IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обозначим через ~о~ количество инверсий в перестановке о (НЦ и рассмотрим сумму А' = —, ~~),(-1)~~~А, а (10.3) которы беретсл по всем перестановкам и иэ а элементов. Операшпо преобразовании А -+ Аа называют а.аьтпернироеанием по укаэанной группе индексов. В результате альтернирования тевзора получается тензор, кососимметрический по группе индексов. Действительно, перестановка двух индексов в группе меняет четность каждой перестановки и в сумме (10.3). Значит, каждое слагаемое и вся сумма в целом меняют знак. В случае тензора а; типа (2,0) альтернирование выглядит наиболее просто: 1 (а ), =-(аа); = -(а; -а;).
1 е 1 Х(Х17 ' $ХръУЪъ' )де)У '' ФУЕ д '' д ) 1 81 = р(и1,",и Р,",ЯЫу~,",у.д "д) имеющую тип (р+г, д+а). Аналогичны операция существует и для тензоров. Произведение тензоров. Две полилинейные формы можно перемножить, образуя функцию от большего числа переменных. Например, из полилинейных форм у(и1,..., жр, У1,..., Уе) и ф(у1,...,у,;д1,...,д') типов (р,д) и (г,а) можно образовать новую полилинейную форму 284 10.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОН АЛГЕБРЫ Определение 10.10. Произведением двух тпензорое А = а~'"'~' и В = 6~'"'~;, типов (р,д) и (г,з) называют тензор С = А®В типа (р+ г,д+з) с компонентами с"."'~' '"'' =а~'"'~'Ь""~' . =а,,"', Необходимо, конечно, убедиться, что указанный набор компонент действительно представляет собой тензор, т.е. меняется при замене базиса по тензорному закону (10.1).
Непосредственная проверка закона изменения достаточно сложна. Можно ее обойти следующим образом. Каждый тензор можно трактовать как полилинейную форму такого же типа. При этом произведению тензоров будет соответствовать произведение полилинейных форм, так как компонентам перемножаемых тензоров будут соответствовать координаты полилинейных форм, т.е. значения этих форм на различных комбинациях базисных векторов. Убедиться же в том, что при перемножении полилинейных форм получается полилинейная форма, несложно. Произведение тенэоров не является коммутативным.
Действительно, при перестановке сомножителей меняется порядок индексов в их произведении. А это ведет к изменению результата. Чтобы проанализировать ситуацию подробнее, можно рассмотреть произведение двух новехтпоров А = а; и В = Ь . Их тензорным произведением будет ковариантный тензор С = с;.
ранга 2 с компонентами с; = а;6 . Если изменить порядок сомножителей, то получим с'; = 6сз1 = с;, т.е. тлензор С', пьрансионированный к тензору С. Тенэоры С и С' совпадают, если каждый из них является симметрическим. Например, если то сп =~~дз =1, сз~ =Ьд~ =О, и поэтому Л®ду Фд18Л. тивиым по отношению к сложению. Это напоминает свойства умножения линейных операторов. Однако отметим, что произведением двух линейных операторов является линейный оператор, а их произведением как тенэоров является тензор типа (2, 2), который трактовать как линейный оператор нельзя. Эти две операции принципиально разные, хотя и обладают некоторыми одинаковыми алгебраическими свойствами.
Произведение тенэоров открывает воэможность получать новые тенэоры иэ тенэоров более низкой валентности. Отталкиваясь от векторов и ковекторов, мы можем получать тензоры любого типа. Однако не каждый тензор может быть представлен в виде произведения тензоров. Например, билинейная форма, являющаяся произведением двух ковекторов, имеет матрицу специального вида, ранг которой равен единице. В качестве контрпримера достаточно взять билинейную форму с рангом, равным 2. Оказывается, что любой тенэор типа (р,д) может быть представлен в виде линейной комбинации элементарных тензоров вида е' З... ЗеЯЗр1 З...
Зря, являющихся произведением р ковекторов е' и а векторов у . Действительно, вспомним базис в пространстве Трд тензоров типа (р,д), рассмотренный в доказательстве теоремы 10А. Каждый из тензоров этого базиса является элементарным. Тенэор 2' ' "' ', у которого еди- 31- Ле ' яичное значение имеет компонента с индексами нижними 11, ..., зр и верхними ум ..., )я, является произведением Т ,'"" = ~" З... З ~" Зей, З... Зе; векторов базиса (е1 ... е„) и ковекторов двойственного ему базиса (у' ... у"). Поэтому любой тенэор А = а~,'"'~' представим в виде А = а1'„" " .У" З...
