IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Записываем систему вида (3.13), используя координаты векторов а;: хз+ 2хз — хз =О, 2хз — хз+ Зхе = О, 11хз+10хз — 8хз+ 9хл =О, 14хз + 12хз — 10хз + 12х4 = О, и находим ее фундаментальную систему решений. Это можно сделать, например, с помощью приведения матрицы системы к ступенчатому виду методом элементарных преобразований [111]. В качестве базисных переменных выберем хз и хз. Тогда фундаментальная система решений будет содержать два решения, например: 2 — 6 (г) 4 ' 0 0 4 хО) Столбцы найденной фундаментальной системы решений представляют собой координаты двух векторов ~з, Уз иэ Е 1 2 — 1 0 2 0 — 1 3 11 14 10 12 — 8 ' — 10 9 12 106 3.
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА образующих базис линейного надпространства Я~-, но этот базис не является ортонормированным. Чтобы получить ортонормироввнный базис Я~., достаточно применить процесс ортогоналиэации Грэма — Шмидта. Сделав это, находим векторы д1 = уп и ортонормированный базис в линейном цространстве Жг' 9 дг 1 6 Ьг = — = — е !)дг!! 6Л З 7 Дополнение 3.1. Нормы матриц В линейном пространстве М„(й) квадратных матриц порядка и норму можно задавать различными способами.
Например, зто линейное пространство можно трактовать как пг-мерное линейное аридтметпическое пространстпво со стандартпным скалярным умножением, которому соответствует евклидова норма. Дяя матрицы А = (ату) Е М„(К) эта норма имеет вид ))АЦ= ~ ~ аг т=т 4=т Ее называют евклидовой нормой или 1г-нормой. Евклидова норма матрицы никак не связана с расположением элементов матрицы по строкам и столбцам.
Это обычно нежелательно, и поэтому она используется редко. Ббльший интерес представляют нормы матриц, использующие специфику — 6 дг=Уг- ', Л=е а,э з у))' О 4 2 дт 1 1 Ь1= — = — е )~дт)) ~/Я 4 0 2 9 1 21 4 0 -9 12 6 = — е 21 3 7 107 д.З.ь нормы матриц записи матриц. Такая норма может быть связана с некоторой нормой, заданной для столбцов матрицы.
Важно также и то, как норма связана с операцией умножения матриц. В этом разделе вектпоры линейных ари4метпических простпранстпв удобно записывать как матрицы-столбцы, отождествляя векторы со столбцами их координат в стандартном базисе (см. замечание 1.4). Определение 3.9. Пусть в линейном арифметическом пространстве К" задана норма !! !!,. Норму !! !! в линейном пространстве М„(К) называют согласованной с нормой !! !!„ если для любой матрицы А Е М„(К) и любого столбца х Е К" выполняется соотношение !!Ах!! < !!А!! !!х!!,. (3.14) Каждая ли норма в К" имеет согласованную с ней норму в М„(К)7 ' Ответ на этот вопрос утвердительный.
Приведем пример такой нормы. Пусть в К" задана норма !! !!,. На линейном пространстве матриц М„(К) рассмотрим функцию !!Ах!!, !!А!!т = впр (3.15) Из формулы не ясно, всегда ли определена указанная функция, т.е. всегда ли тпочнаа верхнлл грань имеет конечное значение. Отметим, что, согласно аксиомам нормы и свойствам матричного умножения, вир ' = вир~ А — = вир !!Ах!!,. !!Ах!!, 1 х хФО !!х!! аФО 1 !!х!! 11з!1,=1 Следовательно, значение !!А!!т равно точной верхней грани функции !!Ах!!„на множестве (х Е К": !!х!!, = 1).
Можно пока зать, что это множестпво эамкнртпое и ограниченное (в частных случаях это показывает пример 3.8), а функция !!Ах!!, 108 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАПСТВА непрерывна на нем. На замкнутом ограниченном множестве непрерывная функция ограничена и достигает точной верхней грани [Ч!.
Значит, величина !!А!1, конечна, причем существует такой вектор у Е К" единичной нормы, что !!А!!; = !!Ау!1.. Итак, соотношение (3.15) корректно задает функцию на линейном пространстве М„(К). Покажем, что зта функция является нормой, т.е. верны три аксиомы нормы. Выполнение аксиомы а) очевидно. Проверим аксиому б): 11ЛА!1, = вар ' = вар ~!Л! ') = !Л1 1!А11,. !!ЛАх11, / !!Ах!1,1 ,. 1!х11,0~ 11х11. ) Аксиома в) нормы также верна: !1(А+ В)х!1, !!Ах+ Вх11, !!А "11' *'3 11*11.
*'3 !!Ах!!,+1!Вх11, (!!Ах!1, 11Вх!1,~ :3~ !!и!1. ' 11х11. )- !!Ах!1, 11Вх!1, <вар '+вар ' =!!А!!,+1!В!!,. Норму, определенную соотношением (3.15), называют нндуниров анной (или подчиненной, оператпорной) и используют для нее то же обозначение, что и для порождающей ее исходной нормы в К": 11А!1, ш !!А!!; = вар !!Ах!!, *Фо 11х11. Индуцированная норма всегда согласована с исходной нормой в К", так как для любой матрицы А и любого х ~ 0 — ' < вар * = 1!А!1„ 1!Ах!1, 1!Ах!1, 11х!1. -.Фо 11х11. 109 Д.З.1.
