IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Нт О Н2 = (О). ~ Необходимость. Пусть сумма Н1 +На является прямой суммой. Выберем любой вектор у Е Нт й Н2. Тогда у Е Нт + Н2 и для него справедливы два представления б5 2.3. Прямая сумма линейных поднространстн в каждом иэ которых левое слагаемое является элементом линейного подпространства Я1, а правое — 'Нг.
Так как 'Н1+ Яг является прямой суммой, то оба представления (2.1) совпадают, т.е. у = О. Значит, 'Н1ПЯг содержит единственный вектор О. Достаточность. Пусть Я1 ПЯг = (О). Рассмотрим произвольный вектор х Е Я1 + Яг и докажем, что любые два его представления х = х1+ хг, х1 Е Я1, хг Е Яг', (2.2) х=х1+хг, х1ЕЯП хгЕЯг, (23) совпадают. Вычтем из равенства (2.2) равенство (2.3). В результате получим (х1+ хг) — (х~1 + х~г) = О, откуда / х1 — х1 — — хг — хг. Но тогда, с одной стороны, вектор у = х1 — х1 принадлежит линейному подпространству Я1, а с другой — он, согласно представлению у = х~г — хг, принадлежит и другому линейному подпространству Яг. Следовательно, р е Я1П'Нг, а так как Я1 П Яг = (0), то и у = О.
Поэтому хг — х1 = 0 и хг — х~г = О, т.е. представления (2.2) и (2.3) совпадают. ~ Пример 2.10. В примере 2.8 линейные подпространства 'Н| и Яг образуют прямую сумму (см. пример 2.9). Это можно показать следующим образом. Так как прямые пересекаются в единственной точке, то единственный вектор, коллинеарный одновременно обеим прямым, изображающим подпространства, — зто нулевой вектор.
Значит, 'Н1 П Яг = (О). Согласно теореме 2.3, эти подпространства образуют прямую сумму. 2. ПИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 2.4. Размерность линейного подпространства Линейное надпространство является линейным простран; ством относительно операций объемлющего линейного пространства и поэтому имеет размерность и базис. 'Теорема 2.4. Если Я вЂ” линейное подпространство линейного пространства С, то оипЯ < с11шС.
Если к тому же 'Н ~ Сэ то йппЯ < йшС. ~ Любой базис линейного подпространства Я, рассматриваемого как линейное пространство, является линейно независимой системой векторов в объемлющем линейном пространстве С. Если этот базис из Я является базисом и в С,то, согласно теореме 1.5, с1ппЯ = 41шС и ясно, что в этом случае Я = С, так как у нид есть общий базис. Если базис иэ Я не является базисом объемлющего линейного пространства С, то существует такой вектор к Е С, который не является линейной комбинаиией векторов этого базиса. В этом случае, конечно, линейное подпространство Я не может совпадать с .С.
Добавив вектор к к векторам базиса, получим линейно независимую систему векторов (см. свойство 4', с. 27). Это значит, что в С найдено больше линейно независимых векторов, чем с)1шЯ. Следовательно, согласно определению 1.5 размерности линейного пространства, оппЯ < оппС. ° Замечание 2.1. Любой базис собственного надпространства Я линейного пространства С можно расширить, добавив вектор так, что расширенная система векторов останется линейно независимой. Если расширенная система опять не является базисом в С, процедуру расширения можно повторить. Для конечномерного линейного пространства очередное расширение через какое-то количество шагов станет невозможным, так как количество векторов в линейно независимой системе не может превышать размерности линейного пространства.
Максимально расширенная система векторов будет линейно независимой, а любой вектор будет представляться ее линейной 2А. Размерность линейного подпространстна комбинацией, т.е. эта система векторов будет базисом в С. Согласно теореме 1.5, количество векторов в этой системе будет равно размерности линейного пространства .С. Приведенное рассуждение показывает, что любой базис собственного линейного подпространства может быть расширен до базиса объемлющего линейного пространства добавлением новых векторов. Например, рассмотрим линейное пространство $~2 с ортонормированным базисом а, г', Ус. Линейное подпространство Н = арап(г,,г) имеет размерность 2, так как его базисом является пара векторов а, г.
Действительно, они линейно независимы, а любой вектор из Н представляется в виде линейной комбинации й и у' согласно определению этого подпространства. Этот базис можно расширить до базиса в Уг, добавив один вектор. В качестве этого, дополнительного вектора можно взять любой вида х =аа+ф+ у)с с у~О: ' Теорема 2.5. Если Н1 и Нг — линейные подпространства линейного пространства С, то б1ш(Н ~ + Нг) = Йш Н1 + аппп Нг — йш(Н1 П Нг). ~ В линейном подпространстве Н1 П Нг выберем некоторый базис е = (е1 ... е,„).
