IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 6
Текст из файла (страница 6)
38 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1.7. Размерность линейного пространства Эта важнейшая характеристика линейного проспьранстпва связана со свойствами систем векторов в этом пространстве. Определение 1.5. Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства. Если размерность линейного пространства Е равна п, т.е. существует линейно независимая система иэ и векторов, алюбая сне~вема векторов, содержащая п+ 1 вектор или более, линейно зависима, то говорят, что это линейное пространство п-мерно.
Размерность такого линейного пространства обозначают п = йипх,. Существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Такие линейные пространства называют бесконенномерными. В отличие от них, и-мерные линейные пространства называют конвнномерными. Эта книга посвящена конечномерным линейным пространствам. Пример 1.12. Линейное пространство С(0, Ц функций, непрерывных на отрезке [0,1] (см. 1.1), является бесконечно- мерным, так как для любого натурального и система многочленов 1, х, хз, ..., х", являющихся элементами этого линейного пространства, линейно независима. В самом деле, линейнал комбинация этих многочленов, отвечающая набору коэффициентов ав, аь ..., а„, есть многочлен ав + а1х +... + а„х", который является нулевым (т.е.
равен постоянной функции О), только если все его коэффициенты (они же коэффициенты линейной комбинации) равны нулю. Оказывается, что размерность линейного пространства тесно связана с количеством векторов, которое может иметь базис линейного пространства. П 7. Размерность лняейносо пространства Теорема 1.4. Если линейное пространство а, п-мерно, то любая линейно независимая система иэ и векторов является его базисом.
< Пусть система векторов Ь1, ..., Ь„Е а, линейно независима. Тогда для любого вектора ж е а. система векторов ж, Ь1, ..., Ь„линейно зависима, так как она содержит и+ 1 вектор, т.е. количество большее, чем размерность линейного пространства. Это значит, что существуют такие коэффициенты ае, ам ..., а„, одновременно не равные нулю, что ае*+а1Ь1+" +аиь =О. (1.6) Заметим, что ае ф О, так как в противном случае равен- ство (1.6) сводится к равенству а Ь +...+а„Ь„=О, причем среди коэффициентов ам ..., а„есть хотя бы один ненулевой (так как ае = 0). Но это означало бы, что система векторов Ь1, ..., Ь„линейно зависима. Учитывая, что ае ф О, иэ (1.6) находим а1 аи и= — — Ь1 —...— — Ь .
и. ао ао Так как вектор х был выбран произвольно, заключаем, что любой вектор в линейном пространстве С можно представить в виде линейной комбинации системы векторов Ь1, ..., Ь„. Поэтому зта система векторов, по предположению линейно независимая, является базисом в .С. ~ Теорема 1.5. Если в линейном пространстве С существует базис из и векторов, то с11ша. = и. < Пусть Ь = (Ь1 ... Ь„) — базис в линейном пространстве С.
Нам достаточно показать, что любая система жм ..., ли+1 из п+ 1 вектора из а. линейно зависима. 40 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Разложим каждый иэ этих векторов х; по базису Ь: ж~ = аыЬ| +... +а„~Ь„, жн,1=ацн+~Ь~+ "+апп+1Ьн, а из столбцов координат векторов х; составим матрицу типа пх(п+1). Согласно следствию 1.1, линейная зависимость системы векторов и~, ..., ж„+~ равносильна линейной зависимости столбцов матрицы А, так как выполнение каких-либо линейных операций над векторами идентично выполнению тех же операций над их столбцами координат. Но в матрице А содержится и строк, поэтому ее ранг не превосходит и. Следовательно, при любом выборе базисного минора хотя бы один иэ столбцов матрицы не является базисным и по теореме о базисном миноре ~1П] является линейной комбинацией базисных.
Но тогда такое же соотношение справедливо для соответствующих векторов. Следовательно, согласно необходимому и достаточному условию линейной зависимости (см. теорему 1.1), система векторов ж~, ..., ж„+~ линейно зависима, так как один иэ них равен линейной комбинации остальных. ~ Иэ теорем 1.4 и 1.5 следует, что в каждом линейном пространстве любые два базиса содержат одно и то же количество векторов, и это количество равно размерности линейного пространства. Пример 1.13.
В линебнон арн4метическом простпранстве К" стпандартный базис (1.5) состоит из и векторов, поэтому с11щй" = и, что и отражено в обозначении этого линейного пространства. 41 1.7. Размерность линейного пространства Пример 1.14. Рассмотрим однородную СЛАУ х1 — 2хг+ 2хз — х4 = О, х1 — Зхг+ хг — 4х4 = О, 2х1 — 5хг+ Зхг — 5х4 = О, множество решений которой образует линейное пространство. Найдем размерность этого линейного пространства и какой- либо базис в нем.
