IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найдем характеристическое уравнение матрицы А= О 1 3 15б 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Для этого раскроем определитель: 7 — Л 2 О О 1Л 3 О 3 4 — Л ХА(Л) (7 Л) ((1 Л)(4 'Л) 9) Лз + 12ЛЯ ЗОЛ 35 Итак, характеристическое уравнение заданной матрицы имеет вид — Лз+12Лз — ЗОЛ вЂ” 35 =О.
Квадратную матрицу можно испольэовать в качестве значения переменного в произвольном многочлене. Тогда значением многочлена от матрицы будет матрица того же порядка, что и исходная [ПЦ. Интерес представляют такие многочлены, значение которых от данной матрицы есть нулевая матрица. Их называют аннулирующими многочленами. Оказывается, что одним из таких аннулирующих многочленов для матрицы является ее характеристический многочлен. Теорема 5.1 (теорема Кзли — Гамильтона).
Для любой квадратной матрицы характеристический многочлен является ее аннулирующим многочленом. ф Теорема 5.2. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают. ~ Пусть квадратные матрицы А и А' одного порядка подобны, т.е. существует такая невырожденная матрица Р того же порядка, что А' = Р 'АР. Тогда в силу свойств определителей [111] имеем ХА (Л) = бей(А' — ЛЕ) = бе~(Р 1АР— ЛР 1ЕР) = =йе$(Р 1(А-ЛЕ)Р) =беФР 'йе1(А — ЛЕ)ае$Р= = бе~(А — ЛЕ) = ХА(Л). Выясним, как связаны между собой характеристические многочлены подобных матриц.
5.2. Характеристическое уравнение ликеякого оператора 157 5.2. Характеристическое уравнение линейного оператора Рассмотрим линейный оператпор А: Е -+ Е, действующий в линейном пространстве Е. Выберем в линейном пространстве С некоторый базис Ь и запишем в этом базисе матрицу А = (ату) линейного оператпора А. Согласно следствию 4.3 матрица А — ЛЯ является матрицей линейного оператора А — Л1, где 1 — тождественный оператор. Определитель де$(А — ЛЖ) матрицы линейного оператора А — Л1, согласно следствию 4.2, от выбора базиса не зависит.
Значит, характперистический многочлен Лл(Л) матрицы А является также характеристическим многочленом любой другой матрицы оператора А и совпадает с определителем линейного оператора А — Л1. Мы можем ввести следующее определение. Онределение 5.2. Характперистпическим многочленом линейного оператпора А: Е -т Е называют характеристический многочлен его матрицы А, записанной в некотором базисе, а характперистпическим уравнением этого оператора — характеристическое уравнение матрицы А.
Определение корректно, так как характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. При этом коэффициенты Ик характеристического многочлена, представленного в виде (5.1), также не связаны с используемым базисом, т.е. являются инвариантпами относительно выбора базиса. Другими словами, коэффициенты с)ь отражают свойства самого оператора, а не его матрицы А, являющейся записью оператора в конкретном базисе.
Коэффициенты Иг могут быть выражены в виде многочленов от элементов матрицы оператора. Таким образом, хотя коэффициенты матрицы меняются при замене базиса, некоторые выражения от этих коэффициентов остаются неизменными. Наиболее просто выражается коэффициент И„1 = ам+агх+ "+а 158 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ равный сумме диагональных элементов матрицы А.
Этот коэффициент называют следом линейноео операгпора А (следом матрицы А) и обозначают ФгА (1гА) или врА (ерА). Коэффициент ао характеристического многочлена совпадает со значением этого многочлена при Л = 0 и равен определителю линейного оператора А. Пример 5.2. В линейном пространстве Кз[х] многочленов степени не выше двух элементы 1, х, х~ образуют базис. Матрица А линейного оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид А= 0 0 2 Вычислив определитель — Л 1 0 0 — Л 2 0 0 — Л и приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение этого линейного оператора: Лз = О.
