IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Действительно, либо оба вектора одновременно входят в базис некоторого подпространства Я; и будут ортогональны согласно выбору, либо 197 Вояросы и задачи они попадают в разные инвариантные подпространства М; и 'Н1 и будут ортогональны как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям (см.
теорему 6.4). Итак, мы выбрали систему из п попарно ортогональных векторов единичной длины. Согласно теореме 3.4, эта система линейно независима, а так как количество векторов в ней совпадает с размерностью пространства, она является ортонормированным базисом. Согласно теореме 5.6, матрица оператора А в этом базисе является диагональной и на ее диагонали расположены собственные значения, повторяющиеся столько раз, какова их кратность, поскольку построенный базис состоит из соответствующих наборов собственных векторов. ~ Вопросы и задачи 6.1. Известно, что матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе диагональна.
Является ли этот линейный оператор самосопряженным? 6.2. Известно, что в некотором базисе, не являющемся ортогональным, матрица оператора А симметрическая. Можно ли утверждать, что: а) А — самосопряженный оператор; б) А не является самосопряженным оператором. Что можно утверждать, если базис ортогональный, но не ортонормированный? 6.3. Линейный оператор, действующий в и-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе симметрическую матрицу. Докажите, что этот оператор имеет базис из собственных векторов, даже если линейное пространство не является евклидовым. 6.4. Докажите, что: а) (А+В)' = А'+В*; б) (АВ)' = В'А*; в) если линейный оператор А имеет обратный, то и оператор А' имеет обратный, причем (А ~)' = (А') 6.5. Рассмотрим в пространстве Рг линейный оператор В„ поворота вектора на угол ~р, О < у < к.
Найдите оператор, сопряженный к оператору И . 198 б. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 6.6. Пусть Š— евклидово пространство, е — произвольный, вообще говоря, неортогональный базис в Е, à — матрица Грама для системы векторов е. Докажите, что если линейный оператор А в базисе е имеет матрицу А, то сопряженный к нему оператор А' имеет в том же базисе матрицу А' = Г 'А Г. 6.Т. В базисе Ьз = (1, 1, 1, 0), Ь4=(1 0 0 0) линейного арифметического пространства Ж" матрица линейного оператора А имеет вид 1 2 3 4 2 1 2 3 3 4 1 2 4 3 2 1 Найдите матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе (Ь1 Ьз Ьз Ь4).
В пространстве В." предполагается стандартное скалярное произведение. 6.8. Докажите, что для любого евклидова пространства Е отображение Х(Е,Е) -+ Ь(Е,Е), сопоставляющее линейному оператору иэ ЦЕ, Е) ему сопряженный, является изоморфиэмом линейного пространства ЦЕ,Е). Зависит ли этот иэоморфизм от выбора базиса в евклидовом пространстве Е2 Когда этот изоморфиэм является тождественным отображением? 6.6. Для симметрической матрицы А= 1 5 А/2 с/2 ~/2 3 найдите подобную ей диагональную матрицу А' = Р 1АР и соответствующую матрицу Р. Т. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ 7.1. Ортогональные матрицы и их свойства Определение 7.1. Квадратную матрицу 0 называют оршояона,явной, если она удовлетворяет условию О О =Е, (7.1) где Š— единичная матрица.
Пример 7.1. Простейшей ортогональной матрицей является единичная матрица Е, так как Е Е = ЕЕ = Е. Напротив, нулевая матрица не является ортогональной: 9 9 = 9 ~ Е. Пример 7.2. Матрица сов<р -випр является ортогональной, поскольку У У = Е. Это можно проверить непосредственно.
4~ Из определения 7.1 вытекает ряд свойств ортогональных матриц. Свойство 7.1. Определитель ортогональной матрицы 0 может иметь одно из двух возможных значений: де10 = х1. ~ Согласно равенству (7.1), имеем деФ (О 0) = де1Е. Вспомнив [П1], что определитель произведения матриц равен произведению их определителей, а при транспонировании матрицы определитель не меняется, получим де~(0 0) =де10 деФО= (деФО) . 200 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ Так как бе1 Е = 1, то и (с1еФ 0)~ = 1. Следовательно, с1ес 0 = = ~1.
° Свойство 7.2. Матрица, обратная к ортогональной матрице О, совпадает с ее транспонированной матрицей, т.е. О ' =От. м Согласно свойству 7.1, ортогональная матрица невырождена и потому имеет обратную матрицу 0 1. Умножая равенство (7.1) справа на матрицу О 1, получаем (О 0)0 ~ =ЕО ', откуда О (ОО с) =0 1. Но 00 ' =Е, поэтому 0 =0 1. ~ Свойство 7.3. Произведение ортогональной матрицы О на транспонированную к ней равно единичной матрице, т.е. ОО =Е. < Согласно свойству 7.2 и определению обратной матрицы, 00 =00 ' =Е.
и. Свойство 7.4. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной. ~ Нужно для произвольной ортогональной матрицы 0 доказать равенство (О)О =Е, (7.2) представляющее собой запись соотношения (7.1) для матрицы т 0 . Так как, согласно свойству операции транспонирования, (О ) = О, равенство (7.2) эквивалентно равенству ОО = Е, которое верно в силу свойства 7.3.