Множество Н1у1 Нг является линейным подпространством не только в .С, но и в его части Н1. Поэтому выбранный базис можно дополнить некоторой системой векторов У = (У~ " Д) до базиса (е У) влинейном подпространстве Н1. Точно так же систему е можно дополнить некоторым набором векторов д = (д1 ... дь) до базиса (е д) в Нг. Докажем, что система векторов (е У д) =(е1 ... е~ Л ...
~я д1 ... дл) является базисом в линейном пространстве Я1+ Нг. Во-первых, установим, что указанная система линейно независима. Пусть имеет место равенство а1е1 +... + сс,„е +,о1 У~ + " + 1зсЛ+'у1д, +... + 7лдь = О. (2 4) 68 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Тогда для вектора (2.5) выполнено равенство д = — а1е1 — ... — а,„е~ - 71д1 —... - 7ьдь. (2.6) Согласно равенству (2.5) заключаем, что д Е Я1, а согласно (2.6) делаем вывод, что д ЕЯз. Следовательно, д 6 Я1ПЯэ и потому имеет единственное разложение д = 61 е1 +... + Б,ве~ (2.7) по базису е линейного пространства Я1 П Яэ. Разложение (2.7) можно рассматривать как разложение по базису (е д) в линейном подпространстве Яэ. Но тогда разложения (2.6) и (2.7) совпадают как разложения одного и того же вектора в базисе (е д). Следовательно, 7 = О, 1 = 1, й, а все коэффициенты 6; отличаются от соответствующих коэффициентов а; лишь знаком.
С другой стороны, представление (2.5) вектора д и представление (2.7) того же вектора являются разложениями одного вектора в базисе (е у) линейного подпространства Я1 и потому совпадают. Их совпаденйе означает, что р1=...=4=О и 61 =...=6„,=0. Тогда и а1= = ... = а,„= О. Таким образом, все коэффициенты произвольно взятой линейной комбинации (2.4), равной нулевому вектору, оказались равными нулю. Значит, система векторов (е у д) линейно независима. В-вторых, любой вектор д Е Я~ + Яз есть линейная комбинация системы векторов (е у д). Действительно, такой вектор представим в виде д = д1 + дг, где д1 Е Я1, дз Е Я2.
Вектор д1 представляетсл линейной комбинацией системы векторов (е у), а дз — линейной комбинацией системы векторов (е д). Поэтому д разлагается по системе векторов (е у д). Итак, система векторов (е у д) линейно независима и любой вектор иэ Я1+ Яэ разлагается по этой системе. Следовательно, (е у д) — базис в Я1+ Яз. Нам остается подсчитать 69 гад т в размерности: Таким образом, получаем утверждение теоремы.
> Следствие. Йш(Ят ЕЯг) =ЙшЯт+ЙшЯг. 2.5. Ранг системы векторов Определение 2.5. Ранеом системы векторов в линейном простпрвнстпве называют рвзмерностпь линейной оболочки этой системы вектпоров. Теорема 2.6. Ранг системы векторов а = (ат ... аь) линейного пространства Е равен: а) максимальному количеству линейно независимыя вектпоров в системе а; б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координатп вектпоров ат, ..., аь в каком-либо базисе инейного простпранстпвв т",.
ч Пусть д — некоторый базис в т"... Составим по столбцам матрицу А иэ координат в базисе д векторов а;, т = 1, й. Линейные операции над векторами а, соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы. По теореме о базисном миноре [?11] ранг матрицы А равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов. Это совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе а. Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны. 70 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Выберем в матрице А какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора (базисные столбцы).
Соответт ствующие им векторы будем называть базисными. По теореме о базисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные векторы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выражаются через базисные. Следовательно, любая линейная комбинация векторов системы п сводится к линейной комбинации системы базисных векторов, т.е.
любой вектор линейной оболочки системы векторов а выражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуют базис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количеству базисных столбцов, т.е. рангу матрицы А, а с другой — совпадает с размерностью линейной оболочки, т.е. с рангом системы векторов а. > Замечание 2.2. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисного минора матрицы А отвечают набору векторов системы а, являющемуся базисом в арап(а)— линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов. Пример 2.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
