IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Классификация поверхностей второго порядка н пространстве Классификация поверхностпей второео порядка в пространстве аналогична классификации кривых второго порядка на плоскости. Но количество уравнений каноническоео вида при этом возрастает. Если ранг квадратичной формы новерхностпи впьороео корлдка равен трем (г = 3), то возможны два варианта (см. (9.13) ): оХ + фУ~+ уИ~ = 1, Х'+ д'+.уяг = О где коэффициенты а,,9, у ненулевые.
С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов и перестановки переменных получаем следующую таблицу канонических видов: Хг эллипсоид, однополостный гиперболоид, — + аг Х2 — + а2 Х2 + аг Х2 + 62 сг у2 уг — 1 двуполостный гиперболоид, г+ а Х2 конус, Если ранг квадратичной формы поверхности равен двум (г = 2), то иэ уравнений канонического вида (9.13) получаем два варианта: аХ +рУ~= у, оХ2+ ЯУг Р + аг Хг — + г у2 уг — + — =1 62 сг уг ог — — — =1 62 сг уг ог — 1 62 сг уг ог — — — =О 62 сг уг 32 — + — =О 62 с2 пустое множесгво (мнимый эллипсоид), точка (вырожденный эллипсоид). 9.6.
Классификация иоверкиостей второго порядка 259 где ся„В Ф О. В первом варианте одно из переменных, Я, не входит в уравнение, и мы получаем виликдркческую поверх- ность с образующей, параллельной оси ОЯ, и направляющей в плоскости ХОУ, которая является кривой второго порядка с квадратичной формой ранга 2. Направляющая определяет тип поверхности согласно классификации кривых второго порядка: Х2 У2 — + — = 1 — эллиптический цилиндр аз оз 1 Хг Уг — + — = -1 — пустое множество (мнимый цилиндр) ая Р > Х У вЂ” — — = 1 — гиперболический цилиндр, а2 б2 х — — — = Π— пара пересекающихся плоскостей, аэ б2 Х У вЂ” + — =О а~ и' — прямая (вырожденный эллиптический цилиндр).
Если ранг квадратичной формы поверхности равен единице (т = 1), то уравнения канонического вида (9.13) приводят к двум случаям: ссХ =у, сяХ~ =У в которых а ф О. В этих двух случаях в уравнении также отсутствует переменное Я. Значит, это цилиндрические поверхности Во втором варианте мы получаем параболоиды. С учетом возможного изменения знаков приходим к двум каноническим уравнениям, различающимся знаками в квадратичной форме поверхности: Х У вЂ” + — = Я вЂ” эллиптический параболоид, а2 бэ х — — — = Я вЂ” гиперболический параболоид. а2 от 260 9.
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА с образующей, параллельной оси ОЕ, и направляющей, которая расположена в плоскости ХОУ и представляет собой кривую второго порядка с квадратичной формой ранга 1. Всего полу- чается четыре варианта канонических уравнений: Х =2рУ, рфО, параболический цилиндр. Вопросы и задачи 9.1.
В чем состоит различие между ортонормированным базисом и прямоугольной системой координат в евклидовом пространстве? 9.2. Сколько существует канонических видов кривых второго порядка? 9.3. Можно ли прямую на плоскости задать уравнением второго порядка? 9.4. В уравнении второго порядка от двух переменных коэффициенты при квадратах переменных имеют разные знаки. Какую кривую может описывать такое уравнение? 9.5. Определите, какие кривые описываются в прямоугольной системе координат следующими уравнениями: а) хг + уг + ху+ х+ у — 1 = О; б) хг+4ху — буг+2у 0 в) хг+ху=О; г) ху+уг = 1; д) ху+ х+ у+ 1 = О. Хг=О Х =аг, а~О, Х =-аг,ауЕО, двойная плоскость, пара пересекающихся плоскостей, пустое множество (мнимая пара плоско- стей), Вопросы и задачи 261 9.6.