5.3. Собственные векторы линейного оператора Определение 5.3. Ненулевой вектор х в линейном щюстранстве с", называют собственным век1пором линейного оператора А: ь" -+ с,, если для некоторого действительного числа Л выполняется соотношение Ах = Лх. При этом число Л называют собственным значением (собственным числом) линейноео оператора А. Пример 5.3. В линейном пространстве К„[х] многочленов степени не вьппе и содержатся многочлены нулевой степени, вс т.е. постоянные функции. Так как — =0=0 с многочлены ве 6.3. Собственные векторы яяяейяото операторе 159 нулевой степени р(х) = с ~ О являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число Л = О— собственным значением этого оператора.
Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора. Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор х одновременно удовлетворяет двум равенствам Ах = Лх и Ах = рх, то Лх = рх, откуда (Л вЂ” р)х = О. Если Л вЂ” р ф О, умножим равенство на число (Л вЂ” р) 1 и в результате получим, что х = О.
Но это противоречрт определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой. Каждому собственному значению отвечают свои собственные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если х — собственный вектор линейного оператора А с собственным значением Л, т.е. Ах = Лх, то для любого ненулевого действительного числа а имеем ах уЕ О и А(ах) = а(Ах) = = оЛх = Л(ах) Значит, и вектор ах является для линейного оператора собственным.
Замечание 5.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собстпвенных векторах квадрат«ой матрицы. При этом имеют в виду следующее. Матрица А порядка и является маптриией некоторого линейного оператпора в фиксированном базисе, действующего в и-мерном линейном пространсптве. Например, если остановиться на стандартпном базисе в линейном арифметпическом простпранстпве Жо, то матрица А определяет линейный оператор А, отображающий вектор х Е Ж" со столбцом координат х в вектор со столбцом координат Ах. Матрицей А как раз и является матрица А. Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляется со столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этом не всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы „операторные" термины. 160 5.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением. ~ Необходимость. Пусть число Л является собственным значением линейного оператора А: 1 -+ л",. Это значит, что существует вектор х ~ О, для которого Ах = Лх. (5.2) Отметим, что в,С действует тождественный оператор 1: 1х = х для любого вектора х.
Используя этот оператор, преобразуем равенство (5.2): Ах = Л1х, или (А — Л1) х = О. (5.3) Запишем векторное равенство (5.3) в каком-либо базисе Ь. Матрицей линейного оператора А — Л1 будет матрица А — ЛЕ, где А — матрица линейного оператора А в базисе Ь, а Š— единичная матрица, и пусть х — столбец координат собственного вектора х. Тогда х ф О, а векторное равенство (5.3) равносильно матричному (А — ЛЕ) х = О, (5.4) которое представляет собой матричную форму записи однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей А — ЛЕ порядка н. Эта система имеет ненулевое решение, являющееся столбцом координат х собственного вектора х.
Поэтому матрица А — ЛЕ системы (5.4) имеет нулевой определитель (???], т.е. деФ(А — ЛЕ) = О. А это означает, что Л является корнем характеристического уравнения линейного оператора А. Теорема 5.3. Для того чтобы действительное число Л являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического. уравнения этого оператора.
161 о.З. Собетвеииые векторы лияейяого операторе Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. Если Л является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе Ь выполняется равенство бей(А — ЛЕ) = О. Следовательно, матрица однородной СЛАУ (5.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение х. Это ненулевое решение представляет собой набор координат в базисе Ь некоторого ненулевого вектора х, для которого выполняется векторное равенство (5.3) или ему эквивалентное равенство (5.2).
Мы приходим к выводу, что число Л является собственным значением линейного оператора А. ь Каждому собственному значению Л матрицы (линейного оператора) сопоставляют его нратпностпь, полагая ее равной кратности корня Л характеристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора). Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению линейного оператора, не является лкнебньья подпространством, так как это множество не содержит нулевого вектвора, который, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и легко устранимое препятствие является единственным.
Обозначим через 2(А, Л) множество всех собственных векторов линейного оператора А в линейном пространстве к., отвечающих собственному значению Л, с добавленным к этому множеству нулевым вектором. Теорема 5.4. Множество 2(А, Л) является линейным подпространством в к,. < Выберем произвольные два вектора х, у е р(А, Л) и докажем, что для любых действительных се и )3 вектор ах+ 33у также принадлежит т"..(А, Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
