IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножать на числа по законам матричных операций [1П]. Столбец, получаемый в результате сложения решений или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определены операции, о которых говорится в определении 1.1, подчиняющиеся аксиомам линейного пространства; — множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывную функцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию.
Поэтому сложение функций и умножение функции на число, нв вяхаодлп1ие-еа. пределы множества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейного прост~у~ства,Легко убедиться, что для этих операций верны все а11сфомы динЕйнсл го пространства. 18 К ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пример 1.2. Рассмотрим множество К+ всех действительных положительных чисел.
Если суммой элементов х,у е К+ считать обычную сумму действительных чисел х+ у, а произведением действительного числа Л на элемент х Н К+ — обычную операцию произведения действительных чисел Лх, то мы не получим линейного пространства, так как при Л = О обычная операция умножения действительных чисел дает Л х = О, т.е. умножение на нуль дает число, не принадлежащее множеству К+, а значит, множество К+ не замкнуто относительно этой операции умножения на действительные числа, т.е. нарушается условие 2) определения 1.1. Введем операции на множестве К+ по-другому. „Суммой" х ® у элементов х и у назовем произведение этих элементов как действительных чисел: х Ю у = ху.
„Произведением" Л О х элемента х Е К+ на число Л Н К назовем возведение х как числа в действительную степень Л: ЛОх = х". Видоизмененное обозначение введенных операций ® и О подчеркивает их необычную трактовку. „Сумма" х®у и „произведение" Л Ох, как нетрудно увидеть, определены для любых пар х, у Е К+ и Л Е К, х Е К+ соответственно. Кроме того, множество К+ замкнуто относительно этих операций. Убедимся, что для этих операций верны аксиомы линейного пространства.
Для любых элементов х, у, я Е К+ и любых действительных чисел Л, р, учитывая свойства умножения и возведения в степень действительных чисел, получаем: а) х®у=ху=ух=уйх; б) (х9у) 9х = (ху)я = х(ух) = х®(уй я); в) в качестве нулевого элемента О следует взять число 1, так как х ®О = х 1 = х для любого элемента х; г) противоположным произвольному элементу х Е К+ будет элемент (Эх) = 1/х, так как х Щ (Ох) = х(1/х) = 1 = О; д) „умножение" элемента на число 1 его не меняет: 1 О х = =х1=х; 19 1. 1, Определение линейного пространства е) Л О Ь О х) = (хн)' = "" = х»" = (Лр) О *; ж) (Л+р) Ох = х»+" = х"х' = (ЛОх) 1в(рОх); э) ЛО(хЕу) = (ху)» = х»у» = (ЛОх) 9(ЛОу). Итак, заключаем, что все восемь аксиом линейного пространства выполнены.
Значит, множество Н+ с введенными операциями ® и О является линейным пространством. Пример 1.3. На множестве Иа = (х: х = (х1, ..., х„)), элементами которого являются упорядоченные совокупности и произвольных действительных чисел, введем операции х+у=(х1+у1, ..., х„+д„), Лх=(Лх1, ..., Лх„), ЛЕН. Тогда получим линейное пространство, так как все аксиомы линейного пространства для данных операций выполняются. Это линейное пространство, по сути, есть линейное пространство матриц-строк. Отличие лишь формальное, так как первое определено как множество упорядоченных наборов чисел, а второе как множество матриц. Но элементы матрицы всегда записывают в определенном порядке. Линейное пространство Иа называют линейным арифметическим пространсупвам.
Замечание 1.1. Операция умножения вектора на число в .определении 1.1 задана только для действительных чисел. Но точно так же можно ввести линейное пространство с умножением элементов множества С на произвольные комплексные числа. Два способа определения линейного пространства различают, используя термины „линейное пространство над полем' действительных чисел" (более коротко: действительное линейное пространство) и „линейное пространство над полем комплексных чисел" (комплексное линейное пространство). Теории в этих двух случаях очень близки, но По поводу термина „поле" см. Д,1.1 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 20 различия все-таки есть. Важный пример комплексного линей ного пространства — комплексное арифметическое пространство (»» (»1» ° ° »»)) > элементами которого являются упорядоченные наборы из п комплексных чисел. Операции в этом пространстве задаются по тем же правилам, что и в случае действительного арифметического пространства. 1.2. Свойства линейного пространства Непосредственно из аксиом линейного простпранства можно получить ряд простейших свойств. Свойство 1.1.
Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектпор. м В аксиоме в) линейного пространства не утверждается, что нулевой вектор должен быть единственным. Но из аксиом а) и в) в совокупности это вытекает. Пусть существуют два нулевых вектора О и О'. Тогда О= Здесь в роли нулевого элемента сначала выступает вектор 0', а затем О. Видим, что векторы О и О' совпадают. > Свойство 1.2. Каждый вектор линейного пространства имеет только один протпивоположнмй век>пор. м Пусть для вектора х существуют два противоположных вектора ( — х) и ( — х)>. Согласно аксиоме г) линейного пространства это означает, что х+ (-х) = 0 и х+ (-х)' = О.
Рассмотрим двойную сумму ( — х) + х + (-х)' элементов линейного пространства. Согласно аксиоме б) зта сумма не зависит от 21 1.2. Свойства линейного лростравства порядка выполнения двух операций сложения. Меняя порядок сложения, получаем: ( — х)+х+( — х)'= ( — х)+(х+( — х) ) =( — х)+О= (-х), Свойство 1.3. Если вектор ( — х) противоположен вектору х, то вектор х противоположен вектору ( — х). 1 Утверждение опирается на коммутативность сложения. Действительно, в( — х) противоположен хв е=» х + ( — х) = О, вх противоположен ( — х)" ~=~ (-х) +х = О.
Справа стоят эквивалентные равенства (в силу аксиомы а) ). Значит, и утверждения слева равносильны. > Свойство 1.4. Для любых двух векторов а и Ь уравнение а+ х = Ь относительно х имеет решение, и притом единственное. < С у щ е с т в о в а н и е. Решением уравнения а+ х = Ь является вектор (-а) + Ь, так как а+ ((-а) + Ь) = (а+ (-а) ) + Ь = О + Ь = Ь. Единственность. Пусть х — какое-либо решение указанного уравнения, т.е. выполнено равенство а+ х = Ь. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-а), получим (-а) + а + х = (-а) + Ь, откуда х = ( — а) + Ь.
Видим, что вектор х совпал с указанным выше решением ( — а) + Ь. Значит, других решений нет. > К ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 22 Последнее свойство позволяет ввести еще одну операцию: в линейном пространстве, которая является противоположной слоэсению. Разностпью двух вектпоров Ь вЂ” а называют вектор ш, являющийся решением уравнения а+ ж = Ь (вспомним, что разностью двух чисел 6- а называют такое число, которое в сумме с вычитаемым а дает уменьшаемое 6). Из доказательства свойства 1.4 вытекает, что Ь вЂ” а = Ь+( — а) = ( — а)+ Ь.
Свойство 1.5. Произведение произвольного злеменша линейного пространства на число О равно нулевому вектору: О.х = О. м Отметим, что решением уравнения ж + и = ж относительно неизвестного и является нулевой вектор (аксиома в) ).
Покажем, что в качестве решения этого уравнения можно взять и вектор О ж, который тогда, в силу единственности решения, будет совпадать с О. Итак, проверяем: Свойство 1.6. Вектор, противоположный данному вектору х, равен произведению ж на число — 1: ( — ж) = ( — 1)ш. ~ Благодаря единственности противоположного вектора (свойство 1.2) достаточно доказать, что вектор ( — 1)ж удовлетворяет аксиоме г) линейного пространства. Для этого используем аксиому дистрибутивности ж) и только что доказанное свойство 1.5: ш + (-1)ж = 1 ш + ( — 1)ж = (1+ ( — 1)) ж = О ж = О.
Замечание 1.2. Эквивалентность равенств а+ я = 6 и з = 6 — а можно трактовать как правило, согласно которому 23 ЬЗ. Линейнаа зависимость слагаемое, которое переносят в другую часть равенства, меняет свой знак. Ясно также, что для а е К из равенства а = Ь следует равенство аа = аЬ и наоборот (при а ф 0), так как 1 т1 — (аа) = ~ — ст) а = 1 а = а и аналогично 1 — (аЬ) = Ь.
Свойство 1.7. Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор: ЛО = О. ~ Мы теперь знаем, что нулевой вектор можно представить как произведение произвольного вектора (того же 0) на число 0 (свойство 1.5). Используя это, получаем: ЛО=Л(0 0)=(Л 0)0=0 0=0. 1.3. Линейная зависимость Иэ данного набора вектпоров хь хз, ..., ха линейного простпранстпво а. при помощи линейных операций можно составить выражение вида (1.1) атхт + сттхз+... + стьхь где оь аЪ ..., сть — произвольный набор действительных чисел. Такое выражение называют линейной комбинацией векторов хь хз, ..., хь, а действительные числа аь стт, ..., ста — коэффициентами линейной комбинации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
