IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для этого вычислим образ этого вектора под действием линейного оператора А: А(сех+ ~3у) = А(сех) + А(33у) = аАх+ )3Ау = = се(Лх) +)3(Лу) = Л(сех) + Лфу) = Л(сех+ 33у). 162 Б. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Таким образом, для вектора х = стх+ ~3у выполняется соотношение Ах = Ах. Если х — нулевой вектор, то он принадлежит Е(А, А). Если же он ненулевой, то, согласно доказанному соотношению, он является собственным с собственным значением А и опять-таки принадлежит множеству 2(А,А). ° Линейное подпространство Е(А,Л) иногда называют собстпвеннььм подпростпранстпвом линейного оператпора'. Оно является частным случаем инеариантпного подпростпранстпва линейного оператора А — такого линейного подпространства Я, что для любого вектора х Е Я вектор Ах также принадлежит тт. Инвариантным подпространством линейного оператора является также линейная оболочка любой системы его собственных векторов.
Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора. Линейный оператор А: с, -+ е, можно рассматривать как линейное отпображение любого своего инвариантного пространства Я в себя. Такое отображение, по сути, есть результат сужения отпображения А на линейное подпространство Я, и его называют ограничением линейного оператпора на инвариантное надпространство Я. 5.4.
Вычисление собственных значений и собственных векторов Харантперистпичесное уравнение линейного оператпора А: с. -т ь",, действующего в и-мерном линейном простпранстпве с"., — это алгебраическое уравнение и-й степени с действительными коэффициентами. Среди его корней могут быть комплексные числа, но эти корни не относят к собстпвеннмм значемиям линейного оператора, так как, согласно определению, 'Не следует путать два термина: собстмвеммое модмростмрвмсмтво и собсмввеммое мостмеостмеомстмво вммеамого омеевтмоее. 5.4. Вычисвевие собственных значений и собствеввых векторов 163 собственное значение линейного оператора — действительное число. Чтобы комплексные корни характеристического уравнения можно было рассматривать как собственные значения линейного оператора, в линейном пространстве должно быть определено умножение вектора на любые комплексные числа.
Как следует из доказательства теоремы 5.3, чтобы вычислить собственные значения линейного оператора А и найти его собственные еентпоры, нужно выполнить следующие операции: — выбрать в линейном пространстве базис и сопоставить А матрицу А этого линейного оператора в выбранном базисе; — составить характеристическое уравнение с)е$(А — ЛЕ) = О и найти все его действительные корни Ль, которые и будут собственными значениями линейного оператора; — для каждого собственного значения Ль найти фундаментальную систему решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (А — ЛьЕ)х = О.
Столбцы фундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстпее 2(А,Ль) линейного оператора А. Любой собственный вектор с собственным значением Ль принадлежит подпространству 2(А, Ль), и, следовательно, найденный базис в этом подпространстве позволяет представить любой собственный вектор с собственным значением Ль. Пример 5.4. Найдем собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе матрицу А= 4 О 1 В соответствии с описанной процедурой необходимо выполнить три действия.
Первое действие можно опустить, так как оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе. Выполняем дальнейшие действия. Ю 164 з. сОБСтВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗнА ЧЕНИЯ 2) Находим собственные значения, решая характеристическое уравнение матрицы: — Л 1 2 4 — Л 1 3 -1 1 — Л = (3 — Л)(Л +2Л вЂ” 3) =О, (5.5) За) Для Л = Л1 = -3 система (5.5) имеет вид 4 3 1 хз = О или < Зхз+ хг+2хз=О, 4х1+Зхз+ хз = О, Зх1 — хг+4хз =О. Ранг матрицы этой системы равен 2: Ня 4 3 1 =2. Поэтому размерность линейного пространства решений систе- мы равна 3 — 2 = 1. Фундаментальная система решений содер- жит одно решение, например хОО = — 1 откуда Лд = — 3, Лз = 1, Лз = 3.
3) Находим столбцы координат собственных векторов, решая для каждого иэ трех собственных значений однородную СЛАУ бис Вычисление собственных эначеиий и собственных векторов 165 Все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением Лг = — 3 в координатной форме имеет вид ахО~ = а — 1 где а — произвольное ненулевое действительное число. Зб) При Л = Лг = 1 система (5.5) имеет вид 4 -1 1 хг = 0 Кб 4 — 1 1 = 2.
Как и в предыдущем скучая, размерность линейного пространства решений равна 2 — 1 = 1 и фундаментальная система решений содержит одно решение. Выберем следующее: х1г1 = 3 Все множество собственных векторов с собственным значением Л = — 1 в координатной форме имеет вид рх1 ~ =,9 3 где 13 — произвольное ненулевое действительное число. Зв) Для Л = Лз = 3 аналогично предыдущим двум случаям находим столбец координат одного из собственных векторов, например 166 5.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ который порождает собственное надпространство линейного оператора А, отвечающее собственному значению Л = 3. Пример 5.5. Найдем собственные значения линейного оператора А, действующего в и-мерном линейном простпранстпве, матприиа А которого в некотором базисе является верхней треугольной порядка кс ап аш ... атв О азз .. аз О О ... а„„ причем все ее диагональные элементы ан попарно различны, т.е. ан ф ауу при т' ~ у. Составляем характеристическое уравнение матрицы А: пес(А — ЛЕ) = (ам — Л)(азз — Л)...
