IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Теорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно. ~ Выберем в линейном пространстве .С произвольный базис Ь1, ..., Ь„и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два разложения х = х1Ь1 +... + х„Ь„, х = х1Ь1 +... + х'„Ь„. Воспользуемся тем, что аксиомы лкнейяого просзпраксзпва позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно,получим (хз — х1)61+...

+ (х„— х'„)Ь„= О. Так как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна О, лишь если она пзрввпвлькаа (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: х1 — х' = О, ..., х„— х'„= О. Таким образом, хз = х1, ..., х„= х'„и два разложения вектора х в базисе Ь1, ..., Ь„совпадают. в Замечание 1.3. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой векзпор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю.

Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. Согласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов К ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись.

Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией. Определение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по оэзису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют коордпнатамп векпгора в этом базпсе. Пример 1.8. В линейном пространстве Кг[х] многочленов переменного х степени не выше 2 (см. пример 1.1) элементы х и хг линейно независимы: их линейная комбинация ах+ 33хг есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при а = Д = О. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом Кг[х], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов х и хг.

Дело в том, что линейная комбинация ах + ~3хг многочленов х и хг есть либо многочлен второй степени (при 33 ф 0), либо многочлен первой степени (а ф О, 33 =0), либо нулевой многочлен (а = ф = 0). Значит, равенство 1 = ах+)Зх двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов. В то же время три многочлена 1, х, хг образуют базис линейного пространства Кг[х]. Докажем это. Во-первых, система многочленов 1, х, хг линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами а,,8,3 и приравняемнулю: а 1+33х+Зхг =О. Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, а=~3= у =О.

Во-вторых, через многочлены 1, х, х можно выразить люг бой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного 33 т.а Линейные операции в ноордннатной форме пространства Кэ[х] можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен р(х) = ет +,Зх + ух . Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1, х, х~: р(х) = се.1+Дх + ух, причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации. Итак, система трех многочленов 1, х, х~ линейно независима, а любой элемент линейного пространства Кэ[х] является линейной комбинацией указанной системы.

Согласно определению 1.3, система многочленов 1, х, хэ есть базис в Кг[х]. 1.6. Линейные операции в координатной форме Фиксация порядка вектпоров в базисе преследует еще одну цель — ввести матричные способы записи векторных соотношений. Базис Ь2, ..., Ь„ в данном линейном простпранстпве а. удобно записывать как матрицу-строку Ь = (Ь2 ... Ь„), а координатпьь вектпора х в этом базисе — как матрицу-столбец: Х2 (1.3) Тогда разложение х = хтЬ2+ ... +х„Ь„вектпора х по базису Ь2, ..., Ь„можно записать как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец: х =Ьх.

(1.4) 2 ниневии мнеоа 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пример 1.9. Векторы ортонормированного базиса в Ъз имеют стандартное обозначение и порядок: е, у, й. В матричной записи зто будет выглядеть так: Ь = (а у й). Вектор, например, с координатами -1, 2, 2 может быть представлен в виде' — 1 х=( — 1;22)=-е+2у+2й=(й у й) 2 =Ьх, 2 т где х = ( — 1 2 2) — столбец координат вектора х. Запись линейных операций над свободными векторами в координатной форме [1П] обобщается на случай произвольного линейного пространства. Теорема 1.3. При сложении любых двух векторов в линейном пространстве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении веиптора на число его координаты умножаются на это число. м Рассмотрим в линейном пространстве л.

базис Ь= (Ь1 ... Ь„). Пусть даны разложения векторов х и у в этом базисе: х = х1Ь1 +... + х„Ь„, у = у1Ь1 +... + у„Ь„. В силу аксиом линейного простарансптва х + у = (х1Ь1 +... + х„Ь„) + (у1 Ь1 +... + у„Ь„) = = (х1+ у1 ) Ь1 +... + (х„+ у„) Ьп. Таким образом, при сложении двух векторов их координаты, отвечающие одному базисному вектору, складываются. В матричной записи координат этому соответствует матричнал сумма столбцов координат.

