IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Перечислите виды кривых второго порядка. Укажите их канонические уравнения. [?1Ц 25. Перечислите основные виды поверхностей второго порядка и укажите вх канонические уравнения. [ПЦ 26. Что такое абсолютная и относительная погрешности? [П] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА'4ЕНИЯ < и ° — начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания а е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1,1 — множество натуральных чисел 1-1.3 — множество действительных чисел 1-1.3 — множество комплексных чисел Д.1.1, 1-4.3 — абсолютная величина числа х 1-1.3 И К С (х) щв )а) 0 а+Ь Ла Я вЂ” ортогональное дополнение к линейному подпространству Я 3.9 У1 (Уз и Уэ) — пространсгво коллинеарных векторов (компланарных векторов и всех свободных векторов) П1 — скалярное произведение векторов а и Ь 3.1, П1 — векторное произведение векторов а и Ь П1 (а, Ь) ахЬ вЂ” линейное арифметическое пространство 1.1 а, а — вектор (элемент линейного пространства) и столбец его координат 1.6 — длина вектора а 3.3, П1 — нулевой вектор 1.1, П1 — сумма векторов а и Ь 1.1, П1 — произведение вектора а на действительное число Л 1.1, П1 а, Ь вЂ” угол между векторами а и Ь 3.4, П1 йтЮ вЂ” размерность линейного пространства .С 1.7 врап(а) — линейная оболочка системы векторов а 2.1 М1 + Яг (Я1 Ю Яг) — сумма (прямая сумма) линейных подпространств Я1 и Нз 2.3 10 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ аЬс — смешанное произведение векторов а, Ь и с П1 а = (х;у) (а = (х;у;г)) — задание вектора а из 1~э (тэ) с помощью его координат в фиксированном базисе в 1~э (~э) П1 1 (т, т' и т,,у, й) — ортонормированный базис в $~1 (правый ортонормированный базис в Кг и в $'э) 1П Оку, Ов,у (Окуз, Отуй) — правая прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве) П1 М(х; у; х) (М(х; у)) — точка М пространства (плоскости) с координатами х (абсцисса), у (ордината) и х (аппликата) П1 К„[х] — множество многочленов переменного х степени, не превышающей и 1.1 т А — матрица, транспонированнал к матрице А П1 Йая(а~, ..., а„) — диагональная матрица с диагональными элементами а1, ..., а„П1 с$еСА — определитель матрицы А П1 А 1 — матрица, обратная к матрице А П1 КЕА — ранг матрицы А 1П А+ — псевдообратная матрица Д.З.З 9 — нулевая матрица 1П А, А — линейный оператор и его матрица 4.3 Ю вЂ” нулевой оператор 4.1 лег А, пи А — ядро и образ линейного оператора А 4.1 А ®  — произведение тензоров А и В 10.4 ~р(х, ) — функция многих переменнъпс, рассматриваемая при фиксированном значении аргумента х (в общем случае векторного) как функция второго аргумента 10.2 ~ аь — сумма и слагаемых а1, ..., аю ..., а„1-2.6 я=1 Й = 1, п — число Й принимает последовательно все значения из множества 1Ч от 1 до и включительно 1-2.6 11 Буквы латинского алфавита Буквы греческого алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
введение Два раздела из курса аналитической геометрии ~П1] имеют много общего. На множестве векторов в пространстве Я) или на плоскости Я) определены линейные операции сложения векторов и умножения вектора на число. Одноименные операции введены и во множестве М~„(К) матриц одного типа тхп. В обоих случаях операции обладали схожими свойствами.
Аналогия между векторами и матрицами была подчеркнута стилем изложения: линейные свойства матриц описаны в том же ключе, что и линейные свойства векторов. Естественно задаться целью построить такую математическую теорию, которая охватывала бы и векторную алгебру, и матричную как частные случаи. Такая теория была создана и получила название линейной алгебры. Она базируется на аксиоматическом методе. Согласно этому методу вводятся первичные, неопределяемые понятия, которые должны подчиняться некоторому набору аксиом.
Аксиомы — это первичные утверждения, которые не доказываются, а считаются верными изначально. Все остальные утверждения теории, базирующейся на аксиоматическом методе, выводятся из заданных аксиом. Примером использования аксиоматического метода является геометрия, известная из школьного курса математики. Ее первичными понятиями являются точки, прямые и плоскости. В качестве аксиом используются, например, утверждения: через две несовпадающие точки проходит прямая, и притом только одна; через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну; если две точки прямой лежат в данной плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Основным объектом линейной алгебры является линейное пространство — понятие, обобщающее множество 1~з векто- ров в пространстве и множество М „(К) матриц одного типа с линейными операциями, заданными на этих множествах.
