IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Таким образом, подобно тому, как каждому вектору соответствует столбец его координат, каждой поли- линейной форме соответствует набор чисел, упорядоченных с помощью р+ у индексов. Эти числа назовем ноординатпами полилинейной формы. Термин оправдан, так как в линейном пространстве Рр несложно указать базис, в котором эти числа действительно будут координатами данной полилинейной формы.
Этот базис будет состоять из нР+~ полилинейных форм, и поэтому с1 1т Р = нР'»ч. Уже по приведенной выкладке видно, что большое количество знаков суммы загромождает вычисления. Поэтому в тензорном исчислении используют аревало суммировани* по умолчанию, или правило инденсов. Индексы в выражениях тензорной алгебры ставят вверху и внизу.
Если 272 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ в выражении какой-либо верхний индекс и какой-либо нижний индекс обозначены одинаково, то подразумевается, что по этому индексу проводится суммирование в пределах от единицы до размерности линейного пространства. При этом знак Е суммирования опускается. Например, формулу разложения полилинейной формы в базисе в соответствии с правилом индексов записывают так: «1елее мы будем использовать зто правило.
Итак, полилинейную форму в данном базисе можно представить набором ее координат. Выясним,как изменяются эти координаты при изменении базиса. Пусть Ь = (Ь1 ... Ь„) и с = (с1 ... с„) — два базиса в и-мерном линейном пространстве .С, Ь' = (6' ... Ь") и с* = (с~ ... с") — базисы в сопряженном пространстве .С', взаимные с Ь и с. Обозначим через У матрицу перехода из базиса Ь в базис с.
Теорема 10.3. Координаты «~~,'"'~' полилинейной формы у в базисе с связаны с координатами р,',""~' этой же формы в базисе Ь соотношениями Я« "д« „л«дд «1- 8« '«««р ~«о«« . зр «ъ« ' ' ' е«« ~р««- «р и«« где (и') = У вЂ” матрица перехода из базиса Ь в базис с; (е') = Ъ' = У 1 — матрица обратного перехода (верхний индекс соответствует номеру строки).
М Координата Д'";.', соответствующая фиксированному набо- РУ индексов ~1, ..., юр, уы ..., Ую пРеДставлЯет собой значение полилинейной формы: 9;,'-~~ =«р(с;„...,с;,; ',..., '). Используя выражение векторов нового базиса через старый при помощи матрицы перехода с1 — — 6|и,, с =е~Ь~, «с ««! 273 10.3, Тензоры находим = оУл! ...ол',и,",! ... и,'"!р(Ьг!,...,Ьг,; Ь'|,..., Ь") = — у1 оуя 8!-яд г! гр о89 !Р3 !- т и! Пример 10.4.
Для линейного оператора А с матрицей А = = (а'), который отождествляется с полилинейной формой типа (1,1) (см. пример 10.3), формула преобразования при переходе к новому базису, согласно теореме 10.3, имеет вид ал! = о! а'„и". Эта формула является координатной записью известной формулы А = У ! АУ преобразования матрицы линейного оператора (см. теорему 4.6). 10.3. Тензоры Определение 10.4. Говорят, что в и-мерном линейном пространстве Е задан тензор гпипа (р, д)*, если каждому базису Ь в Е сопоставлена упорядоченная система чисел а~,'"'~'(Ь), называемых номпонентами тензора, причем системы чисел, соответствующие разным базисам Ь и с, связаны между собой соотношениями где У = (и') — матрица перехода из базиса Ь в базис с; Ъ' = (и') — обратная к У матрица (верхний индекс у и' и о' обозначает номер строки в матрице).
Сумму р+ !7 называют ааленгпносгпью гпенэора (или его ранеом). Понятие тензора носит абстрактный характер: происхождение групп чисел, формирующих тензор, не играет роли. 'В литературе встречается и другой порядок составляющих в типе тензора: для р раз ковариантного и в раз контравариантного тензора тип обозначают (о,р).
274 20. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ Пример тензора типа (р,д) дают координаты полилинебноб формы типа (р,д). Действительно, закон преобразования полилинейных форм при замене базиса (см. теорему 10.3) и закон преобразования тензоров того же типа (см. определение 10.4) совпадают. Верно и обратное: любой тензор можно интерпретировать как совокупность координат некоторой полилинейной формы.
Если тенэору типа (р,д) с компонентами а~,'"'~'(Ь) в базисе Ь сопоставить полилинейную форму с координатами а~,'"'~'(Ь) в том же базисе, то в силу совпадения формул преобразования и в любом другом базисе компоненты тензора будут совпадать с координатами полилинейной формы.
Эти соображенин показывают, что тенэоры при необходимости можно трактовать как полилинейные формы и наоборот. Исходя иэ определения 10.4 можно предположить, что р > 0 и д > О. Но это необязательно. Например, если р= О, то в законе преобразования 10.1 не будет использоваться матрица У, а если д = О,то не будет использоваться У. Определение 10.5. Тенэор типа (р,О) называют коеа- риантпныМ а тенэор типа (О,д) — контпраеариантным Тензор типа (р,4) смешакиый, если р > О, д > О. Про такой тенэор говорят, что он р раз ковариантный и д раз контравариантный. Приведем простейшие примеры тензоров. Пример 10.5.