"Напомним, что в векторной алгебре [11Ц мы записывали координаты вектора в строку, ограничивая ее фигурными скобками. Для упрощения выкладок мы отождествляли вектор с набором его координат, хотя, вообще говоря, эти объекты имеют различную природу. В линейной алгебре принято координаты записывать не в строку, а в столбеп. д.б. Линейные операции в координатной форме 35 Аналогично для произвольного действительного числа Л Лх = Л(хдЬд+... +хиЬ„) = (Лхд)Ьд+... + (Лх„)Ь„, т.е. при умножении вектора на число каждая нз его координат умножается на это число. в Запись координат векторов в матричной форме снимает вопрос о том, что понимать, например, под сложением координат: координаты складываются как матрицы-столбцы.

Аналогично столбец координат умножается на число по правилам умножения матрицы на число. Запись утверждения теоремы 1.3 в матричной форме Ьх+ Ьу = Ь(х+ у), Льх = Ь(Лх) соответствует свойствам матричных операций: дистрибутив- ности сложения относительно умножения и ассоциативности умножения. Следствие 1.1. Линейная независимость (зависимость) векторов линейного пространства эквивалентна линейной не.

зависимости (зависимости) их столбцов координат в одном и том же базисе этого линейного пространства. ~ Если вектор а равен линейкой комбинации векторов ад, ..., аь т.е. а = адад +... + абае, то его столбец координат а в заданном базисе Ь равен такой же линейной комбинации столбцов координат ад, ...,аа векторов ад, ..., ав в этом же базисе: а = адад +... + аьаь. Это следует из равенств: Ьа = а = адад +... + аьав = ад(Ьад) +... + аь(Ьад) = = Ь(адод +... + аеаь). 1ь 36 К ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пример 1.10. В линейном ари4метическом пространстве Ж" векторы е1 = (1, О, ..., 0), еэ = (О, 1, ..., 0), (1.5) е„ = (О, О, ..., 1) образуют базис е = (е1 ...

е„), так как они линейно независимы (см. пример 1.5) и любой вектор х = (х1, ..., х„) й Ж" представйм в виде х = х1е1+... + х„е„. Базис (1.5) в пространстве Ж" называют стандартным. Замечание 1.4. В линейном арифметическом пространстве Ж" для произвольного вектора х = (хм ..., х„) его столбец т координат х в стандартном базисе совпадает с х . Как и в ана; литической геометрии (11Ц, удобно при фиксированном базисе отождествлять вектор с его координатами.

Для стандартного базиса это равносильно записи вектора не как матрицы-строки, а как матрицы-столбца. Отметим, что запись элементов арифметического пространства в виде столбца не противоречит определению арифметического пространства, понимаемого как множество упорядоченных совокупностей чисел. Порядок же элементов можно указывать как при помощи записи в строку, так и при помощи записи в столбец. Пример 1.11. Покажем, что в Жэ система векторов а1=(1, -1, 2), аэ=(2, 1, 0), аэ=(4, -1, 1) образует базис и найдем в этом базисе координаты вектора с=(2, 1, 3). Для того чтобы доказать, что система векторов а1, аэ, аэ образует базис, надо убедиться в линейной независимости этих векторов и в том, что любой вектор Ь = (Ьп 52, Ьз) Е Жэ является их линейной комбинацией.

1.б. Линейные онерании в координатной форме 37 В стандартном базисе е в йз векторы а1, аз, аз, Ь, с имеют следующие столбцы координат: а1= -1, аз= 1, аз= -1, Ь= Ьз, с= 1 Из столбцов координат векторов а1, аз, аз составим матрицу А= — 1 1 -1 и рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических УРавнений (СЛАУ) Ах = 6, х = (х1 хз хз) . Так как с1еФА = — 9, то матрица А невырожденная, ее ранг равен 3 и все ее столбцы являются базисными. Поэтому, во-первых, согласно теореме о базисном миноре 1ПЦ, эти столбцы линейно независимы, что, согласно следствию 1.1, означает линейную независимость векторов а1, аз, аз, а во-вторых, СЛАУ Ах = 6 при любом столбце 6 правых частей имеет решение х = (х1 х~ х~з), что после записи этой СЛАУ в векторной форме [П1] а1х1+ азхг+ азха = Ь позволяет сделать вывод о выполнении равенства х1а1+ хзаз + хзаз = Ь. / ! / В частности, решив СЛАУ Ах = с, которая в координатной форме имеет вид х1+ 2хз+ 4хз = 2, -х1+ хз — хз = 1, 2х1+ хз = 3, находим координаты вектора с в базисе (а1 аз аз): х1 = 2, хз = 2, хз = -1.

Характеристики

Список файлов книги