> Свойство 7.5. Произведение двух ортогональных матриц О и Я одного порядка является ортогональной матрицей. М Для доказательства достаточно проверить выполнение ра- венства (7.1) для матрицы Оф (ОЯ) (ОЯ) = (Я О )ОЯ = Я (О 0)Я = Я ЕЯ = Я Я = Е. 201 7.2. Ортогопапьпые операторы В этих выкладках Е, как обычно, обозначает единичную матрицу. ° Свойство Т.б. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной. ~ Согласно свойству 7.1, ортогональная матрица невырождена, а потому имеет обратную. Согласно свойству 7.2, матрица, обратная к ортогональной, совпадает' с транспонированной.
Наконец, согласно свойству 7.4, матрица, транспонированная к ортогональной, является ортогональной. > Пример 7.3. Рассмотрим матрицу У иэ примера 7.2. Так как она ортогональна, то обратную матрицу легко найти, используя свойство 7.6: т ( сову вшу 1 ~-в1пу сову( Т.2. Ортогональные операторы Определение 7.2.
Линейный оператор А: Е + Е, действующий в евнлидовом просп1ронстве Е, называют ортпоеональным оператором (или ортпоеональным преобразованием), если он сохраняет скалярное произведение в Е, т.е. для любых векторов х, у й Е выполняется равенство (7.3) (Ах, Ау) = (х, у). Так как ортогонвльный оператор сохраняет скалярное произввдени, то он сохраняет норму (длину) вектора и угол между ненулевыми векторами.
Действительно, )(Ахб~ = (Ах,Ах) =(х,х) = йх))~. Отсюда, в частности, следует, что если векторы х и у ненуле- вые, то и векторы Ах и Ау ненулевые. При этом (Ах, Ау) (х, у) 6Ах6 ))Ау)~ ~)х~! Щ~ 202 7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ Менее очевидно, что верно и обратное утверждение. Теорема 7.1.
Если линейный оператор А: Š— > Е в евклидовом пространстве Е сохраняет евклндову корму: !!Ае(! = !!е!!, е Е Е, то этот оператор ортогональный. ~ Доказательство опирается на следующее тождество: 2(ж, у) = !!е+ у!! — !!е!! — !!у!! верное для любых векторов е и у, в чем можно убедиться, выражая нормы векторов через скалярное произведение. Используя это тождество и сохранение нормы оператором А, получаем ® ) !! 1( ) !! г !! А !! г !! А„ !! г = !!*+ у!!'- !!е!!'- !!у!!' = (* у) где е и у — произвольные векторы пространства Е. > Теорема 7.1 позволяет привести примеры ортогональных операторов. В пространствах $~г и Рз свободных векщоров ортогональными являются линейные операторы, сохраняющие расстояние.
Например, линейный оператор поворота вектора на фиксированный угол (см. пример 4.2) является ортогональным, так как при таком повороте длины векторов не изменяются. Линейный оператор симметрии относительно прямой на плоскости или относительно плоскости в пространстве также является ортогональным. Теорема 7.2. Пусть А: Е -+ Š— ортогональный оператор в евклидовом пространстве Е и е = (е1 ... е„) — произвольный ортонормированныб базис в Е.
Тогда система векторов Ае = = (Ае1 ... Ае„) является ортонормированным базисом в Е. ~ Достаточно подсчитать все парные скалярные произведения векторов Ае;. В силу ортогональности оператора А имеем (О, 1Фу; (Ае,,Ае ) = (е;,е ) = 1, 203 7.2. Ортогояальные операторы Видим, что различные вгнтаорм Ае; и Ае ортаогональны, а норма каждого из них равна единице. Поэтому система вентворов Ае = (Ае| ...
Ае„) состоит нз ненулевых векторов и ортогональна. Согласно теореме 3.4, она линейно независима. Количество векторов в линейно независимой системе Ае равно йшс = н, поэтому, согласно теореме 1.4, это базис, притом ортонормированный. Ь Теорема 7.3. Если линейный оператор А: Е -~ с в евклидовом пространстве Е переводит какой-либо ортонормированный базис е = (е1 ... е„) в ортонормированный базис Ае = (Ае1 ... Ае„), то этот оператор ортогональный.
т м Если вектор х имеет столбец координат х = (х1 ... х„) в базисе е, то его образ Ах имеет тот же столбец координат в базисе Ае, так как, согласно определению линейного оператора, Ах = А(х1 е1+... + х„е„) = х1(Ае1) +... + х„(Ае„). Выберем два произвольных вектора х = х1е1 + ... + х„е„и у =у~е1+ ...+у„е„. Их скалярное произведение в ортонормированном базисе е выражается формулой (х,у) =х1у1+... +х„у„, но той же формулой выражается и скалярное произведение (Ах, Ау), если в качестве базиса взять Ае. Поэтому соотношение (Ах, Ау) = (х,у) выполняетсл для любых векторов х и у, что, согласно определению 7.2, означает ортогональность оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
