IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Найдите ортонормированный базис в линейном подпространстве свободных векторов, параллельных плоскости: а) Зх — у + 2л = 0; б) х + 2у — л = О. 3.11. В евклидовом пространстве Кз даны три вектора а1 — -(1, -1, 2), аз=(1, 1, 1), аз=(1, О, 1). Вычислите матрицу Грама этой системы и с помощью ее докажите, что ам ач, аэ — базис в К~.
Вычислите скалярное произведение векторов х = 2а1 — аз+ 4аз и у = а1 — аг+ 2аэ двумя 'способами: через их координаты в стандартном базисе и в базисе ан аэ, аз при помощи найденной матрицы Грама. 3.12. Для матриц А= 0 1 — 1, В= 2 0 1 проверьте неравенство 9АВ!) < 9А)!'9В)! для евклидовой, спектральной, октаэдрической и кубической норм. 3.13. Для вектора х = (1, -1, 2, -1) Е К4 проверьте выполнение неравенств 1х9 < 9Щ < 9Щ (9х(! — евклидова норма вектора х). 3.14. Изобразите на плоскости множества точек, радиус- векторы которых удовлетворяют условиям (е ) 0): а) 9х9, < е; б) 9х)!<е; в) 9х3„<е; г) 1<9х9 <2; д) 1<!)х'9<2; е) 1 < 1х'9, < 2.
3.15. Даны координаты трех точек на плоскости: А(1;9), В(2;14), С(3;20). Найдите уравнение прямой, сумма расстояний до которой от этих трех точек имеет наименьшее значение. 3.16. Найдите псевдорешение СЛАУ х — у+ я=1, х+2у+Зл=4, 2х+ у+4л = 4. 4.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4.1. Определение и примеры линейных операторов Линейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространстпва ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейного пространства. Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраические соотношения.
В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так как они естественным образом связаны со структурой линейного пространства. Напомним некоторую терминологию из теории отображений [Ц. Отображение ~: Х ~ У называют старъентпнвны, если каждый элемент у Е У является образом некоторого элемента я Е Х. Отображение ~: Х вЂ” ~ У называют инъентпивным, если разные элементы я1, хэ Е Х имеют разные образы. Отображение одновременно и сюръективное, и инъективное называют бнентпнвным.
Биективное отображение устанавливает между множествами Х и У взаимно однозначное соответствие. Определение 4.1. Отображение А: т"., — т Е' из линейного пространства Е в линейное пространство,С' называют линейным отпображением или линейным оператпором, если выполнены следующие условия: а) А(и+ у) = А(и) + А(у) для любых векторов ж, у Е Е; б) А(Ли) = ЛА(х) для любого вектора и Е С и любого числа Л е К-.
Линейный оператор А: л". — + Е, который осуществляет отображение линейного пространства ь", в себя, называют также 4.1. Определение и примеры линейных операторов 129 линейным преобразованиен линейного пространства ь". и говорят,что линейный оператор А действует в линейном пространстве Е.
Условия а), б) определения 4.1 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых ж, у Е Е и любых действительных Л и 1х А(Ла + цу) = Л(Ат) + 1а(Ау). (4.1) Нетрудно убедиться, что условия определения 4.1 являются частными случаями (4.1). С другой стороны, если выполнены условия а) и б), то А(Лж + 1ху) = А(Лз) + А(ру) = ЛАа + дАу, т.е. выполняется и (4.1). Свойства а), б) линейности отображения делают более удобной не традиционную форму записи линейного оператора в виде А(ж), при которой аргумент записывается в скобках вслед за функцией, а более простую в виде Ах как своеобразное „умножение линейного оператора на вектор". При такой записи условие а) определения 4.1 можно интерпретировать как свойство дистрибутивности зтого „умножения", а условие б) — как свойство ассоциативности (если число Л записывать не слева от вектора, а справа, то запись будет выглядеть так: А(жЛ) = (Ам)Л).
Непосредственно из определения 4.1 вытекает, что для любого линейного оператора А: ь". -+.С' образом АО нулееоео векевора в х, является нулевой вектор 0' в х.'. А(0) = 0'. Действительно, АО = А(0 0) = О(АО) = 0'. Рассмотрим несколько примеров линейных операторов.
Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а), б) определения 4.1 или комбинированное условие (4.1). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение 5 Лиаайни ааа бра 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и зто свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное).
Пример 4.1. Пусть К„[х] — линейное пространство много- членов одного переменного х степени, не превышающей натуральное число п. Для каждого многочлена Р(х) определена его" производная Р'(х), являющаяся многочленом степени не выше и — 1. Таким образом, на линейном пространстве К„[х] определено отображение — „, которое каждому многочлену ставит в соответствие его производную. В качестве пространства значений такого отображения можно выбрать как исходное пространство К„[х], так и пространство К„1[х]. Оба отображения .,' <1 д '!=: Кя[х] — ~ Ки[х], —: Кя[х» — ~ К~ 1[х] являются линейными в силу свойств линейности производной (производная суммы функций равна сумме производных, при умножении функции на число производная этой функции умножается на это число).
Пример 4.2. В пространстве Уз свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол <р против часовой стрелки представляет собой отображение Уг в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из простых геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда очевидно, что сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол у также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол ~р, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число.
