IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При этом само отображение А называют изоморфизмом линейных простпранстпв С и .С'. Как следует иэ данного определения, изоморфнэм представляет собой линейныи" оператор нулевого дефекта и максимального ранга. Примером изоморфизма линейного пространства в себя является тпождестпвенный оператпор. Теорема 4.2. Два конечномерных линейных пространства иэоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерностпь. м Пусть' линейные пространства С и С' имеют одинаковую размерность и.
Мы докажем иэоморфность этих линейных пространств, построив отображение А: С -+ С', являющееся изоморфиэмом. Для этого выберем произвольные базисы Ь = = (Ь1 ... Ь„) в линейном пространстве С и е = (е1 ... е„) в линейном пространстве С'. Любой вентпор х Е С может быть разложен в базисе Ь, т.е. представлен в виде х = Ьх, где х— столбец координата этого вектпора в базисе Ь. Вектору х Е С поставим в соответствие вектор ех Е .С', который в базисе е линейного пространства С' имеет те же координаты, что и вектор х в базисе Ь.
Заданное таким образом отображение А: С -+,С' является линейным оператором. Действительно, если взять произвольные векторы х, у е С со столбцами координат х, у, то А(х+ р) = е(х+ у) = ех+ еу = Ах+ Ау, так как при сложении векторов их координаты складываются.
Точно так же при умножении вектора х со столбцом координат х на произвольное число Л получаем А(Лх) = е(Лх) = Л(ех) = Л(Ах), 135 4.2. Иэоморфнэм лннейных пространств где опять-таки использованы правила умножения вектора на число в координатах. Линейный оператор А является иньективным, так как равенство Ах = Ау означает, что ех = еу или х = у в силу единственности разложения вектора по базису. Поэтому х = у. Линейный оператор А является сюрьективным, так как любой вектор у Е а,с с координатами у в базисе е является образом вектора х = Ьу с теми же координатами у, что и у, но относительно „своего" базиса Ь.
Линейное, инъективное и сюрьективное отображение, по определению 4.3, и есть изоморфизм. Следовательно, линейные пространства Е и С изоморфны, при этом иэоморфизмом является построенный нами линейный оператор А. Предположим теперь, что линейные пространства Е и Е' изоморфны и пусть отображение А:.С -+ С' является соответствующим изоморфиэмом.
В п-мерном линейном пространстве Е выберем некоторый базис Ь = (Ь1 ... Ь„) и докажем, что система векторов е = (А61 ... АЬ„), состоящая иэ образов базисных векторов, является базисом в С'. Во-первых, система векторов е линейно независима. Возьмем произвольную линейную комбинацию этой системы векторов с некоторыми коэффициентами хм ..., х„и приравняем нулевому вектпору О' в .С: х1АЬ1 +... + х„АЬ„= О'. Левая часть равенства является образом некоторого вектора х: х1Ае1+... +х„Ае = А(х1Ь1+...
+х„Ь„) = Ах, х = х1Ь1 +... + х„Ь„, координатами которого в выбранном базисе Ь являются коэффициенты линейной комбинации. Так как отображение А инъективно, а нулевой вектор из С' является образом нулевого вектора иэ Е, заключаем, что х = О, поскольку Ах = О'. Итак, х1Ь1+... +х„Ь„= О, В. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 136 а это возможно, лишь если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Во-вторых, любой вектор у б Е' можно представить в виде линейной комбинации системы векторов е.
В самом деле, так как отображение А сюрьективно, вектор у является образом некоторого вектора х, имеющего в базисе Ь столбец координат х. Тогда у = Ах = А(х1Ь1 +... + х„Ь„) = х1(АЬ! ) +... + х„(АЬ„), и мы получаем разложение у по системе векторов е, коэффициентами в котором являются координаты вектора х в базисе Ь. Система векторов е линейно независима, и в ней можно разложить любой вектор линейного пространства С. Значит, эта система является базисом в Е'. При этом количество векторов в е совпадает с количеством векторов в базисе Ь линейного пространства л"„ следовательно, размерности пространств ь" и Е' совпадают. ~ Следствие 4.1.
Все п-мерные линейные пространства изоморфны линейному арифмегпическому простпрапстпву К". Построенный в доказательстве теоремы 4.2 вэоморфизм связан с выбором базисов в линейных пространствах ь" и С. Если в той или иной ситуации мы можем считать, что базис в линейном пространстве фиксирован, то вместо абстрактного и-мерного линейного пространства можно испольэовать „стандартное" линейное арифметическое пространство К". Все рассуждения и выкладки в линейном арифметическом пространстве носят более конкретный и интуитивно понятный характер.
Но считать базис в линейном пространстве фиксированным не всегда приемлемо, поэтому нельзя считать идентичными произвольные и-мерные линейные пространства. Обычно отождествляют линейные пространства, между которыми существует „естественный" изоморфизм, не связанный с выбором того или иного базиса. Например, как линейные пространства тождественны линейное пространство матриц типа тхп 137 4.3. Метрики лилейного олератора и линейное арифметическое пространство К ", так как между ними возникает изоморфизм, если установить соответствие между элементами матрицы типа тхп и компонентами тпмерного арифметического вектора.
Точно так же можно не различать линейное пространство строк длины и н линейное пространство столбцов высоты и. Указанное отождествление линейных пространств позволяет записывать векторы линейного арифметического пространства в зависимости от ситуации и как матрицы-строки, и как матрицы-столбцы.
