IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тцривиальной, а в противном случае — нетприв ив.льной. Конкретный (неупорядоченный) набор векторов хь хг, ..., хь линейного пространства будем называть систпемой вектпоров, а любую его часть — подсистпемой 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 24 Определение 1.2. Систему векторов х1, хг, ..., хь в линейном пространстве Е называют линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому венпгору. Если же линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору только лишь в случае, когда она тривиальна, систему векторов называют линейно независимой.
Опуская слово „система", часто говорят: векторы хм хг, ..., хь линейно зависимы или соответственно линейно независимы. Линейная зависимость системы векторов хм хг, ..., хл означает, что существуют такие коэффициенты а1, аг, ..., аь Е К, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство (1.2) а1х1+агхг+ ...
+аьхь = О. Векторы х1, хг, ..., хь линейно независимы, если из равенства а1х1+агхг+... +аьхь = О вытекает, что а| = аг = ... = аь = О. В такой интерпретации понятия линейной зависимости и независимости мы будем использовать в различных доказательствах. Следующее утверждение дает простой критерий линейной зависимости векторов. 'Теорема 1.1. Для того чтобы система векторов хп хг, ..., хь была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один нз векторов системы являлся линейной комбинацией остальных.
< Необходимость. Пусть векторы х1, хг, ..., хь линейно зависимы. Согласно определению 1.2, это означает, что существуют коэффициенты а1, аг, ..., аь Е К, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство (1.2). Не теряя общности, мы можем считать, что а1 ф О, так как этого всегда можно добиться изменением нумерации векторов в системе. 25 2.3. Линейная эааиеииоеть Из равенства (1.2), используя обычные правила преобразования выражений (см. замечание 1.2), находим сег ~~1 х1 = — — хг — " — — ха. ее1 Следовательно, вектор х1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Достаточность. Теперь предположим, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Как и выше, можно, не теряя общности, считать, что таким является вектор х|. Согласно этому предположению, существуют такие коэффициенты аг, ..., аю что х1 = Огхг +... + егйхь. Преобразуя очевидным образом записанное выражение, полу- чаем 1 х1 — агхг —...
— сеьхь. = О. В левой части этого равенства стоит линейная комбинация векторов системы. Она равна нулевому вектору, но не все ее коэффициенты равны нулю (например, коэффициент при векторе х1 равен единице). Согласно определению 1.2, зто означает, что система векторов хм хг, ..., хь линейно зависима. ~ Пример 1.4. В линейном пространстве С[0,2я] функций, непрерывных на отрезке [О, 2н), рассмотрим функции 1, з1п~ х, соз2х. Система иэ этих трех элементов линейного пространства линейно зависима, поскольку в силу известной формулы тригонометрии функция зшгх является линейной комбинацией двух других функций: 1 — соя 2х зш х= 2 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 26 1.4.
Свойства систем векторов Непосредственно из аксиом линейноеа пространства можно получить ряд простейших свойств систем векторов произвольного линейного пространства 1:. 1'. Если среди векторов х1, хз, ..., хь Е А", есть нулевой вектор, то эта система векторов линейно зависима.
~ Пусть, например, х1 = О. Тогда линейнал комбинацил 1 х1+ + О ха+ ... + О.хь является нетривиальной, так как первый ее коэффициент равен единице. В то же время укаэанная линейная комбинация равна О, потому что все ее слагаемые равны нулевому вектору. ° 2'. Если система векторов содержит линейно зависимую нодсист< лу, то она линейно зависима. ~ Подсистема состоит из части векторов исходной системы. Пусть, например, в системе векторов х1, ..., хь подсистема х1, ..., хт, т ( и, линейно зависима. Это значит, что можно указать коэффициенты о1, ..., о„„ одновременно не равные нулю, для которых о1х1 +... + отхт = О. Введя дополнительные коэффициенты о,„+1 = ... —— аь = О, получим линейную комбинацию системы векторов х1, ..., х„„ х„,+1, ..., хь.
С одной стороны, она не является тривиальной, так как среди первых ее т коэффициентов есть ненулевые, а с другой стороны, а1 х1 +... + о,„х, + а,„+1х,„+1... + оьхе = = О+О ° ха+1+... +О ° хь = О, так как все коэффициенты начинал с (т+1)-го равны нулю. Следовательно, исходная система векторов линейно зависима. ° 27 1.4. Свойства систем векторов 3'. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема тоже линейно независима. ~ Это свойство является переформулировкой предыдущего. В самом деле, по свойству 2' система, имеющая линейно зависимую подсистему,не может быть сама линейно независимой. Поэтому у линейно независимой системы вообще не может быть линейно зависимых подсистем.
