IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Выясните, приводится ли к диагональному виду данная матрица: а) 8 21 -46; б) 4 5 -4; в) -4 5 0 5.3. Пусть линейный оператор, действующий в и-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе матрицу А. Пусть Лы Лз, ..., ˄— собственные значения этого оператора. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в том же базисе является: а) Аэ б) А ~. 5.4. В линейном пространстве квадратных матриц порядка 2 содержится линейная оболочка матриц А", й = О, 100. Найдите размерность этой линейной оболочки для матрицы А= (™). 5.5.
Докажите, что для каждого собственного значения Л линейного оператора А имеет место равенство .С(А,Л) = = кег(А-Л1). 184 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 5.6. Докажите, что кратность собственного значения А линейного оператора А не меньше размерности соответствующего собственного подпространства фА, Л) этого оператора. 5.7. Докажите теорему Кзли — Гамильтона в случае квадратной матрицы, все корни характеристического уравнения которой действительны и попарно различны.
5.8. Сформулируйте теорему Кэли — Гамильтона для линейных операторови доказать еев случаелинейного оператора, имеющего базис иэ собственных векторов. 5.9. Докажите, что поворот вектора на плоскости на угол 2~р можно реализовать эа три последовательно выполняемых шага: поворот вектора на угол ~р; растяжение с коэффициентом 2 соя х; прибавление вектора, противоположного исходному. 5.10.
Докажите, что любой линейный оператор в пространстве $~з имеет собственный вектор. 5.11. Приведите пример линейного оператора, не имеющего собственных векторов. Какой может быть размерность линейного пространства, в котором есть такие операторы? 5.12. Докажите, что для любого ненулевого вектора с Е 1'э линейный оператор А: Рэ -+ Уэ, определяемый соотношением Ах = ххс, имеет единственное собственное значение, равное нулю. 5.13. Пусть 'Н вЂ” линейное подпространство евклидова пространства о. Рассмотрим линейный онератнор орпзоэона.еьново проенгпировани* Рх = х', где х = х'+ х~, х' Е Я, х Е Я, — разложение произвольного вектора х на его ортогональную проекцию х' и ортогональную составляющую х~-. Найдите собственные значения и собственные векторы этого линейного оператора.
5.14. Докажите, что нуль является собственным значением любой кососимметрнческой матрицы нечетного порядка. 6. САМОСОПРЯ2КЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 6.1. Сопряженный оператор Пусть Š— евклидово пространство. (Ах, у) = (х, А*у) . (6.1) Данное определение сформулировано так, что оставляет открытыми два вопроса. Во-первых, не ясно, каждый ли линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеет сопряженный. Во-вторых, из определения нельзя понять, однозначно или нет определяетсл сопряженный оператор.
Прежде чем формулировать теорему, отвечающую на оба эти вопроса, докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма. Если квадратные матрицы М и Ф порядка о таковы, что для любых вектор-столбцов х,у Е К» выполняется т т соотношение х Му = х Жу, то М = Ф. ~ Пусть т;, пу — элементы матриц М и Ф соответственно, стоящие в 1-й строке и у-м столбце. Для произвольной пары индексов ю' и у выберем такие вектор-столбцы х и у: >ья строка > 1 "Я строка > Определение 6.1.
Линейный оператор А'. Е -+ Е называют сопрлженнььм к линейному оператору А: Š— + Е, если для любых векторов х, у Е Е верно равенство 186 6. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ в которых присутствует только один ненулевой элемент, равный единице и стоящий на указанном месте. Записав равенство т т х Му = х Фу с выбранными столбцами х и у и вычислив обе стороны равенства, получаем тау —— пу. Так как пара индексов может быть выбрана произвольно, заключаем, что М = Ф. ° Теорема 6.1. Любому линейному оператору А: Е -+ Е соответствует единственный сопряженный оператор А', причем его матрицей в любом оржонормировакном базисе е является матрица А , транспонированная матрице А линейного оператора А в том же базисе е. ~ Доказательство теоремы основано на том, что фиксированный базис евклидова пространства Е позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами из В(Е, Е) и матрицами из М„(Ж), и = йшЕ.
Это соответствие заключается в сопоставлении лпнебному операщору его матарааы в фиксированном базисе. Докажем, что линейный оператор В с матрицей В = А в базисе е является сопряженным к линейному оператору А. Для этого достаточно проверить выполнение равенства (Ах,у) = (х, Ву) (6.2) которое при В = А превращается в тождество.
т для любой пары векторов х, у Е Е. Пусть х, у — столбцы координат векторов х, у в базисе е. Тогда, согласно теореме 4.3, вектор Ах имеет столбец координат Ах, а левая часть равенства (6.2) равна (Ах) у, что следует из ортонормированности базиса (см. З.Т). Аналогично правая часть этого равенства имеет вид х (Ву). Следовательно, равенство (6.2) в координатной записи имеет вид (Ах) у = х (Ву). (6.3) Так как (Ах) = х А в силу свойств матричных операций, равенство (6.3) эквивалентно равенству х Ау=х Ву, (6.4) 187 6.1. Сопряженный оператор Если некоторый линейный оператор Н является сопряженным к линейному оператору А, то для любых векторов х и у выполняется равенство (6.2). Значит, для матриц А и В этих операторов равенство (6.4) выполняется для любых столбцов х и у. Согласно доказанной лемме, В = А .
