IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В итоге получаем, что равенство (5.7) выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты а;, 1 = 1, т+1, равны нулю. Тем самым мы доказали, что система векторов ем ..., е,„, е +1 линейно независима. ~ 170 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Теорема 5.6. Матрица линейного оператора А, действующего в линейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными для оператора А. ~ Пусть А — матрица линейного оператора А в базисе Ь = = (Ь1 ... Ь„). Согласно определению 4.4, у-м столбцом матрицы А является столбец координат вектора АЬ1.
Если матрица А является диагональной, то произвольно взятый ее у-й столбец имеет вид (О ... 0 пу 0 ... 0) (единственный ненулевой элемент может стоять на у-м месте). Для вектора АЬ получаем представление т АЬ =Ь(0 ... 0 ру 0 ... 0) =,иуЬ, которое как раз и означает, что вектор Ьу является собственным с собственным значением р . Значит, все базисные векторы являются собственными, а все диагональные элементы матрицы А являются собственными значениями. Верно и обратное. Если каждый вектор Ь является собственным для линейного оператора А и ему отвечает собственное значение Л, то АЬ =Л Ьй =Ь(0 ... 0 Лу 0 ... 0), т.е.
в матрице оператора А в этом базисе равны нулю все элементы, кроме диагональных, а диагональный элемент в у-м столбце равен Л . ~ Следствие 5.1. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в п-мерном линейном пространстве, имеет и попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора является диагональной. ~ Каждый действительный корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора. 171 б.б. Свойства собственных векторов Каждому из таких корней можно сопоставить хотя бы по одному собственному вектору.
Система выбранных таким образом векторов, согласно теореме 5.5, является линейно независимой, а так как количество и векторов в ней равно раэасерносщи линейного пространства, она является базисом. Этот базис состоит из собственных векторов. Согласно теореме 5.6, матрица линейного оператора в этом базисе имеет диагональный вид. ~ Следствие 5.2. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка п имеет и попарно различных действительных корней, то зта наварина подобна некоторой диагональной.
~ Пусть матрица А порядка н имеет п различных действительных корней. Выберем произвольное и-мерное линейное пространство к,, зафиксируем в нем некоторый базис Ь = = (Ь| ... Ь„) и рассмотрим линейный оператор А, матрицей которого в базисе Ь является матрица А. По теореме 5.6 существует базис, в котором матрица А' этого оператора диагональна. Согласно теореме 4.6, матрицы А и А' подобны.
Отметим, что на диагонали матрицы А' стоят все попарно различные собственные значения матрицы А.~в Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то такой линейный оператор может иметь диагональную матрицу в некотором базисе, но так бывает не всегда. Пример 5.7. В двумерном линейном пространстве (например, в К~) рассмотрим линейные операторы, матрицы которых в некотором базисе имеют внд О 2 ' О 2 Характеристические уравнения этих операторов совпадают и имеют вид (А — 2)т = О. Поэтому оба оператора имеют единственное собственное значение А = 2 нратностаи 2.
Матрица 172 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ первого линейного оператора уже имеет диагональный вид, т.е. исходный базис состоит из собственных векторов этого оператора. Можно показать, что любой ненулевой вектор для этого оператора является собственным и потому для него любой базис есть базис из собственных векторов. У второго линейного оператора все собственные векторы отвечают собственному значению 2, но собственное подпрострвнство линейного оператора для этого собственного значения одномерно.
Следовательно, найти два линейно независимых собственных вектора для этого линейного оператора невозможно и базиса иэ собственных векторов не существует. Прн изучении заданного линейного оператора появляется мысль выбрать такой базис, в котором его матрица выглядит наиболее просто. Из вышеизложенного следует, что в определенных ситуациях линейный оператор в некотором базисе имеет диагональную матрицу.
Чтобы это было так, оператор должен иметь базис нэ собственных векторов. Изменение базиса вызывает замену матрицы оператора подобной ей. Замену матрицы А диагональной матрицей А', подобной А,называют приведением матрацы А н диагональному вцдп. Задача приведения матрицы к диагональному виду может рассматриваться самостоятельно, вне зависимости от изучения конкретного линейного оператора. Она состоит в подборе для данной матрицы А такой невырожденной матрицы Р,что матрица А' = Р 1АР является диагональной.
