IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Следовательно, число Л будет действительным, если числитель этой дроби ш = х Ах будет числом действительным. В силу симметричности матрицы А 1т ю=и =1х Ах~ =х А х=х Ах. т / т 1 т т т Поэтому с учетом свойств операции комплексного сопряжения матриц и благодаря тому, что элементами матрицы А являются действительные числа, получаем й>=х Ах= (х) Ах =х Ах=ш. Комплексное число, сопряженное самому себе — это действительное число. Следовательно, и 1о является действительным. ~ь Следствие 6.1.
Если матрица А является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения с1еФ(А — ЛЕ) = О действительные. Следствие 6.2. Самосопряженный оператор, действующий в и-ыериоы евклидовом просшрансшве, имеет п собственных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его краепностаь. Следствие 6.3. Симметрическая матрица порядка п имеет и собственных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его кратность.
192 6. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 6.3. Собственные векторы самосоприженного оператора Теорема 6.4. Собственньье векторы самосопрлженного оператора, отвечающие различным собственным значенилль, ортогональны. < Рассмотрим самосопряженный оператор А и два его собственных вектора хд и хг, отвечающие различным собственным значениям Лд и Лг. Тогда Ахд = Лдхд и Ахг = Лгхг. Поэтому (Ахд,хг) = (Лдхд,хг) = Лд(хд,хг).
(6.6) Но так как А является самосопряженным оператором, то (Ахмхг) = (хд,Ахг). Значит, (Ахд,хг) = (хд,Ахг) = (хд,Лгхг) = Лг(хыхг) (6.7) Приравнивая правые части соотношений (6.6) и (6.7), получаем Лд(хд,хг) = Лг(хд,хг), или (Лд — Лг)(хд,хг) = О. (6.8) Так как Лд ф Лг, иэ равенства (6.8) следует, что (хд,хг) = О, что и означает ортогональность векторов хд и хг. ° Теорема 6.5. Если собственные значения Лд, ..., Л„само- сопряженного оператора А, действующего в и-мерном евклидовом пространстве Е, попарно различны, то в б существует ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора А имеет диагональный вид, причем диагональными элементами такой матрицы являются собственные значения л, ..., л„.
< Поскольку собственные значения Лд, ..., Л„попарно различны, то, выбрав для каждого Л; соответствующий ему собственный вектор е;, получим систему е ненулевых векторов, б.З. Собственные векторы свыосопрвженпого оператора 193 которые по теореме 6.4 попарно ортогональны. Поэтому е— ортогональная система векторов. Согласно теореме 5.5, она линейно независияса и, имея и векторов, является базисом (см.
теорему 1.4). Этот базис является ортогональным, а чтобы его превратить в ортонормированный, необходимо каждый вектор е; нормировать делением на его длину. Таким образом, в условиях теоремы существует базис из собственных векторов самосопряженного оператора А. По теореме 5.6 матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов является диагональной, а диагональные элементы матрицы представляют собой собственные значения. ~ Хотя все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны (см. теорему 6.3), среди них могут быть кратные, и тогда теорема 6.5 неприменима. Однако и в этом случае матрица самосопряженного оператора в некотором базисе имеет диагональный вид.
Теорема 6.6. Для любого самосопряженного оператора А существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого линейного оператора. Матрица А самосопряженного оператора А в этом базисе имеет диагональный вид, на ее диагонали расположены собственные значения оператора А, повторяющиеся столько разе, какова их кратность. Доказательство этой теоремы приведено в Д.6.1.
Следствие 6.4. Любая симметрическая матрица М порядка н подобна некоторой диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица Р порядка и, что Р-'МРвв 61 6(Л,, ..., Л„). Последовательность Лм ..., Л„из и чисел представляет собой перечень всех корней характеристического уравнения матрицы М с учетом их кратностей. 194 6.
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРА ТОРЫ < Рассмотрим в и-мерном евклидовом пространстве К" стандартнььб ортонормированный базис, и пусть матрица М является матрицей в этом базисе некоторого линейного оператора М. Тогда этот оператор будет самосопряженным. По теореме 6.6 для него существует ортонормированный базис, в котором его матрица М' имеет диагональный вид М' = Жаб(Л1, ..., Л„). Матрица М' получается нз исходной матрицы М при помощи матрицы перехода Р иэ стандартного базиса в указанный ортонормированный базис: М' = Р 'МР.