Нормы натрия что эквивалентно (3.14) при !)А9 = ()Ай,. Индуцированная норма является наименьшей из всех норм, согласованных с данной нормой в Ж". Действительно, пусть задана норма ~Н! в линейном пространстве матриц М„(Ж), согласованная с нормой !) '9, в Ж". Выберем произвольную матрицу А, а в качестве вектора х выберем тот, на котором функция 9Ах9, достигает наибольшего значения на множестве (~)х9 = Ц всех векторов единичной нормы. Тогда ))А)), = ))Ах~~, < ~~А))))х~~, = ))А~~, так как норма Я согласована с нормой ~Я),. Говорят, что норма ~)'9 в линейном пространстве матриц М„(В) является матпричной,или кольцевой, если !)АВ9 < 9А9 '9В)!. Первый термин не совсем удачен, так как более естественно назвать матричной любую норму, заданную в линейном пространстве матриц. Отметим, что любая индуцированная норма является кольцевой, так как )~АВж~~, '9А9, '9Вх9, (!ха~, '9х9, для любого ненулевого столбца х в силу согласованности инду- цированной нормы.
Поэтому ))АВ)~, = еир * < ))А)), ~~В)(,. 9АВх9„ *Фо ~Щ Задавая различные нормы в Ж", мы получаем индуцированные нормы в линейном пространстве матриц М„(Ж). Выберем в Ж" евклидову норму ~! 4: по 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА где х = (х1, ..., х„). Индуцированную ею норму в линейном пространстве матриц М„(И) называют сиентира.аьной нормой.
Это название вызвано тем, что спектральная норма ))А4 матрицы А равна 1ГЛ, где Л вЂ” максимальное собсшвенное значение маптрииьт А А. Задав в И" 11-норму ~Щ = ~хт ~+... + ~х„~, в качестве индуцированной получим следующую норму: ))А)(, = тпах (~атт)+... + )а„йЦ, 1<1<в т.е. ноРмой матРицы А = (счу) Е Мтт(И) ЯвлЯетсЯ максимальнаЯ из 11-норм столбцов этой матрицы.
Поэтому ее называют мансимальной стаолбцееой или онптаэдричесной. В качестве нормы в И" выберем 1 -норму ))х!) = шахЦх1), ..., ~х„О. Тогда индуцированной нормой будет функция ))А~~, = шах Цатт)+... + )а;„и, 1(1(н т.е. нормой матрицы А = (а;-) Е М„(И) будет максимальная из 11-норм строк этой матрицы. Поэтому ее называют мансимальной стпрочной или нубичесной. Особо стоит евклидова норма матриц ~~А4, которая не является индуцированной. Действительно, непосредственно из определения (3.15) индуцированной нормы следует, что, какова бы ни была норма в И", индуцированная норма единичной матарииы всегда равна единице. Однако нетрудно убедиться, что евклидова норма единищой матрицы Е Е М„(И) равна ~/й ) 1 (при и ) 1). Евклидова норма матриц является кольцевой. Действительно, пусть даны квадратные матрицы А = (ай) и В = (Ь ь) порядка н.
Их произведением будет матрица С = (сть) с элементами Д.з.д. Нормы матриц ст =аддЬдь+адгЬзь+...+аварец. Так как, согласно неравенству Коши, еф, ( (а;д +... + а~„) (Ьдь +... + Ьь„„), заключаем, что ц ц ~д+" +си ~ (од+" +о' ),'~,~~~,Ь1ь = (од+" + ц".) !!В!!~ д=д ь=д и !!АВ!!р — — ~~д ~~д сзл < (~) ~~1 а;ь) !!В!!з -— !!А!!~ !!В!!г. д=д ь=д В линейном пространстве матриц М„(К), интерпретируя его как линейное арифметическое пространство К", можно задать 1д-норму !!А!!д — — ~ ~~д !ад1! д=д д=д и 1, -норму !!А!! = щах(!аб!), где А = (а11) Е М (К). В приложениях теории матриц первая норма заметного интереса не представляет. Вторая норма оценивает величину матрицы по максимальному нз абсолютных значений ее злементов и необходима при изучении свойств различных методов вычислений. Можно показать, что 1, -норма в М„(К) не является кольцевой, а потому она не согласована ни с какой нормой в К".
Этот недостаток можно нейтрализовать, модифицирован зту норму. Новая норма !!А!! = дд щах(!а;1!), отличающаяся от старой корректирующим множителем дд, равным порядку матрицы, уже является кольцевой и согласована с тремя основными нормами в К": евклидовой, 1д-нормой и 1, -нормой. 112 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Дополнение 3.2.Метод наименьших квадратов Постановка задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
