IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Но этот определитель совпадает с саа, т.е. с4 > О при й= 1,и. Достаточность. Используем метод математической индукции по количеству и переменных квадратичной формы. При и = 1 утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для всех квадратичных форм от й переменных, й < и — 1. Рассмотрим произвольную квадратичную форму ~(и) с матрицей А = (а;~) в базисе е = (е1 ... е„), у которой все угловые миноры положительны.
Квадратичная форма ~„1(хы..., х„1) = = ~(хм...,х„1,0) от п — 1 переменных определена на линейном оодпростпранстпве Ми 1= арап(е1,...,е„1) и имеет матрицу, совпадающую с матрицей минора Ь„ь Так как все угловые миноры для Ь„п они же угловые миноры матрицы А, положительны, согласно предположению математической индукции квадратичная форма у„1 является положительно определенной. Заменой базиса (е1 ... е„1) подпространства Я„1 новым базисом (у1 ...
у„1) мы можем привести квадратичную форму Д„1 к диагональному виду: У -1(ж) =Л1яд+...+Л„де~ м Л; >О, а=1>п — 1. (8.9) В базисе (у1 ... Уи 1 е„) квадратичная форма у(х) имеет вид п-1 У(ж) = ~~) Л;х~+2~ Ь;„я,х„+Ь„„я~, 232 8. КВАДРА ТИ ЧНЫЕ ФОРМЫ так как при х„= 0 она совпадает с квадратичной формой Д„ Преобразуем последнее выражение для ~(х), выделял квадраты по переменным хы ..., х -~.' У(х) = ЕЛ;(хв+ Ихв)2+ Лнх2, где д = Ь;д/Л;, 2 = 1, н — 1, Лн = Ьан Л!рд ° ~н-ьан — 2 2 2 полнив линейную замену переменных х'; = х;+ рлх„, 1 = 1, и — 1, х'„= х„с невырожденной матрицей, приходим к квадратичной форме канонического вида У(*) = Л1(х1)'+".
+ Л.(4)2, (8.10) в которой, согласно (8.9), коэффициенты Л2, ..., Л„2 положительны. У определителя матрицы квадратичной формы знак не зависит от выбора базиса. Поэтому в представлении (8.10) имеем Л~...Л„~Л„> О, так как Ь„> О. Отсюда следует, что Л„> О, так как все остальные коэффициенты Л; положительны. Таким образом, в представлении (8.10) все коэффициенты положительны и квадратичная форма Дх) положительно определена. ° Следствие 8.1. Для того чтобы квадратичная форма н переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно,-чтобы выполнялись Неравенства — Ь| > О, Ь2 > О, -Ьз > О, ..., ( — 1)"Ь„> 0 (знаки угловых миноров чередуются начиная с минуса). ~ Если квадратичная форма Дх) отрицательно определена, то квадратичная форма — Дх) положительно определена, и наоборот.
Матрицей квадратичной формы -((х) является матрица — А, противоположная матрице А квадратичной формы Дх). Согласно критерию Сильвестра, для положительной определенности квадратичной формы — ~(х) необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры Ь'„г = 1, и, матрицы — А были положительны. Но при умножении матрицы А на число — 1 все 233 З.б. Критерий Сильвестра ее элементы умножаются на зто число и поэтому Ь'„= ( — 1)'Ь„, где сь„— угловой минор порядка т матрицы А.
Таким образом, квадратичная форма — 1(х) положительно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (-1)тЬ, > О, т = 1,п, и это условие эквивалентно тому, что квадратичная форма Дх) отрицательно определена. > Следствие 8.2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено хотя бы одно из условий: — один из угловых миноров равен нулю; — один иэ угловых миноров четного порядка отрицателен; — два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
~ Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной — в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если имеется нулевой угловой минор или один из угловых миноров четного порядка отрицателен, то, согласно теореме 8.6 и следствию 8.1, эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.
То же можно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременнзя. Ь Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами ее матрицы. Поэтому термины, введенные определением 8.3, можно перенести на симметрические матрицы. В частности, симметрическую матрицу А называют положительно (отпрнцагпельно) определенной и пишут А > 0 (А ( 0), если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма.
Согласно теореме 8.6 и ее следствиям, симметрическая матрица положительно определена, если 234 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ все ее угловые миноры положительны. Симметрическая матрица отрицательно определена, если у ее угловых миноров знаки чередуются начиная со знака минус. Следствие 8.3. Если симметрическая матрица положительно определена, то все ее диагональные элементы положительны. ~ Если А = (а; ) — симметрическая положительно определенная матрица порядка и, то ее первый угловой минор положителен, т.е. аы = Ь1 > О.
Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для диагонального элемента аы, докажем что и аи > 0 при 1 > 1. В квадратичной форме я Ая, х = (ям..., х„) сделаем замену переменных х1=у;, х;=у1, х =у при1ф1,ю'. В новых переменных матрица А' = (а; ') квадратичной формы такова, что ач = а' > О. ~ Рассмотрим примеры на применение критерия Сильвестра. Пример 8.7. Квадратичная форма х Ах от трех перемент ных с матрицей А= 0 1 1 положительно определена, так как Ь1 = Ьз = Ьз = 1 > О.
Пример 8.8. Квадратичная форма х Ах от трех перемент ных с матрицей А= — 3 1 -1 является знакопеременной, так как она невырождена (Ьз ф 0) и Л1=1>0, а Ьз=-8(0. 235 Д.8.1. Билинейные формы Пример 8.9. Квадратичная форма 2х1хг от двух переменных является знакопеременной, так как она невырождена (122 = -1 Ф О), а 2 1 = О. Пример 8.10. Квадратичная форма у(х1, хг, хз, х4) = = 4х1хз + 2хгх4 + х4 имеет угловые миноры 1.11 = 1лг = 4зз = О, Ь4 = 4 и, согласно следствию 8.2, является знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное преобразование вида квадратичной формы: 1 (Х1~хг)ХЗ~Х4) = (Х1 +ХЗ) — Х2 (Х1 — ХЗ) + (Х2+ Х4) Дополнение 8.1.
Билинейные формы Функцию Ь(х,у) от двух переменных, определенную в линейном лрослЗранслгве А"., называют билинейной формой, если эта функция линейна по каждому из своих аргументов, т.е. для любых действительных 42 и )1 и любых веклгоров х, у, х Е Е выполняются равенства Ь(ах+13у,х) = аЬ(х,х)+)1Ь(у,я), Ь(х,ау+,Вх) = аЬ(х,у) + 12Ь(х,х). Пример 8.11. Частным случаем билинейной формы является скалярное произведение.
Действительно, аксиомы в) и г) скалярного умножения означают, что скалярное произведение как функция от двух переменных линейно по первому аргументу, а в силу аксиомы а) скалярное произведение линейно и по второму аргументу. Выберем в п-мерном линейном лросльранслгве Е некоторый базисе=(е1 ... е„). Для билинейной формыЬ(х,у) обозначим Ьй — -Ь(е;,еу), 4,2 =1,л.
Тогда для любых векторов х и у т т со столбцами координалз х = (х1 ... Х„) и у= (у1 "° уи) в 23б 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ базисе е и и и а п а Ь(х,у)=ЬЯхье;,~ у е ) ='~ Ях;у,Ь(е;,е,)=~~ Д Ьухьу,. ~=1 1=1 ы11=1 з=11=1 Используя квадратную матрицу В = (Ь;.) порядка н, можем записать полученное представление в матричном виде: (8.11) Ь(х,у) = х Ву. Матрицу В называют матприцей билинейной формы.
Тройное произведение, стоящее в правой части (8.11), нам уже встречалось (см., например, лемму на с. 185). Кстати, эта лемма показывает, что разным билинейным формам соответствуют разные матрицы. Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей матрицей в произвольно выбранном базисе. Кроме того, из леммы следует, что любая функция Ь, имеющая представление (8.11), является билинейной формой, и В является матрицей этой билинейной формы. Основываясь на этом, выясним, как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса. Пусть билинейная форма Ь имеет в базисе Ь матрицу Вь, а в базисе е матрицу В,.
Обозначим через У матрицу перехода из базиса Ь в базис е. Тогда для любых двух векторов х, у со столбцами координат хь, уь в базисе Ь и хе, у, в базисе е имеем Ь(х у) =хьАьуь=Ях.) АьКу.) =хеШ Аьйу' Сравнивая полученное представление с (8.11), делаем вывод, что матрица 0 Аь|1 является матрицей билинейной формы в базисе е, т.е. А, =У АьУ. (8.12) Представление (8.11) билинейной формы в базисе похоже на запись (8.2) квадратичной формы в матричном виде. Кроме того, матрица билинейной формы преобразуется по тому же 237 Д.8.1. Билинейные формы закону, что и матприиа кеадратпичной формы (ср. (8.4) и (8.12) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