Элементы линейного пространства называют векшорами, обобщая термин из векторной алгебры. Само линейное пространство часто называют еемтиорнььм. Линейные пространства — один из самых распространенных математических объектов, и применение линейной алгебры далеко не исчерпывается векторной и матричной алгебрами. В линейном пространстве действуют две операции: сложение векторов и умножение вектора на число, которые подчиняются аксиомам линейного пространства. Однако могут вводиться и другие операции и соответственно дополнительные аксиомы, например операция, аналогичная скалярному умножению векторов. Эти операции задают дополнительные отношения в линейном пространстве, которые тоже изучаются в линейной алгебре и часто используются в различных ее приложениях.
Аксиоматический метод, положенный в основу линейной алгебры, приводит к тому, что теория становится менее наглядной и более сложной для восприятия. Доказательства теорем проводятся более строго, но и более формально. И хотя формулировки теорем чаще всего мотивируются аналогиями из конкретных приложений линейной алгебры (в частности, все теми же векторной и матричной алгебрами), доказательства не всегда можно представить образно, как в планиметрии или стереометрии. Трудности линейной алгебры в освоении окупаются тем, что удается уловить связи между весьма отдаленными разделами математики, между которыми на первый взгляд не может быть ничего общего.
В учебник включены как традиционные вопросы, посвященные понятию линейного пространства, линейного подпространства, линейного оператора, так и вопросы для углубленного изучения. Последние оформлены в виде дополнений. Кроме ВВЕДЕНИЕ того, в стандартный курс не входит глава 10, посвященная элементам тензорной алгебры. Для изучения материала учебника требуется знание математики в рамках первого семестра технического университета. Соответствующую информацию можно почерпнуть в предыдущих выпусках [1?~, [11Ц серии „Математика в техническом университете". 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1.1. Определение линейного пространства Центральное место в линейной алгебре занимает следующее понятие. Определение 1.1. Множество Е элементов х, у, х, ... любой природы называют линейным пространством, если выполнены три условия: 1) задано с,аожение элементов а„т.е. закон, по которому любым элементам х,у Е Е ставится в соответствие элемент х Е Е, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый х=х+у; 2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу х Е а. и любому числу Л Е К ставится в соответствие элемент х Е.С, называемый произведением элемента х на (действительное) чис.ао и обозначаемый х = = Лх; 3) указанные законы (линейные операции) подчиюпотся следующим аксиомам линейного пространства: а) сложение коммутативно: х+у = у+х; б) сложение ассоциативно: (х + у) + х = х + (у + х); в) существует такой элемент О Е а,, что х+ О = х для любого х6 1:; г) для каждого элемента х множества а.
существует такой элемент ( — х) Е а., что х+ ( — х) = О; д) произведение любого элемента х нз а. на единицу равно этому элементу: 1 х = х; е) умножение на число ассоциативно: Л(рх) = (Лр)х; ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: (Л+ р)х = Лх+ рх; 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 16 з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам: Л(ж+ у) = Лх+ Лу. Элементы линейного пространства принято называть вентпорами. Элемент О, существование которого постулируется аксиомой в),называют нулевым вентпором,аэлемент( — х)— вектором,протпивоположным к вектору х. В понятии „линейное пространство" важно не только рассматриваемое множество х"„но и заданные операции сложения элементов и умножения на число. Одно и то же множество х", при одних операциях может быть линейным пространством, а при других — нет.
Фактически линейным пространством является совокупность (х.,+, ) из множества элементов и двух операций, которая удовлетворяет условиям определения 1.1. В этой тройке объектов базовым все-таки является множество ь", так как операции вводятся именно на этом множестве. Поэтому понятие линейного пространства обычно ассоциируют с множеством элементов х. и говорят, что ь". — линейное пространство. При этом, как правило, очевидно, что понимается под операциями линейного пространства. Если же требуется явно указать используемые операции, то говорят: множество ь" — линейное пространство относительно таких-то операций.
Согласно определению 1.1 линейного пространства ь" сумма определена для любьпт элементов из ь" и всегда является элементом множества Е. Подчеркивая последнее, говорят, что множестпво х', эамннутпо относительно операции сюжения. Аналогично, согласно тому же определению, множество ь" замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.
Пример 1.1. Приведем примеры линейных пространств: — множество уз Я) всех свободных вектпоров в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами— линейное пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства [П1]; Ь Ь Определение линейного пространства 17 — множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости 'ЧГ ф и (рис. 1.1) с линейными операциями над векторами является линейным пространством [П1]; Рис. 1.1 — множество М „(К) матриц типа тхп, элементами которых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства; — множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины п является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частный случай предыдущего примера); — множество Х„[х] многочленов переменного х степени, не превышающей и, которые как функции можно складывать и умножать на действительные числа; — множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