Следуя [П1], решим эту систему, определив ее фундаментальную систему решений. Для этого запишем матрицу системы и при помощи элельентарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду: 1 -3 1 — 4 Π— 1 — 1 — 3 О 1 1 3 Из полученного вида находим, что ранг матрицы системы равен 2, в качестве свободных неизвестных можно взять хг и х4, а в качестве базисных неизвестных — х1 и хг. Преобразованная система имеет вид < х1 — 2хг + 2хг — х4 = О, хг+ хз+ Зх4 = О Полагая хз =.1, х4 = О, находим хг = — 1, х1 = — 4, а при хз = О, х4 = 1 имеем хг = — 3, х1 = -5. Записав найденные решения в виде столбцов, получим фундаментальную систему решений: -4 — 5 ОО -3 1 ' О О 1 Согласно теории систем линейных алгебраических уравнений [П1], эти два решения линейно независимы, а любое другое решение СЛАУ представляется в виде линейной комбинации х111 Е ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 42 и х~з).
Другими словами, столбцы х(П и х(з~ образуют базис в линейном пространстве решений рассматриваемой однород-' ной СЛАУ. Размерность зтого линейного пространства равна двум — количеству векторов в базисе. 1.8.Преобразование координат вектора при замене базиса В линейном простпранстве все базисы равноправны.
Тот или иной базис выбирают исходя из конкретных обстоятельств, а может быть, и вообще произвольно. Иногда удобно использовать для представления злементов линейного пространства несколько базисов, но тогда естественным образом возникает задача преобразования коордццат вектлоров, которое связано с изменением базиса. Пусть в и-мерном линейном пространстве Е заданы два базиса: старый Ь= (Ь1 ... Ь„) и новый с= (с1 ... с„).
Любой вектор можно разложить по базису Ь. В частности, каждый вектор из базиса с может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса Ь: св=опЬ1+" +оыЬю Запишем зти представления в матричной форме: 1=1,л, или с=Ьи, где 1.В. Преобоазоааиие коордииат ири эаиеие бвзиоа 43 Определение 1.6. Матрицу (1.7) называют манзрнцеб нереиода от старого базиса Ь к новому базису с. Согласно данному определению, 1-й столбец матрицы перехода есть столбец координат 1-го вектора нового базиса в старом.
Поэтому говорят, что матрица перехода состоит иэ координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам. Обсудим некоторые свойства матрицы перехода. 1'. Матрица перехода невырождена и всегда имеет обратную. ~ Действительно, столбцы матрицы перехода — это столбцы координат векторов нового базиса в старом. Следовательно, они, как и векторы базиса, лаисбио независимы. Значит, матрица У невырожденная и имеет обратную матрицу У з (ПЦ. > 2'. Если в н-мерном линейном пространстве задан базис Ь, то для любой невырожденной квадратной матрицы У порядка и существует такой базис с в этом линейном пространстве, что У будет матрицей перехода от базиса Ь к базису с.
~ Из невырожденности матрицы У следует, что ее ранг равен и, и поэтому ее столбцы, будучи базисными, линейно независимы. Эти столбцы являются столбцами координат векторов системы с = ЬУ. Линейная независимость столбцов матрицы У равносильна линейной независимости системы векторов с. Так как система с содержит и векторов, причем линейное пространство н-мерно, то, согласно теореме 1.4, эта система является базисом.
~ Пример 1.15. Пусть Ь = (Ь| Ьг Ьз) — базис линейного пространства. Тогда система векторов сз = 2Ьз, сг = — Ьг, сз = Ьз тоже является базисом в этом линейном пространстве. Это следует нз того, что (сз сг сз) = (Ьз Ьг Ьз)У, где диагональная матрица У = йая(2, -1, 1) невырождена. 44 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3'. Если У вЂ” матрица перехода от старого базиса Ь к новому базису с линейного пространства, то У 1 — матрица перехода от базиса с к базису Ь.
~ Матрица У невырождена, и поэтому из равенства с = ЬУ следует, что сУ 1 = Ь. Последнее равенство означает, что столбцы матрицы У 1 являются столбцами координат векторов базиса Ь относительно базиса с, т.е., согласно определению 1.6, У 1 — это матрица перехода от базиса с к базису Ь. > 4'. Если в линейном пространстве заданы базисы Ь, с и д, причем У вЂ” матрица перехода от базиса Ь к базису с, а У— матрица перехода от базиса с к базису д, то произведение этих матриц УЪ' — матрица перехода от базиса Ь к базису д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
