IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть даны векторы а~, аг, аз, а4 в четырехмерном линейном пространстве ь"., имеющие в некотором базисе столбцы координат а~ = (1 2 0 6), аз = (2 0 3 1), аз = (3 2 3 7), а4 = (7 2 9 9) . Соответствующая матрица А имеет вид 1 2 3 7 2 0 2 2 0 3 3 9 6 1 7 9 Вычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2. Таким образом, ранг системы векторов равен 2. Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут 71 З.б. Лннейные оболочки и системы уравнений любые два вектора системы.
Например, базисом является пара векторов а1, аэ. По этому базису можно разложить, наприйер, остальные векторы системы. Чтобы найти разложение вектора аэ по базису, достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений х1а1+хгаэ = аэ которая в координатной форме имеет вид х1 + 2хэ = 3, 2х1 =2, Зхэ =3, бх1+ хг = 7. Иэ четырех уравнений можно оставить любые два. Используя второе и третье уравнения, находим х1 = 1, хэ = 1 и, следовательно, аэ = а1+ач.
Аналогично находим и разложение вектора а4. ае = а1+Заг. 2.6. Линейные оболочки и системы уравнений Пусть,С вЂ” п-мерное линейное пространство, в котором фиксирован некоторый базис е = (е~ ... е„) и выбраны векторы ап ..., ан, Ь. Запишем разложение выбранных векторов по базису е: а =еа, ч'=1,й, Ь=еЬ, где ай — — (а11 ... авй), 1' = 1,Й, 6 = (Ь| ...
Ь„) — столбцы координат соответствующих векторов. Пусть А — матрица типа пхй, составленная иэ координатных столбцов векторов аы ..., аь, а (А~Ь) — матрица, полученная иэ матрицы А добавлением справа еще одного столбца 6. Для вектора Ь возможны два случая: 1) вектор Ь принадлежит линейной оболочке арап(а1,..., аь); 2) вектор Ь не принадлежит эран(ап...,аь). 72 2.
ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В первом случае добавление к систлеже векшорое а1, ..., аь вектора Ь не приводит к расширению линейной оболочки системы и, следовательно, с11шзрап(ам...,аь) = йшзрап(ам...,аыЬ). По теореме 2.6 заключаем, что КЕА = К8(А ~ Ь). Во втором случае, наоборот, добавление вектора Ь к системе векторов а1, ..., аь приводит к расширению линейной оболочки, причем по теореме 2.5 с1ппзрап(аы..., аь, Ь) = йшзрап(аы..., аь) + 1, так как арап(а|,...,аь Ь) = арап(ам...,аь) Е зрап(Ь) .
Следовательно, К8(А ~ Ь) = КЕА+ 1. Выясним теперь, что означают эти два случая „на координатном уровне". В первом случае условие Ь Е арап(ам...,аь) означает существование разложения (2.8) х1а1+... + хьаь = Ь с некоторыми действительными коэффициентами хы ..., хь. Записывая это векторное равенство в координатной форме, получаем систему линейньм алгебраических уравнений (СЛАУ) амх1+...
+ а1ьхь = Ьы (2.9) а„1х1+... +а„ьхь = Ь„ т относительно переменных х = (х~ ... хь), которая в матричной форме имеет вид Ах = Ь. Существование разложения (2.8) означает, что полученная система имеет решение. Во втором случае представление (2.8) невозможно, т.е. система (2.9) не имеет решений. 2.б. Линейные оболочки и системы уравнений Итак, следующие четыре утверждения эквивалентны между :собой: — 6 е арап(ап...,ав); — йшврап(а1,...,аыЬ) = йшврап(а1,...,аь); — Вд(А)6) = ВяА; — система Ах = 6 иэ и линейных алгебраических уравнений относительно й неизвестных совместна. Эквивалентность последних двух утверждений составляет содержание теоремы Кронекера — Капелли [ПЦ, которая верна для произвольных СЛАУ.
Отметим, что любая система из п линейных алгебраических уравнений относительно 6 неизвестных может быть получена как результат проведенных рассуждений. Для этого достаточно в качестве векторов ам ..., ав рассмотреть столбцы коэффициентов при неизвестных, а в качестве вектора Ь вЂ” столбец свободных членов. Все зти столбцы могут рассматриваться как и-мерные векторы в линейном арифметическом пространстве ее".
Таким образом, теорему Кронекера — Капелли можно переформулировать следующим образом: для того чтобы линейная оболочка системы векторов а1, ..., ав совпадала с линейной оболочкой расширенной системы а1, ..., ав, Ь, необходимо и достаточно, чтобы были равны размерности этих линейных оболочек. Предположим, что квадратная СЛАУ Ах = 6 имеет решение при любом столбце Ь,правых частей. Рассматривая столбцы матрицы А и столбец 6 как элементы а|, ..., а„, Ь п-мерного линейного арифметического пространства и записывая СЛАУ в векторной форме х1а1+ хза2 +...
