IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При переходе к новой системе координат Ох1хзхз мы получим новую группу чисел а'1, которая связана с исходной группой следующим образом: Ф Ф. Ф 3=1 3=1 й=1 (в выкладке использованы закон х' = о,'х' преобразования координат радиус-вектора точки и правило суммирования по умолчанию для индексов г и в). Таким образом, группа чисел ай представляет собой набор компонент тензора типа (0,2) — тензора инерции.
10.4. Операции с тензорами Линейные операции. Мы видели, что множество полилннейных форм одного типа образует линейное пространстпво относительно обычных операций сложения функций и умноже- 278 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОН АЛГЕБРЫ ния функции на число. Каждой полилинейной форме соответствует юекзор, и, наоборот, любой тевзор можно реализовать как полилинейную форму. Значит структуру линейного пространства с множества полилинейных форм можно перенести на тензоры. Определение 10.6. Суммой двух рпекзорое А = а~,'-'~$ и В = Ь$,'"'~$ типа (р,д) называют тензор С = А+В = ср,'"'~' того же типа с компонентами с$1- .1$ а$1-0$ + Ь$1-0$ $1-.$р $1- $р $1- $р ' (10.2) Нетрудно убедиться, что набор компонентов с1,'"'~$, вычисляемых в каждом базисе по формуле (10.2), определяет тензор типа (р,$7).
Действительно, для двух базисов, старого Ь и нового с, с матрицей перехода У = (к';) и матрицей обратного перехода У = (е') Р"'~$(с) = а~""~$(с) + Ь""''$(с) = $1- $р $1- $р $1.. $р Видно, что набор компонентов с,',""$$ преобразуется по тензорному закону, т.е. согласно формуле (10.2). Введенная операция сложения тензоров одного типа согласуется с операциями сложения объектов, являющихся частными случаями тензоров. Для векраорое тензорное сложение совпадает со сложением векторов, для лккейкмя или биликейкыя форм тензорное сложение равносильно сложению функций.
Наконец, тензорное сложение ликейкых окерап$оров и их обычное сложение — одно и то же. Для полилинейных форм тензорное сложение означает сложение форм как функций. 279 10.4. Операции с теиаорами Определение 10Л. Произведением тпензора А = а~,'"'1в -иа дейстпеитпельное число Л называют тензор ЛА с компонентами Лав,'"'1в. Так же как и в случае сложения тензоров, убеждаемся, что в результате умножения каждой компоненты тензора на число Л мы получаем тензор того же типа. Умножение тензора на число в частных случаях сводится к умножению на число вектора, линейной или билинейной формы, линейного оператора. В интерпретации тензора как полилинейной формы умножение тенэора на число равносильно умножению функции на число.
Теорема 10.4. Множество Тр всех тенэоров типа (р,д) в п-мерном линейном простаранстпве Е относительно операций сложения тензоров и умножения тензора на число является линейным пространством размерностаи ттР+4. ~ Проверка аксиом линейного нростпранстава не представляет сложности.
Докажем утверждение о размерности пространства тенэоров. Для каждого возможного набора индексов ковариантных в1, ..., вр и контравариантных у1, ..., тв рассмотрим тензор Т '"' " с компонентами Й "' ') ~,"" в, причем равны ну1ь вв 11дв; ь р' лю все компоненты, кроме одной, индексы которой совпадают с индексами тенэора: (1 ',"'!');,'"'~в = 1. Тогда любой тенэор А = а~,'" ~в представляется в виде линейной комбинации указанных тенэоров: А = ат'"'1в Т" "'".
вь.эв Ун.д Докажем, что набор тензоров Т '"" образует линейно не- 11 — йв зависимую систему. Возьмем линейную комбинацию этих тензоров и приравняем нулевому тензору, у которого все компоненты равны нулю: о~,'"овТ,""' = 1Э. В левой части равенства стоит тензор, компонентами которого являются коэффициенты св";,'"'~в линейной комбинации. Так как этот тензор является нулевым, все его компоненты, они же коэффициенты линейной 280 Ня ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ комбинации, равны нулю.
Итак, из равенства нулю линейной комбинации следует равенство нулю ее коэффициентов. Значит, выбранная система тензоров линейно независима и является базисом в пространстве 7р . Подсчитаем количество тензоров в построенном базисе. Для этого необходимо определить количество всевозможных комбинаций иэ р+ а1 индексов. Так как индексы меняются независимо друг от друга и каждый индекс может иметь и возможных значений, то суммарное количество индексных комбинаций равно пг+Я. Следовательно, и 11-.ар базис Т, "" содержит и"+~ элементов, что равно размерности пространства Тр,д. В Транспонирование.
