогонального дополнения Ял..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