Пример 5.8. Выясним, можно ли привести к диагональному виду матрицу '7 — 12 6 А = 10 -19 10 12 -24 13 Если это возможно, найдем соответствующую диагональную матрицу и матрицу Р преобразования подобия. 173 5.5. Свойстве сооствеввык векторов Найдем собственные значения данной матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид 7 — Л вЂ” 12 6 бей(А — ЛЕ) = 10 -19 — Л 10 12 -24 13-Л Раскрывая определитель и решая характеристическое уравнение, находим его корни: Л1 = — 1, Ло = Лз = 1. Видим, что имеются два собственных значения, причем одно из них кратности 2. Матрицу можно привести к диагональному виду, если сумма размерностей всех собственных подпространств (в данном случае матрицы, см.
замечание 5.1) равна размерности линейного пространства, в нашем случае — трем. Отметим без доказательства, что размерность собственного подпространства линейного оператора (матрицы) не превышает кратности соответствующего собственного значения. Проверим зто на собственном подпространстве, отвечающем собственному значению Лм для чего вычислим ранг матрицы А — Л1Е: 8 -12 6 10 -18 10 12 -24 14 К6(А- Л1Е) = К6 Значит, размерность первого собственного подпространства равна 3-2 =1. Аналогично находим размерность второго собственного подпространства.
Вычисляем ранг соответствующей матрицы А — Л2Е: 6 -12 6 10 -20 10 12 -24 12 К6(А — Л Е) =К6 Размерность второго собственного подпространства равна 3 — 1= 2. 174 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Сумма размерностей обоих подпространств равна трем. Следовательно, базис ю собственных векторов существует. Он собирается ю базисов собственных подпространств. Чтобы его построить, нужно для каждого собственного значения Л найти фундаментальную систему решений СЛАУ (А — ЛЕ)х = = О.
Фундаментальная система решений представляет собой базис линейного пространства решений однородной СЛАУ, в нашем случае собственного подпространства матрицы. Для собственного значения Л1 = -1 получаем систему Ранг матрицы системы равен двум, позтому фундаментальная система состоит из одного столбца. Например, можно взять столбец (3 5 6) . Для собственного значения Лз = 1 получаем систему 10 -20 10 хз = 0 Ранг матрицы системы равен единице, позтому фундаментальная система состоит ю двух столбцов.
Например, фундаментальную систему решений составляют столбцы (2 1 0) и (О 1 2) . Таким образом, базисом из собственных векторов матрицы А является система е1 = 5 , ез = 1 , ез = 1 а сама матрица А подобна диагональной матрице ('. ) 175 о.о. Свойства сооствеяявск векторов Отметим, что матрица Р преобразования подобия представляет собой матрицу перехода иэ одного базиса в другой,т.е. ее столбцы представляют собой столбцы координат векторов нового базиса, записанные в старом.
В нашем случае столбцы матрицы Р определяются векторами „нового" базиса е1, еэ, еэ: Р= 5 1 1 Пример 5.9. Линейный оператор, действующий в трехмерном линейном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу А= 3 — 2 -2 Можно ли, изменив базис, привести матрицу этого оператора к диагональному виду? Составляем характеристическое уравнение линейного оператора: 6 — Л вЂ” 5 — 3 3 — 2 — Л -2 2 -2 Π— Л Раскрывая определитель, получаем Лэ 4Лг+ 5Л 2 О Корнями характеристического уравнения являются числа Л1 = 1 кратности 2 и Лэ = 2. Для определения размерностей собственных подпространств линейного оператора, отвечающих этим двум значениям, вычислим ранги соответствующих матриц: 5 — 5 — 3 Кф~А — Л1Е) = Вд 3 -3 -2 = 2, 2 — 2 — 1 176 5.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 4 — 5 — 3 Кя(А — ЛэЕ) = Вя 3 -4 -2 = 2. 2 -2 -2 Оба собственных подпространства линейного оператора, отвечающие двум собственным значениям, имеют размерность 3 — 2 = 1. Поэтому линейно независимая система из собственных векторов данного оператора может содержать максимум два вектора и по соображениям размерности не может быть базисом.
Дополнение 5.1. Жорданова нормальная форма При исследовании линейного оператора, действующего в линейном пространстве, желательно выбирать базис так, чтобы матрица линейного оператора имела наиболее простой вид. Если линейный оператор имеет базис из собственных векторов, то его матрица в некотором базисе является диагональной (теорема 5.6). В частности, это верно в случае, когда все корни характеристического уравнения линейного оператора действительные и различные (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