Допустима ситуация, когда р = д = О. Это означает, что объект описывается одним числом (индексов нет), причем зто число не зависит от выбора базиса (в законе преобразования нет суммирования и он приобретает вид а(с) =а(Ь)). Такой объект представляет собой тензор типа (0,0). Его также называют ииеариантпом. Можно также сказать, что инвариант — зто попросту скаллрнал величина. Пример 10.6. Тензор образуют координаты вектора. Это вытекает из интерпретации вектора как полилинейной формы типа (0,1) (см.
пример 10.1). Проверим непосредственно, 10.3. 2Ъвэорм 275 что координаты вектора представляют собой тензор типа (О, 1). Если У вЂ” матрица перехода из старого базиса в новый, а У— обратная к У, то столбец х новых координат вектора х связан со столбцом х старых координат соотношением х = Ух, а в тензорной записи это выглядит следующим образом: хд = ттттх*. Видим, что это преобразование координат совпадает с преобразованием (10.1) при р = О, д = 1. Рассуждая аналогичным образом, убеждаемся что ковектпор (линейная форма) представляет собой тенэор типа (1, 0).
Пример 10.7. Линейный оператор А, действующий в линейном пространстве Е, можно ассоциировать с полилинейной формой типа (1,1) (см. пример 10.3). Это значит, что линейный оператор можно рассматривать как тензор типа (1,1). Проверим это непосредственно. В данном базисе Ь линейный оператор описывается своей матрицей А. При переходе в новый базис с матрица А линейного оператора преобразуется в матрицу А согласно формуле А = У тАУ = УАУ.
Записав матрицы в тензорной форме (верхний индекс соответствует номеру строки в матРице, а нижний — номеРУ столбца), полУчим ат = итатти,". (см. пример 10А), т.е. формулу (10.1) при р = 1, о = 1. Значит, элементы матрицы линейного оператора при переходе в другой базис меняются как компоненты тензора типа (1,1).
Пример 10.8. Символ Хронекера — это тензор У ти- 1 па (1,1), который в любом базисе имеет значения У; = 1 для любого т и У = О, если т ~ у. Этот тенэор соответствует птоотсдестпвенному линейному оператпору, так как компоненты символа Кронекера соответствуют элементам единичной матрицы. Пример 10.9. В евклидовом просптрансптве Е заданное скалярное произведение представляет собой билинейную форму, т.е. тензор д, типа (2,0). Этот тензор называют коварианптнььн метприческим тпенэором.
Роль такого тензора (иначе, скалярного произведения) может играть любая симметприческал билинейная форма, порождающая положитпелъно определенную квадратпичную форму. 276 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ Евклидово пространство Е нзоморфно своему сопряженному Е', причем иэоморфиэм, определяемый скалярным произведением, не связан с выбором базиса (см. 10.1). Этот изоморфизм переносит скалярное произведение из Е в Е', порождая тензор д0 типа (0,2).
Этот тензор называют ионшраеарианпэным мепэричесиим пэензором. Компонентами ковариантного метрического тензора в данном базисе е являются элементы машриим Грома Г, так как, согласно определению метрического тензоре„д; = (е;, е ). Матрицей контравариантного метрического тензора дб в е являетсл матрица, обратная матрице Грама.
Действительно, компоненты тензора дб — зто элементы матрицы Грама Г' в базисе у, взаимном с е. Пусть У вЂ” матрица перехода из базиса е в базис у. Тогда у = еУ (у и е, как обычно, представляются в виде строк). Матрица Грама Г* для базиса у записывается в виде Г* = у у. Поэтому Г'=У У=У'еП=И1=К С другой стороны, Е = у" е = (еУ) е = У е е = У Г, откудаУ=(Г ) ~=Г ~иГ'=У=Г ~.
Примеры тенэоров можно почерпнуть в механике и физике. 4 Пример 10.10. Механические свойства твердого тела связаны с его моментами инерции относительно различных осей. Пусть для простоты тело состоит из конечной совокупности материальных точек, например нз Ф точек. Моменты инерции такого тела относительно координатных осей Ох~, Охэ, Охэ прямоугольной системы координат задаются формулами Ф Ф 11 = ~ 7пь((хь) + (хь) )~ 12 = ~~~ уйл((хл) + (хь) ), 1з = ~~> пцс((хь) + (хь) ), 277 10.4. Онервлнн с тенэоренн где хю хю хь — координаты й-й материальной точки; тпь— 1 2 3 масса я-й материальной точки.
Если система координат изменилась, мы получим новую тройку моментов инерции, но зта новая тройка не может быть получена из старой при помощи только матрицы перехода, так как в формулы преобразования включаются и центробежные моменты Ф Ф Ф 112 = ~ тпихехю 113 = ~тпихлхю 123 = ~йъьхлхл. 12'Г~1 3%" 23 л=! 'ею1 й=1 Рассмотрим совокупность чисел Ф аб = Ятпвх~хю е, у' = 1, 2, 3, я=1 через которые выражаются как моменты инерции (например, 11 = а22+ а33), так и центробежные моменты (11 = аб при 3 у~ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