Квадратичная форма в уравнении второго порядка от трех переменных является положительно определенной. Какую поверхность может описывать это уравнение? 9.7. Определите, какие поверхности описываются в прямоугольной системе координат следующими уравнениями: а) хз+ уз+ аз+ 2ху+ у = 0; б) ху+хг+уг=1; в) хг + 4ху+ уз+ 2хз+ зз = 5 9.8. Приведите к каноническому виду следующие уравнения второго порядка и постройте кривые в исходной системе координат: а) 16хз — 24ху+ 9уз + 19х — 8у + 4 = 0; б) 10хз + 12ху + 5уз + 4х — бу = 0; в) 15хз+1бху — 15уз+ 44х+62у+13 = 0; г) 7хз — 48ху — 7уз+ 34х+62у — 98 = О. 9.9.
Приведите к каноническому виду следующие уравнения поверхностей второго порядка и постройте эти поверхности в канонической системе координат: а) 2х~1 + 2хзз+ 9х~з — 4х1хз+ 4хзхз = 1; б) 4хз1 + 4хз з+ хз ~+ 2х1хз — 4хзхз + 4х1хз = 2; в) 2хз1+Зхз+2+хзз+4х|хз+4х|хз+2хз — 4хз = 1; г) Зхз1 + Зхз~ + бхз ~— 8хзхз + 4хзхз + 4х1хз + 32х1 + 44хг + + 20хз = 15' д) 2х~1 + Зхз~+ 4хзз — 4х1хз — 4хзхз — бхзбхз — 3 = 0; е) х, — хз + 5хз — бх1хз — 4хзхз + бх1 — 4хз + 2хз = 0; 2 з 2 ж) 5хз| + 5хзз + 8хз з— 8х1хз — 4х1хз — 4хзхз + 18х1 — Збхз + +9 =0. 10.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ В различных приложениях наряду со скалярными и векюорнмми величинами активно используются и тензорные величины. Понятие тензора можно вводить по-разному. Согласно одному из подходов, говорят, что в линейном пространстве задан тензор, если каждому базису в соответствие поставлена упорядоченная система чисел (компонент тензора) и преобразование втой системы при переходе из одного базиса в другой подчиняется определенному закону.
Компоненты тензора нумеруются, как правило, несколькими индексами, которые ставятся не только внизу, но и вверху буквенного обозначения. В рамках тензорного исчисления разрабатываются приемы и правила преобразований компонент тензоров при операциях над ними. 10.1. Сопряженное пространство Определение 10.1. Отображение ~: .С -) Ж, которое определено на линейном аростравствве Е и принимает действительные значения, называют линейной функцией (также .аинейной формой,,линейным фумициоиа,аом), если оно удовле творяет двум условиям: а) Дх + у) = У(х) + 1'(у), х,у Е Е; б) ДЛх) =Л~(х), хЕЕ, ЛЕЙ. Сравнив данное определение с определением 4.1 линейного операгаора, увидим много общего. Если рассматривать множество действительных чисел как одномерное линейное пространство, то можно сказать, что линейная функция — зто линейный оператор, пространство образов которого одномерно.
263 20.2. Сопрпжеппое поострапстпо Выберем в линейном пространстве Е некоторый базис е = =(е1 ... е„). Тогда длялюбого векторах 6 А".с координатами т х=(х1 ... х„) ~(х) = ~(х~е1 +... + х„е„) = х1 ~(е~ ) +... + х„,1(е„) = = а1х1+... + а„х„= ах, где а = (а~ ... а„), а; = У(е;), 1 = 1, и. Поэтому линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах. Наоборот, если функция ~(х) через координаты х вектора х выражается в виде ((х) = ах, то эта функция линейная, а строка а составлена из значений этой функции на базисных векторах. Таким образом, между множеством линейных форм, заданных на линейном пространстве С, и строками длины и установлено взаимно однозначное соответствие.