> Дополнение 6.1. Инвариантные подпространства самосопряженного оператора Теорема 6.7. Если Н вЂ” инвариантное надпространство самосопряженного оператора А, действующего в евнлидовом пространстве 8, то его ортогональное дополнение Н~ также является инвариантным подпространством этого оператора А. ~ Нам достаточно проверить, что для любого вектора у линейного подпространства Н~ его образ Ау тоже принадлежит 'Н, т.е.
что для любого вектора х Н 'Н выполнено условие (Ау,х) =О. Пусть у Е Н~, х е Н. Так как оператор А самосопряженный, выполнено равенство (Ау, х) = (у, Ах). Но Н вЂ” инвариантное подпространство оператора А, т.е. Ах Е 'Н для вектора х е 'Н. Поэтому (у, Ах) = О, так как вектор у Е 'Н~ ортогонален любому вектору из Н, в частности вектору Ах. Следовательно, (Ау, х) = О, что и требовалось доказать. ~ Мы видели, что кратность собственного значения и размерность соответствующего собственного надпространства линейного оператора могут не совпадать (см. пример 5.7).
Эти две характеристики совпадают, если линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, является самосопряженным. 195 Д.6. и Ипаарпаптпые подпроетрапетаа Теорема 6.8. Пусть Л вЂ” собственное значение самосопряженного оператора А, действующего в евклидовом пространстве Е. Тогда кратность собственного значения Л равна размерности отвечающего этому значению собственного подпространства 2(А,Л) линейного оператора А.
Собственное подпространство 2(А, Л) самосопряженного оператора А является инвариантным подпространством этого оператора. Поэтому, согласно теореме 6.7, ортогональное дополнение 2(А, Л) ~ также является инвариантным подпространством самосопряженного оператора А. Пусть йш2(А,Л) = й, а с11ш2(А,Л)~. =1. Выберем в линейных подпространствах 2(А,Л) и 2(А,Л)~ базисы е =(е1 ... еа) и д = (д1 ... д~) соответственно. Так как 2(А,Л) ®2(А,Л)л =Е, система векторов (е д) является базисом евклидова пространства Е.
Рассмотрим в этом базисе матрицу А оператора А. Для любого вектора е; системы е имеем Ае; = Ле;, так как е; принадлежит собственному подпространству 2(А,Л) линейного оператора, отвечающему собственному значению Л. Для каждого вектора д системы д имеем Ад- = а 1д1 +... + а ~да так как С(А, Л)~- — инвариантное подпространство оператора А, а д — базис этого подпространства. Эти разложения означают, что матрица А оператора А в базисе (е д) имеет блочный вид: ЛЕь 0 где Еь обозначает единичную матрицу порядка я, а блок М представляет собой квадратную матрицу порядка 1, состоящую из коэффициентов разложения векторов Аду в базисе (е д): аы ащ ..
ап аг1 аэз .. аж ап щг ... ап 196 б. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Исходя из блочного представления матрицы А получаем вид ее характеристического уравнения: дл(т) = бе1(А — тЕ„) = (Л вЂ” т)" бе1(М вЂ” тЕд = = (Л вЂ” т) ~м(т), (6.9) где Е„н Е~ — единичные матрицы порядков и и 1. Отметим, что матрица М представляет собой матрицу в базисе д линейного оператора, являющегося ограничением линейного оператора А на его инвариантное подпространство 2(А,Л)~.
Оператор А не имеет в подпространстве л;(А,Л).1 собственных векторов с собственным значением Л. Поэтому Л не является собственным значением матрицы М, и из представления (6.9) заключаем, что собственное значение Л матрицы А имеет кратность Й. ~ Доказательство теоремы 6.6 опирается на свойства инвариантных подпространств. м Пусть Л1, ..., Лл — собственные значения самосопряженного оператора А, а т1, ..., ть — их кратности. Так как характеристическое уравнение самосопряженного оператора имеет только действительные корни, сумма кратностей т1 + ... + ть собственных значений равна размерности и евклидова пространства б'.
Рассмотрим собственное подпространство Я; оператора А, соответствующее собственному значению Л;. Размерность этого линейного подпространства, согласно теореме 6.8, совпадает с кратностью т; собственного значения Л;. Выберем ортонормированный базис в линейном подпространстве Я;, который будет состоять из т; собственных векторов самосопряженного оператора А,попарно ортогональных и имеющих единичную длину. Объединив выбранные базисы в одну систему, получим систему иэ и собственных векторов единичной длины, любые два из которых ортогонлльны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