Поэтому линейный оператор Н определен однозначно, так как однозначно определена его матрица. ° В некоторых случаях линейный оператор, сопряженный к данному линейному оператору, можно найти, не вычислял матрицы этого оператора. Пример 6.1. Вектор а Е Ъз порождает линейный оператор А: Уз -+ Уз согласно формуле Ах = ахх. Оператор, сопряженный к оператору А, можно определить, опираясь на свойства скалярного, векторного и смешанного произведений [11Ц: (Ах, у) = (ахх, у) = аху = уах = (уха, х) = = (х, уха) = (х, — ах у) = (х, -Ау) . Из приведенных соотношений видно, что А' = — А. Пример 6.2.
Множество Се [а, б] бесконечно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций, у которых в точках а и 6 производные любого порядка равны нулю, является линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на действительное число, а формула 1 (У,р) = У(1М)а а задает в этом линейном пространстве скалярное произведение (см. пример 3.4). Отображение А7' = ~', которое каждой 188 В. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ функции 1 6 Св (а, 6] ставит в соответствие ее производную, является линейным оператором. Оператором, сопряженным к ' А, будет -А, поскольку, согласно правилу интегрирования ио частям, 1 (Ад, д( = / ~(д(д(д(дд = х(д(д(д(/ — ( /(д(дядд = О 0 1 1 = - ~ 1(д(д(д(дд = / у(д((-д(д(( дд = (! -.дд( 6.2. Самосопряжеииые операторы и их матрицы Определение 6.2.
Линебныб оператор А, действующий в евнлидовом пространстве, называют самосопряженным, если А' = А. Это определение можно сформулировать по-другому. Линейный оператор самосопряженный, если для любых векторов х и у верно равенство (Ах, у) = (х, Ау) . Действительно, если указанное соотношение выполняется, то, согласно определению 6.1, линейный оператор А является сопряженным оператором к самому себе, т.е. А* = А. Пример 6.3. Самосопряженными являются простейшие линейные операторы: нуяевоб О и тождественныб 1, так как для любых векторов х и у (1х,у) =(х,у) =(х,1у), (с1х, у) = (О, у) = 0 = (х, 0) = (х, Оу) . 189 б.2. Самосопрпжеппые операторы м их матрицы Пример 6.4.
Рассмотрим линейное пространство Уз с обычным скалярным произведе нем свободных веневоров (х, у). Отображение А: Уз -+ Уз ортогонального проектирования векторов из Уз на направление вектора а единичной длины, которое определяется формулой Ах = (х, а) а, является линейным оператором,так как А(рх+ иу) = (дх+иу, а)а = = и (х, а) а+ и (у, а) а = р(Ах) + и(Ау). Убедимся, что этот оператор является самосопряженным: (Ах, у) = ((х, а)а, у) = (х, а) (а, у) = = (х, (а, у)а) = (х, (у, а)а) = (х, Ау) . Приведенные рассуждения не используют специфику пространства Уз и могут быть проведены в произвольном евклидовом пространстве.
Любой единичный вектор а евклидова пространства Е порождает линейный оператор Р„ортогонального проектирования на линейное подпространство Я = врап(а) согласно формуле Р„х = (х, а) а, и этот оператор является само- сопряженным. Теорема 6.2. Матприна самосопрлженного оператпора в любом ортонореенрованном базисе является симметрической. Наоборот, если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе является симметрической, то этот оператор — самосопряженный. 1 Согласно определению 6.2, А — самосопряженный оператор, если А = А', т.е. если линейный оператор равен своему сопряженному оператору.
Это эквивалентно тому, что матрица линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной (она является матрицей сопряженного оператора). Такие матрицы и называют симметрическими. > 1ОО б. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ М =(М) . МИ=МИ, 'леорема 6.3. Все корни характерисшпческого уравнения самосопряженного оператора действительны.
~ Согласно теореме 6.2, утверждение можно переформулировать следующим образом: характеристическое уравнение симметрической матрицы имеет только действительные корни. В этой форме и будем его доказывать. Предположим, что некоторое число Л, вообще говоря комплексное, является корнем характеристического уравнения симметрической матрицы А, т.е. беЦА — ЛЕ) = О. Тогда система линейных алгебраических уравнений (А — ЛЕ)х = О имеет некот торое ненулевое решение х = (х1 ...
х„), состоящее из комплексных чисел хь, к = 1,п. Рассмотрим столбец х, комплексно сопряженный к столбцу х. Умножим равенство (А — ЛЕ)х = О слева на строку х . Тогда х (А — ЛЕ)х=О, или т т х Ах =Лх х. (6.5) Так как произведение комплексного числа на сопряженное к нему является действительным числом, равным квадрату Напомним, что комплексные числа а+ Ы и а — Ы называют комплексно сопряженными. Число, комплексно сопряженное к числу г, обозначают Е. Рассмотрим произвольную матрицу М = (т; ), элементами которой являются комплексные (в частности, действительные) числа т; .
Матрицу М = (Щ ) того же типа, что и М, элементами которой являются числа Щ., будем называть комплексно сопрлженной к матрице М. Она состоит из комплексно сопряженных элементов матрицы М: М = (т; ). Из свойств комплексных чисел вытекают следующие соотношения: б.2. Саыосопрпжеииые операторы и их матрицы 191 модуля комплексного числа, а х — ненулевое решение,то х х = х1х1+... +х„х„= ~х1! +... +)хп)~ ) О, т.е.матричное произведение х х представляет собой действительное положительное число. Иэ равенства 6.5 находим т Ах т х х причем знаменатель дроби справа является действительным числом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
