IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для этого надо найти образы базисных векторов и разложить их по тому же базису. Поскольку Ай = 4 х 4 = О,то первый столбец в матрице А нулевой. Далее получаем второй столбец матрицы А: О А1 = з хе = — й = 04+ 01 — 1 й = (е,у й) 0 -1 Затем третий столбец: 0 Ай = й хй =,у = (4,1 й) 1 0 141 4.3. Матрица линейного онератора ~, Итак, матрица А имеет вид А= О О 1 Действие линейного оператора А на вектор х можно теперь т записать как умножение столбца координат (х у л) вектора х слева на матрицу оператора: Ах=(йу й)А у =(йу й) О О 1 у О =(4 у й) н =ну' —,уй.
4~ У Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный оператор. В то же время, какую бы квадратную матрицу порядка и мы ни взяли, она будет матрицей некоторого линейного оператора в заданном базисе и-мерного линейного пространства (см. пример 4.3). Таким образом, между линейными операторами, действующими в данном и-мерном линейном пространстве,С и квадратными матрицами порядка и существует соответствие, которое являетсл взаимно однозначным, что и утверждает следующая теорема. Теорема 4.4.
Пусть Ь вЂ” произвольный базис в и-мерном линейном пространстве С. Различным линейным операторам А и В, действующим в пространстве .С, соответствуют и различные матрицы в базисе Ь. Любая квадратная матрица А порядка и является матрицей некоторого линейного оператора, действующего в линейном пространстве С. ~ Если матрицы А и В операторов А и В в базисе Ь совпадают, то, согласно теореме 4.3, для любого вектора х со столбцом координат х Ах = ЬАх = ЬВх = Вх, 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРА ТОРЫ 142 А(Лх+ ну) = ЬА(Лх+ ну) = Л(ЬАх) + н(ЬАу) = ЛА(х) + нА(у).
В этой выкладке мы использовали теорему 1.3 и свойства умножения матриц. Вычислив для 1 = 1, н столбец координат образа 4-го вектора из базиса Ь ан О АЬ,=ЬА 1 О а1-1,~ аи %+ц1 где единица стоит в 1-й строке, убеждаемся, что он совпадает с 1-м столбцом матрицы А и поэтому матрица заданного линейного оператора совпадает с исходной матрицей А. ~ Теорема 4.5, Ранг матрицы линейного оператора А: Š— > -+ Ю совпадает с рангом этого оператора. 1 Образ ппА линейного оператора А.
представляет собой линейную оболочку снсшены векщоров АЬм ..., АЬ„, где Ьм ..., ܄— некоторый базис линейного пространства Е. Размерность линейного подпространства пи А, представляющая собой ранг оператора, совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе АЬ1, ..., АЬ„и равна т.е. образы произвольного вектора при двух отображениях совпадают. Следовательно, совпадают и сами отображения. Пусть А = (гн ) — произвольная квадратная матрица порядка н. Определим отображение А: ь" -+ ь" согласно формуле А(х) = ЬАх, где х — столбец координат вектора х.
Несложно проверить, что заданное таким образом отображение является линейным оператором. Действительно, для любых векторов х, у Е ь" и любых действительных чисел Л,н 4.4. Преобразование матрицы лмнейяого оператора 143 аксимальному количеству линейно независимых столбцов в трице А, составленной из столбцов координат этих вектор в. Но матрица А является матрицей оператора А. Значит, й пи А совпадает с рангом матрицы оператора А в указанном базисе.
Поскольку понятие ранга линейного оператора не зависит от выбора базиса, то и ранг его матрицы в любом базисе один и тот же. в. 4.4. Преобразование матрицы линейного оператора Матрица линейного оператора изменяется, когда изменяется базис линейного пространсгпва. Возникает естественный вопрос, как она изменяется. Напомним, что связь двух базисов, старого (исходного) и нового, отражается леагприией перехода. Теорема 4.6.
Матрицы Аь и А, линейного оператора А: а. -+ а,, записанные в базисах Ь и е линейного пространства а'., связаны друг с другом соотношением А, = У 'АаУ> где У = Уь „— матрица перехода от базиса Ь к базису е. (4.2) Замечание 4.2.
Связь между линейными операторами и матрицами, вскрытая доказанными теоремами, позволяет дать геометрическую интерпретацию системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если СЛАУ записать в матричной форме Ах = Ь, то матрицу А можно связать с некоторым линейным оператором А, а столбцы х и Ь интерпретировать как столбцы координат векторов х и Ь. Мы приходим к операторному уравнению, Ах = Ь, решение которого означает определение вектора х по его образу Ь. В частном случае Ь = О СЛАУ однородна, а решение операторного уравнения означает определение ядра оператпора. Отметим, что тпривиа.льнов реиаение х = О однородной СЛАУ Ах = О соответствует нулевому вектору, всегда входящему в ядро оператора.
