IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 14
Текст из файла (страница 14)
+ а„,ек,, е;) = (О, е;). 92 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА В силу свойства 3.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю, и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 3.4, получаем ат(ет,е;)+...+а;(е;,е,)+...+атн(еые;) =О. Так как система векторов ортогонвльна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т.е. (3.6) а; (е,, е,) = О. Так как вектор е; ненулевой, то (е;, ет) ф 0 (аксиома г) скалярного умнохсенил). Поэтому из (3.6) следует, что а; =О. Индекс т можно было выбирать произвольно, так что на самом деле все коэффициенты ат являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (3.5) возможно лишь при нулевых коэффициентах, а зто, согласно определению 1.2, означает, что система векторов еы ..., е линейно независима.
1ь Пример 3.10. В евклидовом пространстве С[0, и] система функций совйх, й = 1,п, является ортогональной, поскольку (совйх, сов1х) = совйхсов1хдх = 0 о при й,1 = 1, и, й ф 1. 3.6. Ортогональные и ортонормированные базисы Евклидова просптрансптво является линейным простпрансптвом. Поэтому правомерно говорить о его размерностпи и его базисах. Как и произвольные линейные пространства, евклндовы пространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные. З.б.
Ортогоиаеьитее и ортоиорыироиеииые базисы 93 Если базис евклидова пространства представляет собой ортпогональную снстпгму вектпоров, то этот базис называют ортпогональньтм. В силу теор ° т 3.4 любая ортогональная снстпема ненулевых вектпоров линейно независима, и если она в п-мерном евклидовом пространстве состоит из и векторов, то является базисом. В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличие скалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли прлмоугольнот1 систпемы координатп в аналитической геометрии. Определение З.т.
Ортогонгльный базис называют ортпонормированным, если каждый вектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице. Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированном базисе в принципе не является существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты (разделив каждый вектор базиса на его длину). Однако дополнительная нормировка векторов упрощает изложение теории.
Пример 3.11. Система из трех векторов а = (1, О, — 1), Ь = (1, О, 1), с = (О, 1, О) в евклидовом арифметическом простпранстпве Кэ образует ортогональный базис, потому что (а, Ь) = (а, с) = (Ь, с) = О. Этот базис не является ортонормир,, р р,~~ ~1=т+~~У~-(-О= 'т~~. Чтобы этот базис сделать ортонормированным, нужно векторы а и Ь разделить на их нормы, т.е. на число ~Г2.
Пример 3.12. Векторы е, у образуют ортонормированный базис в пространстве Уг свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы е,,1, й образуют ортонормированный базис в пространстве тг. 94 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА З.Т. Вычисления в ортонормнрованном базисе Использование оршонормированных базисов облегчает вычислеиие скаяярноео произведения по координатпам векторов. Пусть в евкяидовом простпрансгпве Е задав некоторый базис е = (е1 ... е„).
Рассмотрим два произвольных вектора х и у в этом пространстве. Эти векторы представляются в базисе е своими координатами: х = х1е1+... + х„е„, у = у1е1 +... + у„е„. Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме: у =еу, у= х=ех, хп Скалярное проиэведеиие векторов х и у может быть выражено через скалярные проиэведеиия векторов базиса: п п и и (х, у) = Ях;е;, ~ у е ) =~~~ ~~> х;уу(е;,ед). а=1 4=1 Составив из скалярных произведений базисных векторов квадратиую матрицу Г = ((е;, ед)) порядка и, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме: (х,у) =х Гу.
Матрица Г является симметрической в силу коммутативиости операции скалярного умножения. Ее называют мапзрицей Грама системы векторов ем ..., е„. Пусть базис е является ортонормироваипым. Тогда скаляриое произведение (е;, ед) при несовпадающих е и з равно нулю, З.а Процесс ортотоиализвции Грзив — Шмидта 95 а скалярные квадраты базисных векторов равны е7 = '9е1Й = 1. 2 Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Г является единичной.
Поэтому т т (х, у) = х Еу = х у = х1у1+хгуг+... +х„уи. В частности, в ортонормированном базисе корма вектора х, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формуле (3.7) а для косинуса угла у между ненулевыми векторами х и у получаем выражение х1у1 + хтут +... + х„у„ сог1о— ~яг +Р;~я~ '+~! (3.8) В ортонормированном базисе ем ..., е„также упрощается вычисление координат вектора: они выражаются через скалярные произвсдени.