(а„„вЂ” Л) = О (определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов). Находим все действительные корни этого уравнения: Ль = а~„й = 1, и. Как видим, линейный оператор А имеет п попарно различных собственных значений. Отметим, что пересечение любых двух собстпвенных подпростпранстпв линейного оператпора содержит лишь нулевой вентпор, так как собственный вектор не может отвечать двум различным собственным значениям.
Поэтому собственные надпространства линейного оператора образуют прямую сумму, а размерностпь прямой суммы линейных подпространств, согласно следствию из теоремы 2.5, равна сумме нх размерностей. Из этих соображений следует, что каждое нз и собственных подпространств рассматриваемого линейного оператора является одномерным,так как их размерность не может быть меньше, 3.4. Вычисление собственных значений и собственнык векторов 167 но если бы одно нз подпространств имело размерность больше единицы, то суммарная их размерность превышала бы размерность самого линейного пространства.
Итак, все собственные подпространства линейного оператора в нашем случае одномерны. Рассмотрим то из них, которое отвечает собственному значению Л„= а,„, где 1 < г < и. Соответствующий собственный вектор имеет столбец координат, который является ненулевым решением однородной СЛАУ (А — астЕ)х = О. (5.6) Достаточно очевидно, что ранг матрицы системы (5.6) равен и — 1, а базисный минор для этой матрицы получается вычеркиванием г-й строки и г-го столбца. Наиболее просто решение системы (5.6) выглядит для г = 1.
В этом случае собственным является вектор хз со столбцом ко- т ординат (1 0 ... 0) . При г = 2 все координаты собственного вектора, начиная с третьей, будут равны нулю, так как они удовлетворяют системе озз — агг аз4 " аз хз 0 а44 — агг ". азн Х4 0 ... а н — агг х„ получающейся выбрасыванием первых двух уравнений. Второе уравнение вытекает нз всех последующих и может быть опущено, а первое уравнение определяет связь между первыми двумя координатами. Мы получаем, что собственному значению агг т отвечает вектор хг со столбцом координат (-аш ам 0 ... 0) . Собственному значению азз отвечает вектор хз со столбцом т координат (хгз хгз х33 0 ...
0), у которого лишь первые трн координаты отличны от нуля. Эти три координаты удовлетво- 168 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ряют однородной системе из двух уравнений < аих1з + а1гхгз + а1зхзз = О аггхгз+аззхзз = О. Эти рассуждения можно продолжить. Пример 5.6. Преобразование поворота в $~з на заданный острый угол вокруг некоторой оси — зто линейный оператор. Его собственными векторами являются векторы, коллинеарные оси поворота.
Например, если поворот выполняется вокруг оси Ох, то матрица оператора в базисе з, г, и будет иметь вид сову -з1пу 0 зшу сову 0 0 0 1 а его собственными векторами будут векторы со столбцами координат вида Л(0 0 1), Л фО. 5.5. Свойства собственных векторов Теорема 5.5. Пусть собственные значения Л|, ..., Л„ линейного оператора А попарно различны.
Тогда система соответствующих им собственных векторов е1, ..., е„линейно независима. ~ Доказательство опирается на метод математической индукции, проводимый по количеству т векторов в системе. При г = 1 утверждение теоремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор, согласно определению 5.3, является ненулевым. Пусть утверждение верно при г = т, т.е. для произвольной системы из т собственных векторов е1, ..., ет.
Добавим к системе векторов еще один собственный вектор е„,+1, отвечающий собственному значению Л„,+1, и докажем, что расширенная 169 о.о. Свойства сооствеваых векторов таким способом система векторов останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору. (5.7) а|е1+ "+атет+ат+1ет+1 = О. К равенству (5.7) применим линейный оператор А и в резуль- тате получим еще одно векторное равенство а1Ае1+... + а, Ает + ат+1Ает+1 = О. Учтем, что векторы е1, ..., е +1 являются собственными: а1Л1е1+ +атЛтет+ат+1Лт+1ет+1 = О (5.8) Умножив равенство (5.7) на коэффициент Лт+1 и вычтя его из равенства (5.8), получим линейную комбинацию векторов е1, ..., ет, равную нулевому вектору: а1(Л1 — Лт+1)е1 +...
+ а (Л„, — Лт+1)ет = О. Вспоминал, что система векторов е1, ..., е, по предположению, линейно независима, делаем вывод, что у полученной ,линейной комбинации все коэффициенты равны нулю: ал(Ль — Лт+1) =О, 9=1,т. (5.9) Поскольку все собственные значения Л; попарно различны, то иэ равенств (5.9) следует, что а1 = аэ = ... = а = О. Значит соотношение (5.7) можно записать в виде ат+1е +1 —— О, а так как вектор е +1 ненулевой (как собственный вектор), то ат+1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