+ х„а„= Ь, заключаем, что линейная оболочка системы векторов ам ..., а„совпадает со всем линейным пространством жи. Из этого следует, что ранг этой системы векторов равен размерности линейного пространства и, а так как в системе ровно и 74 г. линкйнык подпрострлнствл векторов, то она, согласно теореме 2.6, линейно независима, Другими словами, столбцы матрицы А линейно независимы, а матрица А является невырожденной (см. теорему о базисном миноре [ПЦ).
Таким образом, если квадратная СЛАУ Ах = б имеет решение при любой правой части, то матрица А системы невырожде. на, а решение системы при любой правой части единственно. 2.7. Прямое дополнение Определение 2.6. Если линейные надпространства Н1 и Нг в линейном пространстве я". образуют прямут сумму, причем Н1 ЮНг =.С, то говорят, что Н1 является прямым дополнением для Нг. Если линейное подпространство Нг является прямым дополнением для линейного подпространства Нм то верно и обратное: Н1 является прямым дополнением для Нг.
Оказывается, что любое линейное надпространство имеет прямое дополнение. Теорема 2.7. Любое линейное подпространство Я в линейном пространстве С имеет прямое дополнение. < Если линейное надпространство Н совпадает со всем линейным пространством С, то в качестве его прямого дополнения следует взять другое несобственное надпространство: Я1 = (О). Точно так же прямым дополнением к нулевому подпространству (0) является само линейное пространство с,.
Опуская эти два тривиальных случая, полагаем, что линейное надпространство Я является собственным. Выберем в Н какой-либо базис е = (е1 ... еь) и дополним его (см. замечание 2А) системой векторов у = (у1 ... Д,„) до базиса (е у) в с.. Положим Н1 = врапЩ. Тогда Я+Н1 = С, так как сумма Н+ Я1 содержит все векторы системы (е,~), 75 Вопросы и задачи являющейся базисом в Е, а значит, и любой другой вектор линейного пространства. Остается доказать, что сумма Я+ Я1 является прямой.
Выберем произвольный вектор у Е Я П Яь Тогда, с одной стороны, у = а1е1+... + аяеь, так как у принадлежит линейному подпространству Я, а с другой стороны, у = Д,11 +... + + ДаД,а, так как у принадлежит линейному подпространству Я1. Эти две линейные комбинации есть два разложения вектора в базисе (е у) линейного пространства а. и, следовательно, должны совпадать: а1е1+... +аьеа = АУ1+... +Р,аЯ„, а1е1 +... + аьел — р1 У~ — ...
— Д у,„= О. Система векторов (е у) линейно независима, так как является базисом. Поэтому из последнего равенства векторов следует, что в нем все коэффициенты нулевые. Значит, еенпзор у является нулееыза, а так как он выбирался произвольно, то 'НОЯ1 = 10). Поэтому линейные подпространства Я и 'Н1 образуют прямую сумму (см. теорему 2.3). ~ Вопросы и задачи 2.1. Может ли линейное подпространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; г) 100 элементов? 2.2. Может ли линейное подпространство конечномерного линейного пространства быть бесконечномерным? 2.3. Докажите, что бесконечномерное линейное пространство содержит собственные бесконечномерные линейные подпространства.
2.4. По аналогии с суммой двух линейных подпространств определите сумму конечного числа линейных подпространств. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 76 2.5. Пусть для линейнмх подпространств Я1 и Яз неь которого линейного пространства С выполняется равенство о1ш(Я1+ Я2) = с11шЯ1+ йшЯз. Что можно утверждать о линейном пространстве: а) Я1 й Яз, б) Я1+ Я2? 2.6. Найдите максимальное число линейно независимых векторов в системе векторов, заданных своими координатами О 1 2 О 4 3 1 ' 1 ' О 1 4 5 -1 1 2 О 2 3 — 1 4 в некотором базисе линейного пространства Ю размерности 4. 2.7. Докажите, что линейным подпространством является множество всех векторов и-мерного линейного арифметического пространства, удовлетворяющих условию: а) первые две координаты равны между собой; б) переел координата равна нулю; в) координаты удовлетворяют уравнению х1+2х2+2~хе+ +...
+ 2" 1ха = О. Найдите базис и размерность этого линейного подпространства. 2.8. Найдите размерность и базис линейной оболочки следующих векторов из К~: а1 — — (1, -1, 1, 1), аз = (2, 3, 1, 2), аз = (4, 1, 3, 4). 2.9. В линейном пространстве .С, йшС = 4, две системы векторов е = (е1 ез ез) и у = (~1 у2 уз) заданы своими координатами в некотором базисе: 2 -3 5 1 О 2 — 1 2 ег = е1 = ез= Какова размерность пересечения линейных подпространств арап(е) и врапЩ? 2.10. Найдите размерность и базис линейного подпространства в Й~, состоящего из решений системы Зх~+4хэ — 2юз+ Зх4 = О, 2х~ + Зхэ — Зхэ + 4ял = О, ?х~ + 9хг — Зхэ + бх4 = О, Зх~+ бхэ — ?ха+ 9х4 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