Напомним, что элементами и-мерного линейного арифметического пространства являются упорядоченные совокупности из и чисел. Порядок чисел в каждой такой совокупности можно задавать различными способами, и запись ее в строку или столбец — лишь две возможности из бесчисленного множества способов.
Пример 4.6. В линейном пространстве Кз~х] многочленов переменного х степени не выше трех элементы 1, х, х~, хэ образуют базис. Этому базису соответствует изоморфизм между Кэ~х) и й~, при котором многочлену аз + а1х+ азх + +аэх сопоставляется арифметический вектор (ао, ам аз, аз). 4.3. Матрица линейного оператора Пример 4.3 более глубок, чем зто может показаться с первого взгляда. Фактически любой линейный оператор можно интерпретировать как линейный оператор, описанный в этом примере, т.е.
действие линейного оператора сводится к умножению столбца координат вектора на матрицу. Поясним зто подробнее. Пусть задан линейный оператор А: С вЂ > Е, т.е, линейное преобразование и-тлерноео линейного простпранства С в себя. Выберем базис Ь = (Ь1 ... Ь„) в Е. Действие линейного оператора полностью определено, если известны образы оентпо- 4.
ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРА ТОРЫ 138 ров базиса. Действительно, если вектор х имеет координаты т х=(х1 ... х„),то Ах = А(хз Ь1 +... + х„Ь„) = х1(АЬ1) +... + х„(АЬ„), т.е., зная векторы АЬ;, мы можем найти образ любого вектора х линейного пространства Ю. Рассмотрим действие линейного оператора А на векторы базиса Ь. Обозначим столбцы координат векторов АЬ; в базисе т Ь через а,, а; = (ан ... авл), ь' = 1, п.
Тогда АЬ; = Ьа;, 1 = 1, п. Определение 4.4. Матрицу А = (а1 ... а„), составленную иэ координатных столбцов векторов АЬы ..., АЬ„в базисе Ь = (Ь1 ... Ь„) называют матрицей линейного оператора А в базисе Ь. Матрица линейного оператора А: л. -+ Ю является квадратной, ее порядок совпадает с размерностью линейного пространства Е. Рассмотрим несколько примеров линейных операторов и их матриц.
Пример 4.7. Матрицей нулевого оператора 1Э: л, -+ А". независимо от выбора базиса является нулевая матрица соответствующего типа. Действительно, образом любого вектора в случае нулевого оператора является нулевой вектор. Поэтому матрица нулевого оператора в любом базисе должна состоять иэ нулевых столбцов. Пример 4.8. Матрица тохсдественного оператора 1 также не зависит от выбора базиса и в любом базисе является единичной. Действительно, взяв произвольный базис 139 4.3.
Матрица линейного оператора Ь= (Ь1 ... Ь„), заключаем, что при е'=1, п О 1 О ХЬ; =Ь; =Ь где единица в последнем столбце стоит на 1-м месте. Видно, что столбец координат вектора ХЬ, является е'-м столбцом единичной матрицы. м Выберем произвольный вектор х = х1Ь1 + ... + х„Ь„. Его образом будет вектор р = Ах = А(х1Ь1 +... + х„Ь„) = х1(АЬ1) +... + х„(АЬи) = =х1(аиЬ1+... +оа1Ьп)+...+хо(агоЬ1+ ... +а „Ь„) = = (аых1+... +ар„х„)Ь, +...
+ (а„1х1+... +а„„хп)Ьа. Столбец координат вектора Ах в базисе Ь имеет вид амх1+... + агохп ам ... аг„х1 = Ах. ап1х1+... + а„„х„ ап1 ° ° поп Запись у = Ах из формулировки теоремы 4.3 удобно называть матричной формой записи действия линейного оператора А в базисе Ь. Теорема 4.3. Пусть А: Е -э Š— линейный оператор. Тогда столбец у координат вектора у = Ах в данном базисе Ь линейного пространства Е равен произведению Ах матрицы А оператора А в базисе Ь на столбец х координат вектора х в том же базисе: у = Ах. 4.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 140 Замечание 4.1. Выкладки, приведенные в доказательстве теоремы, можно упростить, если использовать матричные обозначения и правила выполнения матричных операций. Полагая, что строка образов базисных векторов (АЬ1 ... АЬ„) получается „умножением" строки векторов Ь слева на оператор А: (АЬ| ... АЬ„) =АЬ, получаем АЬ= (АЬ| ...
АЬ„) = (Ьат ... Ьа„) =Ь(ат ... а„) =ЬА, так как Ьа; — матричная запись разложения вентаора АЬ; по базису Ь, т = 1, и. Здесь мы использовали технику операций с блочными матприиоми. Взяв произвольный вектор х = Ьх, получаем Ах = А(Ьх) = (АЬ)х = (ЬА)х = Ь(Ах). Это означает, что столбец Ах является столбцом координат вектора Ах. Пример 4.9. Рассмотрим отображение А: Рз -+ Уз, которое каждый вектор х преобразует в его векторное произведение Ах = ххй на орта 4 оси Ох. В силу свойств векторного произведения это отображение — линейный оператор. Найдем матрицу А этого линейного оператора в (правом) ортонормированном базисе т,,у, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