Линейные формы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам: (~+д)(х) = ~(х)+д(х), (Л~)(х) = ЛУ(х). Введенные таким способом операции превращают множество линейных форм в пространстве Е в линейное пространство. Это линейное пространство называют сопряженным просгвранстпвом по отношению к линейному пространству Е и обозначают Е*.
Опираясь на базис е, выбранный в пространстве Е, построим базис в сопряженном пространстве .С*. Для каждого вектора е, из базиса е рассмотрим линейную форму ~', для которой Яе;) = 1 и ('(е„) = О для всех векторов е, кроме е;. Мы получим систему линейных форм ~~, ..., у" Е Ю'. Покажем, что это линейно независимая сисшема. Пусть некоторая линейная комбинация этих форм равна нулевой линейной форме ~ = а~,(1+... + а„~" = О.
Форма ~ на всех базисных векторах 264 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОН АЛГЕБРЫ принимает нулевые значения. Но ~(е1) = (а1~ +... + а„~")(е;) = = а1~1(е1) +... + а;~1(е1) +... + а„~" (е;) = =а1.0+...а; 1+...+а„О=а;, 1=1,и. Нулевые значения ~ на базисных векторах эквивалентны равенствам а; = О, 4 = 1, и, и поэтому система линейных форм ~1, ..., ,1" линейно независима.
Система линейных форм ~1, ..., у" является базисом в сопряженном пространстве. Действительно, так как это линейно независимая система линейных форм, то достаточно доказать, что любая линейная форма из 1".' является их линейной комбинацией. Выберем произвольную линейную форму У из Е' и пусть а1, ..., а„— значения формы ~ на базисных векторах. Эти значения однозначно определяют линейную форму.
Но линейная комбинация 1' = а1~1+... + а„~" также является линейной формой, которая на базисных векторах принимает те же значения а1, ..., а„. Значит, эти две линейные формы совпадают, и мы получаем равенство у = ~' = а1~1+... + а„~", т.е. разложение произвольно выбранной линейной формы по системе форм у1 уь Приведенное рассуждение показывает, что сопряженное пространство Е' имеет ту же размерность, что и Ю. Построенный нами базис ~1, ...,,1" зависит от выбора базиса е в пространстве Е. Определение 10.2. Базисы е1, ..., е„и у1, линейного пространства Е и сопряженного пространства Е* называют биортпогона,явными, или взаимными, если ~'(е ) =6' = (О, 1фУ; 265 10.1. Солрвженное пространство Если базисы е1, ..., е„и 11, ..., 1"л взаимны, то координатами произвольной формы 1 в базисе 11, ..., 1л являются значения этой формы на векторах взаимного базиса е1, ..., и„.
При совместном рассмотрении линейного пространства С и сопряженного пространства С* элементы каждого из этих пространств называют векторами, но элементы сопряженного пространства .С* именуют есовариантпмььмп венепорами (есоееестпоралеп), а элементы из линейного пространства С— нонтправариамтпиылеи еемтпорамп (или просто векторами).
Координаты тех и других определяются преимущественно во взаимных базисах, при этом у координат контравариантных векторов индекс ставится вверху, а у ковариантных — внизу. На запись 1 (х) можно смотреть двояко. Зафиксировав форму у, мы варьируем вектор х, получал всевозможные значения линейной формы. Но если мы зафиксируем вектор х и будем варьировать линейную форму 1, то получим функцию, определенную на сопряженном пространстве С'.
Нетрудно убедиться, что эта функция линейная, так как, согласно определению суммы линейных форм и произведения линейной формы на число, (1+д)(х) = 1(х)+д(х), (Л1)(х) = ЛДх). Итак, каждому вектору х Е С соответствует линейная форма на сопряженном пространстве С, или элемент двойного сопряженного простпрвнстпва (С*)* = С'*. Мы получаем отображение у: С -~ .С'*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