4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРА ТОРЫ 144 < Пусть у = Ах. Обозначим координаты векторов старом базисе Ь через хь и уь, а в новом базисе е — чер Поскольку действие линейного оператора А в матричн в базисе Ь имеет вид уь = Аьхь (см. теорему 4.3), а координаты векторов х и у в новом и старом базисах связаны между собой равенствами (см. 1.8) хь Пхе~ УЬ = ОУе~ то получаем уе = 1~ уь = (~ (Аьхь) = П (Аь(~хе) = Я АьЦхе Равенство у, = (У 1АЬУ) х, является матричной формой записи действия линейного оператора А в базисе е и поэтому, согласно теореме 4.4, П ~АЬ|/= А,. Изложенное доказательство теоремы хорошо иллюстрирует следующзл диаграмма: А, хе + уе и4 Аь хь — + уь Определение 4.5.
Квадратные матрицы А и В порядка и называют подобными, если существует такал невырожденнвя матрица Р, что Р ~АР = В. Формула (4.2) означает, что матрицы, представляющие один и тот же линейный оператор в разных базисах, являются подобными. Верно также и обратное: если две матрицы А и В подобны, т.е. В = Р 1АР, то их можно рассматривать как матрицы одного оператора, но в разных базисах. Действительно, в произвольном и-мерном линейном пространстве зафиксируем произвольный базис Ь и выберем линейный оператор, который в этом базисе имеет матрицу А.
Тогда в базисе е = ЬР этот же оператор будет иметь матрицу Р 'АР = В. существует такая невырожденная матрица Р, что В = Р 'АР. Так как определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, а с1ес(Р с) = = (с)АР) с [П1], то получаем с1е1В = с1ес(Р 'АР) = с)е1 (Р ~) с1е1АдесР = с1есА. Следствие 4.2. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. ~ Действительно, возьмем матрицы Аь и А, линейного оператора А в двух различных базисах Ь и е.
Согласно теореме 4.б и определению 4.5 эти матрицы подобны. Поэтому с1е$ Ас, = с)ес А, по теореме 4.7. ~ Следствие говорит о том, что, хотя матрица линейного оператора и изменяется при замене базиса, определитель ее при этом остается неизменным. Значит, этот определитель характеризует не конкретную матрицу оператора в конкретном базисе, а сам оператор.
Это позволяет ввести следующее понятие. Определение 4.6. Определигпелем линейноео операгпора называют определитель его матрицы в каком-либо базисе. Пример 4.10. Линейный оператор А: 1~э — ~ $~з, определяемый формулой Аж = их 4, в базисе я', у, й имеет матрипу А= 0 0 1 (см. пример 4.9). Определитель этой матрицы равен нулю. Значит, и в любом другом базисе определитель матрицы этого линейного оператора равен нулю.
оператора А и В. Рассмотрим отображение ВА: С вЂ” ~ С, которое является композицией двух отображений и задается формулой (ВА)х = В(Ах). Это отображение является линейным, так как для любых векторов х и у и любых действительных Лир (ВА) (Лх+ ру) =.В(А(Лх+ ру)) = В(ЛАх+ рАу) = = ЛВ(Ах) + рВ(Ау) = Л(ВА) х + р(ВА) у. Введенный нами линейный оператор .ВА называют произведением линейных операторов В и А. Теорема 4.8. Пусть в линейном пространстве С действуют линейные операторы А и В, а А и  — матрииы этих линейных операторов в некотором базисе Ь.
Тогда матрицей линейного оператора ВА в том же базисе Ь является матрица ВА. ~ Действие линейного оператора на вектор в данном базисе представляется как умножение матрицы этого оператора на столбец координат вектора. Поэтому для произведения двух операторов А и В получаем (ВА)х = В(Ах) = В(ЬАх) = Ь(В(Ах)) = Ь(ВА)х. ~ь Если линейный оператор А: С -+ С представляет собой биентивное отобрахеение, то сушествует обратное отображение А '. С-+,С. Теорема 4.9.
Если линейный оператор А имеет обратное отображение А 1, то это отображение линейно, причем если матрицей А в данном базисе Ь является А, то матрицей линейного оператора А 1 в том же базисе является А 1. м Любым векторам у1 и уэ линейного пространства,С соответствуют такие однозначно определенные векторы х1 и хз, что х~+ п~з = ЛАи~+ пАиг = Лу~+ дуг. Поэтому А '(Лу~+дуз) = Ли~+рхг = ЛА 'у~+рА 'у2.
Следовательно, отображение А " линейно. Отметим, что произведение операторов А ~ и А, как композиция прямого и обратного отображений, является тождественным операшором. Согласно теореме 4.8, произведение матриц А' и А этих операторов равно единичной матрице Е: А'А = Е. Это значит, что матрица А' оператора А ~ является обратной к матрице А оператора А: А' = А ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