З У" З е,, Э... З е;,. 286 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Свертывание. Если тензорное умножение позволяет получать тензоры более высокой валентности, то следующая операция, наоборот, понижает валентность тензора. Определение 10.11. Сверрпмоб рпензора А = а~,'"'~' типа (р,д) по одному верхнему и одному нижнему индексам, например по индексам 1» и )1, называют тенэор В = Ь~," ~' типа (р — 1, о — 1) с компонентами Ьн..о, »ор -~, 1а.лр ыр ..зр' Напомним, что наличие одинаковых верхнего и нижнего индексов предусматривает суммирование по этому индексу (правило индексов).
Можно убедиться, что введенная операция приводит к теюору, т.е. для нового набора компонент остается верным закон (10.1) преобразования тензоров. Пример 10.11. Сверткой тенэора типа (1,1) является тензор валентности О,т.е.инвариант. Тензор типа (1,1) представляет собой совокупность элементов матрицы линейного оператора, а его свертка — это сумма диагональных элементов матрицы оператора, т.е. не что иное, как след марприиы линейного оиерараора, который от выбора базиса не зависит.
Говорят также о сверрпке двух тпеизоров, подразумевая под этим свертку произведения этих тензоров, причем один из двух индексов, по которым выполняется свертка, относится к первому тензору, а второй — ко второму. Например, выражение а~.ЬлРозначает свертку тензоров А типа (2,1) и В типа (1, 2), в результате которой получается тензор типа (2, 2).
Свертка тенэора или двух тензоров может выполняться не по одной паре индексов, а по нескольким. Например, рассмотрим теюор а( типа (1, 1). Проюведением этого тензора на себя будет тевзор а~а~» типа (2,2). Это произведение можно свернуть по двум парам индексов. Получим инвариант (тензор типа (0,0)) а~а'., который называют инвариантом второго по двум парам индексов а,'атй дает квадрат инварианта первого порядка. В евклидовом пространстве выделен ковариантный метпрический тпензор д;.
и контравариантпный метрический тпензор дб. Свертка тенэора А типа (р,д) с дб приводит к тензору типа (р+ 1,д — 1) и представляет собой операцию опускания индекса тпензора, а свертка А с дб приводит к тензору типа (р — 1 у+ 1), т.е. к поднлтпито индекса тпензора. Компоненты метрического тензора в ортонормированном базисе составляют единичную матрицу.
Поэтому в таком базисе опускание (поднятие) индекса выглядит как простая перестановка индекса сверху вниз (снизу вверх), т.е. различие между верхними и нижними индексами исчезает. Если рассматривается евклидова пространство и в нем только ортонормированные базисы, то все индексы можно записывать или только вверху, или только внизу.
Возникающий при этом объект называют евклидовым тпензором. Поливекторы. Поливектпорами (мультпивектпорами) называют ковариантные и контравариантные кососимметпрические тензоры. Контравариантный кососимметрический тензор типа (О,д) называют также д-вектором, а ковариантный кососимметрический тензор типа (р, 0) — р-формой. В частном случае 2-форма, т.е. кососимметрический тензор типа (2,0), представляет собой кососимметприческуто билинейную ~орму с кососимметрической матрицей. Легко проверить, что множество поливекторов одного типа, например (р,О), образуют относительно сложения тенэоров и умножения тензора на число линейное пространство.
Это линейное пространство является линейным подпространством в пространстве Тр р всех тензоров типа (р, 0). Компоненты кососимметрического тензора, имеющие хотя бы одну пару одинаковых индесов, равны нулю, так как, с ющая компонента меняется на компоненту с противоположным знаком в силу условия кососимметричности, а с другой стороны, перестановка одинаковых индексов не приводит к изменению компоненты. Значит, валентность ненулевого поливектора не может превышать размерности п линейного пространства, поскольку у тензора валентности больше и любая компонента имеет одинаковые индексы.
У кососимметрического тензора валентности и, где и— размерность линейного пространства, имеется п! ненулевых компонент. Например, для ковариантного кососимметрического тензора компонента а;, л„отлична от нуля, если все индексы различны, а все такие комбинации индексов получаются при помощи перестановок порядка п. Все ненулевые компоненты такого тензора различаются лишь знаком, так как получаются друг из друга перестановкой индексов.
В частности, отсюда следует, что любые два ненулевых кососимметрических тензора валентности и одного типа могут быть получены друг иэ друга умножением на число. Это означает, что линейное пространство п-векторов (п-форм) является одномерным. Итак, у любого кососимметрического тензора имеются компоненты, которые различаются лишь знаком или совпадают. Чтобы определить тенэор, достаточно указать те компоненты, у которых индексы упорядочены, например, по возрастанию. Все остальные компоненты можно получить при помощи перестановки индексов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