> 4'. Если векторы е1, ..., е линейного пространства с". линейно независимы и вектор у Е х,не является их линейной комбинацией, то расширенная система векторов е1, ..., е,„, у является линейно независимой. ~ Действительно, пусть св1е1+... + св,не,в + АУ = О. Тогда коэффициент )3 должен быть нулевым, так как в противном случае мы можем выразить вектор у через остальные. Но слагаемое ~Зу в равенстве слева можно при б = 0 опустить, и мы получаем линейную комбинацию векторов е1, ..., еь, равную нулевому вектору. В силу линейной независимости этих векторов все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Значит, исходная линейная комбинация является 1привиальной и поэтому система векторов е,„, ..., е,, у линейно независима.
° Пример 1.5. В линейном арифметическом пространстве К" рассмотрим н векторов е1 = (1, О, ..., О, 0), е2 = (О, 1, ..., О, 0), е„ = (О, О, ..., О, 1). Докажем, что система из этих векторов линейно независима. Так как для любых коэффициентов св1, ..., а„ Са1Е1 + СВ2Е2 + . + Савва (121, С12, ... Сев) 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 28 то ясно, что эта линейная комбинация векторов е1, ..., а„ может быть равна нулевому вектору 0 = (О, О, ..., 0) только лишь при условии, что а1 = аэ = ... = а„= О.
Это и означает, что эта система векторов линейно независима. Отметим, что если из векторов е1, ..., е„, рассматривал их как строки одинаковой длины, составить матрицу 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ! 0 0 ... 0 1 то ее ранг будет максимальным ЩЕ = и), так как Е является невырожденной матрицей. По теореме о базисном миноре [ПЦ строки этой матрицы линейно независимы. Таким образом, понятие линейной независимости векторов е1, ..., е„линейного арифметического пространства в данном случае согласуется с понятием линейной независимости строк единичной матрицы Е. Пример 1.6. Любые два коллинеарных вектора на плоскости (в 1~э) и любые три компланарных вектора в пространстве (в Уз) линейно зависимы. И в том, и в другом случае один из векторов можно представить в виде линейной комбинации другого (других) (ПЦ.
По этой же причине в пространстве линейно зависима любая система из четырех векторов. Пример 1.7. Пусть в произвольном линейном пространстве .С даны два вектора И1 и Иг и пусть а = 341 — аз, Ь = = 241 + Здг, с = 41 + Ы~. Тогда система векторов а, Ь, с линейно зависима. В самом деле, составим линейную комбинацию системы векторов а, Ь, с с произвольными коэффициентами х, у, х и приравняем ее нулевому вектору: ха+ уЬ+хе = О.
В этой линейной комбинации заменим векторы их представлениями 1.5. Базис лппейпого прострапстаа через И1 и Аэ: ха+ уЬ+ «с = х(ЗИ1 — 2с1э) + у(241 + 3(Ц) + а(с11 + Ыг) = = (Зх + 2у + я)сел1 + (-2х + Зу + ба)дг. Теперь достаточно приравнять нулю коэффициенты при И1 и Из, чтобы получить нулевую линейную комбинацию. Значит, если коэффициенты х, у, я удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений Зх+2у+ а=О, -2х+ Зу+ Ьа = О, то линейная комбинация векторов а, Ь, с с коэффициентами х, у, а равна нулевому вектору.
Как следует из теории систем линейных алгебраических уравнений [ПЦ, указанная система всегда имеет ненулевое решение, поскольку ранг ее матрицы равен двум и меньше трех — количества неизвестных. Например, ненулевым решением является х = 7, у = -17, а = = 13. Значит, существуют такие х, у, а, одновременно не равные нулю, что линейная комбинация векторов а, Ь, с с этими коэффициентами равна нулевому вектору, т.е. система векторов а, Ь, с линейно зависима.
1.5. Базис линейного пространства В .аинейном просльранстве наибольший интерес представляют сисщемы вентворов, в виде линейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить набором чисел, являющихся ноэффициенгаами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА зр Этот подход применялся уже в аналитической геометрии [ПЦ. В пространстве Рз векторов на плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации [1П]. Аналогично в ?тз (множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора.
Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) [П1]. Определение 1.3. Базисом линейного простпранстпва ь" называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия: 1) зта система вентпоров линейно независима; 2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов зтой системы. Пусть Ьп ..., ܄— базис в т"...
Определение 1.3 говорит о том, что любой вектор х Е Е может быть записан следующим образом: х = хтЬ|+... +х„Ь„. Такую запись называют разлозтсением венптора х по базаср Ь„..., Ь„. Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных вентлоров в ?'т, Рз или тз [П?]. Например, в ?тз базисом была названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех векторов.
Но, кроме того, из курса векторной алгебры [П1] мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде 31 Ьб. Базис аииейиого лростраистаа цк линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в гз, так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им компланарный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