Если х = х1е1+... + х„е„, то, умножив равенство скалярно на вектор е;, находим, что (х,е;) =х;, т'=1,п. Пример 3.13. В евклидовом арифметическом пространстве ж~ найдем угол между векторами а = ( — 1, 1, О, 2) и Ь = = (2, — 1, 1, 0). Согласно формуле (3.8), (-1) 2+1 (-1)+О 1+2.0 -3 1 ~/6~/6 2 3.8. Процесс ортогонализации л'рама — Шмидта В каждом ли евклидовом простпракс~пве существует ортпокормироваккмй базпс7 Непосредственно из определения ответ на этот вопрос получить нельзя. Кроме того, формального от- 96 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА вета на вопрос не достаточно, нужно уметь находить и строить такие базисы. Ответ на поставленный вопрос утвердительный, а построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса,при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта.
Изложим этот алгоритм. Пусть,| = (у1 ... у„) — некоторый базис в и-мерном евклидовом пространстве Е. Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис е = (е1 ... е„), который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы д1 и еы дг и ег и т.д. по формулам: д1 е1= —, !!д !!' д2 ег= — ' !!дг!!' дз ез= — ' !!дз!! д1 =Ум д2 22 (22 е1)еы дз = Уз — (Уз, е1) е1 — (Уз, ег) ег, (3.9) д д„= ~„— (Д„, е1) е1 —...
— ®„е„з) е„ы е„= „ !!д.! ' Геометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при и = 3 (линейное пространство 1~2) приведена на рис. 3.4. Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один иэ последовательно вычисляемых векторов д; не является нулевым вектором (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все векторы д;, з = 1, п, попарно ортозональны. Тогда и векторы е;, з = 1, и, образуют ортогональную систему, но при этом норма каждого из этих векторов равна единице. Ортогональная система из п ненулевых векторов, согласно теореме 3.4, линейно независима и поэтому в и-мерном евклидовом пространстве является базисом. З.В. Процесс ортогоиаеиаации Граца — Шмидта 97 Рис. 3.4 Доказательство опирается на метод математической индукции. В соответствии с этим методом мы будем доказывать, что для любого й, lс =1, и, векторы е1, ..., еь образуют ортогональную систему и длины их равны единице.
Это утверждение очевидно при Й = 1, так как в этом случае вектор д1 ненулевой, потому что равен вектору ~~Щ1 (( единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного вектора, считают ортогональной по определению. Пусть векторы ем ..., еа образуют ортогональную систему. Вычислим новый вектор да+1 по формуле да+1 = А+1 — (А+и е1) е1 —" — (Уа+~ еа) еа. (3 10) 98 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Предположив, что д».тт — — О, заключаем, что ~»+1 — — (~»+т, е1 ) ет +... + Ц»+м е») е», т.е. вектор ,~»+1 является линейной комбинацией векторов ет, ..., е», которые в силу (3.9) выражаются через векторы Следовательно, этот вектор является инейной комбинацией системы векторов ~м ...,,~», а система векторов Ум ", з», Ь.тм согласно теореме 1.1, линейно зависима, Но это противоречит условию линейной независимости системы ~м ..., ~„(свойство 2', с.
26). Итак, предположение о том, что д»+т = О, привело к противоречию и потому неверно. Нам остается убедиться, что вектор д» т1 ортогонален каждому из векторов ет, ..., е». Умножим равенство (3.10) скалярно на вектор е;, где т' < й. Учитывая, что векторы еу попарно ортогональны при у < й, получим: (д»+м е;) = (~»+и ет) — (~»+м е;) (е;, е;) = = (~»+т, е;) — (~».т1, е;) = О, так как (е;, е;) = 1. Следовательно, векторы ет, ..., еы е»+м где е»~.т — — д»~.таад»+т )), образуют ортогональную систему векторов и имеют единичную длину. Мы полностью обосновали процесс Грама — Шмидта. Как следствие можем сформулировать следующий теоретический результат. Теорема 3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