Результат в обоих случаях будет один и тот же. 4.1. Определение и примеры линейных операторов 121 Пример 4.3. Рассмотрим и-мерное линейное арифметпическое простпроистпво Ж", элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной и, и квадратную матрицу А порядка и. Отображение А: Ж" -+ Ж", которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц: А(Лх+ 11у) = А(Лх + ду) = ЛАх+ аАу = ЛАх+ 11Ау, где Л, 11 Е Ж, х, у Е В". Пример 4.4.
В и-мерном линейном арифметическом пространстве Ж" для любого действительного числа Й отображение А: Ж" -+ Ж", определяемое формулой Ах = йх (растяжение в и раз с дополнительным отражением при й ( 0), является линейным оператором. Этот линейный оператор — частный случай предыдущего, он может быть определен при помощи матрицы ЙЕ, где Š— единичная матрица. Пример 4.5.
Отображение А: Ж" -+ Ж" и-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ах = х+ а, где а ф Π— некоторый фиксированный вектор, не является линейным, так как, например, образом нулевого вектора является вектор а. Определение 4.2. Каждому линейному оператору А:,С -е -+,С' соответствуют: — его ядро йегА — множество тех векторов х е С, для которых Ах = О', где О' — нулевой вектор в С', — его образ па А — множество векторов у е С, являющихся значениями этого оператора. Теорема 4.1. Для любого линейного оператора А: С вЂ” ~ С' его ядро нег А является линейным подпростпранстпеом в С, а его образ 1шА — линейным подпространством в С'.
~ Доказательство сводится к проверке условий определения 2.1 линейного надпространства. Пусть векторы х1 и хо 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1Зг принадлежат множеству йег А, т.е. Ах1 = О', Ахз = О'. Тогда, согласно условию а) определения 4.1, А(х1+хз) =Ах1+Ахг =О'+О'=О', т.е. вектор х|+ хз принадлежит множеству кегА, а, согласно условию б) того же определения, для любого действительного числа Л А(Лх1) = Л(Ах1) = ЛО' = О', т.е. и вектор Лх1 принадлежат ЫегА. Как видим, множество кегА замкнутпа относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.
Если векторы у1 и уз принадлежат множеству ппА, то существу1от такие векторы хм ха Е Е, что у1 = Ах1, пз = Ахз. Но тогда, согласно условию а) определения 4.1, у~ + уз = Ах1 + Ахг = А(х1 + хз), т.е. вектор у1 + уг является значением оператора А и, следова- тельно, принадлежит пп А. Аналогично вектор Лп1 = Л(Ах1) = А(Лх1) также входит в множество ппА для любого Л Е 1к. Приходим к выводу, что и 1шА является линейным подпространством, но уже в линейном пространстве,С'.
~ Размерности ядра и образа — важнейшие характеристики линейного оператора. Число йш(ЫегА) называют де~як»ьоль линейного о»ерп»ьора А, а число 61ш(1шА) — его ра»зом. Отметим, что в примере 4.3 ядро оператора А имеет простую интерпретацию: 'это есть множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А. Среди линейных операторов, отображающих линейное пространство,С в себя есть два важных частных случая: »ьохсдес»ьее»»ый о»ера»ьор л, который каждый вектор переводит 4Л.
Определение и примеры линейных операторов 1ЗЗ ,в себя (лх = х), и нрлевоб отверптпор ~Э, который каждый вектор отображает в нулевой (Ох = О). Эти два оператора являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект (равный СбшС) и минимальный ранг (нулевой). Тождественный оператор, наоборот, имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный 'ранг (равный бппС). Оператор максимального дефекта определен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много. Линейный оператор А: С -+ С' с нулевым дефектом является инъективным. В самом деле, если дефект оператора равен нулю, то ядро этого оператора содержит единственный вектор— нулевой.
Если Ах = Ап, то А(х — у) = О. Значит, вектор х — у принадлежит ядру и потому являетсл нулевым. Следоаательно, х = у, т.е. различные векторы имеют в линейном пространстве .С' различные образы. Наоборот, если оператор является инъективным, то в нулевой вектор линейного пространства С может отображаться только нулевой вектор линейного пространства С. Значит, ядро линейного оператора содержит только нулевой вектор и дефект линейного оператора равен нулю. Дефект И(А) н ранг Ня(А) оператора А: С -+ С' связаны с размерностью пространства С соотношением д(А) + Кя(А) = = СбшС.
Действительно, рассмотрим прямое дополнение Я к линейному подпространству )сегА в линейном пространстве,С. Тогда И(А) + СбшЯ = б1шС, и нам достаточно показать, что йшЯ = йппшА = НяА. Линейный оператор А может рассматриваться как линейный оператор из линейного пространства Я в линейное пространство С. Очевидно, что Ах = 0 при х Е Я, лишь если х = О. Поэтому линейный оператор А: Я вЂ” ~ ппА на Я имеет нулевой дефект и является сюръективным. Значит, он осуществляет биективное отображение линейного пространства Я в линейное пространство 1шА.
В следующем параграфе будет показано, что в этом случае размерности пространств Я и ппА совпадают. 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРА ТОРЫ 1З4 4.2.Изоморфизм линейных пространств Определение 4.3. Два линейных простпранстпва С и С' называют изоморфнььми, если существует линейное биектпивное отпображение А: С -т Ст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