У полилинейной формы можно переставить какие-либо два аргумента одного типа (два вектора нли два ковектора). В результате мы получим, вообще говоря, новую полилинейную форму. Например,при перестановке аргументов билинейной формы мы получаем новую билинейную форму, матрица которой является транспонированной к матрице исходной формы. Такая операция не меняет билинейную форму лишь в случае, когда эта форма силамерприческал. Транспонирование матрицы в тензорной записи выглядит как перестановка местами индексов, указывающих номер строки и номер столбца.
Определение 10.8. Тензор В = Ь,","'~', полученный из тензора А = а~,'" ~а перестановкой двух первых нижних индексов: бра-Эа ра Эа а1аа..Лр ааа1..Лра называют рпранспоннрованным к тензору А. Транспонированными называют также тензоры, полученные перестановкой любой другой пары верхних нли нижних индексов. Нужно, естественно, убедиться, что если мы переставляем два верхних нли два нижних индекса, то в результате получаем набор компонент, меняющихся при замене базиса по 10.4, Операции с теиэораии 281 тензорному закону (10.1). При изменении порядка индексов набор компонент тензора в данном базисе остается неизменным, но меняется порядок этих компонент.
Например, компоненты тензора валентности 2 можно записать в матрицу. Тогда транспонирование тензора будет означать транспонирование матрицы. Но то же происходит и в общем случае. Компоненты тенэора валентности р + д можно рассматривать как элементы (р+ д)-мерной матрицы (при р+ о = 2 это обычная матрица, ассоциирующаяся с квадратом, при р+ о = 3 компоненты матрицы записываются в ячейки куба и т.д.). Если фиксировать все индексы, кроме двух переставляемых, мы получим в многомерной матрице плоское сечение, представляющее собой обычную матрицу. Транспонирование тенэора есть транспонирование каждого такого сечения. Перестановка в тензоре одного верхнего и одного нижнего индекса не имеет какого-либо содержательного смысла, так как при этом нарушается тензорный закон изменения компонент. Это лучше всего наблюдать на простых тензорах типа (1,1): наличие дополнительных индексов усложняет выкладки, но не дает принципиальных изменений.
Тензор типа (1,1) будем трактовать как линейный оператор. Тогда перестановка индексов в компонентах матрицы оператора означает транспонирование этой матрицы. Но транспонирование матрицы линейного оператора в разных базисах приводит к разным операторам. Чтобы такая операция была законной, нужно ограничиться рассмотрением только евклидова пространства и ортонориированныя базисов в нем. В этом случае транспонирование матрицы означает переход к сопряженному оператору. Операцию транспонирования можно усложнить, повторяя ее с разными парами индексов. Пусть, например, среди верхних индексов выбрана группа из и индексов.
Используя различные перестановки в этой группе индексов, мы можем расставить эти в индексов в любом порядке. Количество вариантов есть количество перестановок из в элементов, которое равно в! !1-2.61, [ПЦ. Операцию множественной перестановки индек- 282 Нь ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ сов мы также будем называть транспонированием, выделяя элементпарное тпранспонирование, заключающееся в перестановке пары индексов.
Определение 10.9. Тензор называют силтметприческим по группе индексов, если он не изменяется при любой перестановке в этой группе индексов. Тензор кососимметпрический по еруппе индексов (антписимметпрический по еруппе индексов), если при перестановке любой пары индексов из группы он меняет знак. Особый интерес в сваи с этим определением представляют ковариантные и контравариантные тензоры.
Симметпрический тпенэор — это ковариантный (контравариантный) тензор, симметрический по группе всех индексов. Аналогично понятие кососимметприческоео тпенэора, относящееся к ковариантным нли контравариантным тензорам. Симметрироваиие и альтернирование. Рассмотрим группу из г верхних (нижних) индексов у тензора А типа (рд), где г < д (г < р). Перестановкой этой группы индексов можно получить г! тензоров А„, включая исходный.
Умножим сумму всех этих тензоров на число 1/г! Мы получим новый тензор А'. который будет симметрическим по выделенной группе иэ г индексов. Описанную операцию преобразования тензора, в результате которой получается тензор, симметрический по группе индексов, называют симметприров анием. В частном случае пары индексов симметрирование выглядит наиболее просто.
Например, для тензора ай симметрирование состоит в получении нового симметрического тензора т в (а )0 = (а )1, — — — (ай+от,). 2 283 10.4. Оиераиаи с теазераии Существует также операция, которы позволяет из данного тензора получить тензор, кососимметрический по группе индексов. Рассмотрим группу из а верхних (нижних) индексов. Любой тенэор А, получаемый из тензора А перестановкой этих индексов, можно описать перестановкой о = (е1, ..., ю,) иэ а элементов, причем исходному тенэору будет соответствовать тождественная перестановка (1, 2, ..., а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
