IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда Р является не- вырожденной матрицей, а Р ' — ортогональной и верхней треугольной. Поэтому для любого ЯВ-разложения матрицы А имеем А = ЯВ = ЯРР ~В = (ЦР)(Р ~В) = Я'В' т.е. еще одно ЯВ-разложение матрицы А (при Р ф Е). Возникает вопрос, какие матрицы являются одновременно ортогональными и верхними треугольными? Пусть Р— ортогональная верхняя треугольная матрица.
Тогда, с одной стороны, Р ' = Р является нижней треугольной, а с другой стороны Р ~, будучи обратной к верхней треугольной матрице, является верхней треугольной. Одновременно оба условия выполняются, если матрица Р ~ является диагональной. Тогда и Р— диагональная матрица. Кроме того, так как РР = РР = РР ~ = Е, то диагональные элементы Р могут иметь лишь два значения 1 и — 1.
Используя подходящую диагональную матрицу, у которой на диагонали расположены числа 1 и -1, мы можем любое ЯВ-разложение А = ЯВ матрицы А видоизменить так, чтобы в верхней треугольной матрице В на диагонали стояли неотрицательные элементы. Действительно, надо рассмотреть матрицу Р = йая(р~, ..., р„), в которой р; = 1, если 1-й диагональный элемент матрицы В является неотрицательным, и р; = — 1 в противоположном случае. Тогда А = ЯВ= ЯР2В= = ЩР)(РЯ) = Я'В' и диагональные элементы матрицы В' все неотрицательны. Теорема 11.2. Если матрица А невырождена, то ее ЯВ-разложение, в котором диагональные элементы В неотрицательны, определено однозначно.
Ы. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ~ Отметим, что наличие нулевых диагональных элементов у матрицы В означает, что матрица А вырожденная, а для невырожденной матрицы матрица В в ее ЯВ-разложении не имеет нулевых диагональных элементов. Пусть А = ЯВ = Я'В'. Так как А невырожденная, то матрица В имеет обратную матрицу. Напомним, что Я ортогональна: Я Я = Е. Поэтому равенство ДВ = Я'В' равносильно следующему: Е = (Я Я')(В'В 1) = ЯВ, т.е. мы получили ЯВ-разложение единичной матрицы.
По предположению, диагональные элементы матриц В и В' положительны. Поэтому и верхняя треугольная матрица В имеет положительные диагональные элементы. Таким образом, нам достаточно доказать, что определено однозначно ЯВ-разложение единичной матрицы, т.е. 4 = В = Е. Из равенства фВ = Е следует, что В = Я 1 = Я, т.е.
верхняя треугольная матрица В является одновременно ортогональной. Поэтому она диагональная (см. вьппе), а ее диагональные элементы равны х1. Учитывая, что все диагональные элементы В положительные, заключаем, что В = Е. Но тогда и 4=4'=В=Е ~ Сингулярное разложение. Рассмотрим произвольный оператор А в евклидовом пространстве Е. Оператор А'А (А' — оператор, сопряженный к А) является самосопряженным, так как для любых векторов х, у Е Е, (А'Ая, у) = (Ая, Ау) = (х, А'Ау) .
Согласно теореме 6.6, в Е существует ортонормированный базис Ь = (Ь| ... Ь„) из собственных векторов оператора'А*А. Пусть Лм ..., ˄— собственные значения этого оператора, соответствующие векторам Ь1,..., Ь„, т.е. А'АЬ; = Л;Ь;, 1 = 1, и. Отметим, что все собственные значения Л; неотрицательны, так как л л4(ЬЮ Ьд (Ь4 л Ь ) = (Ь;, А*АЬ;) = (АЬ;, АЬ;) = ЦАЬД~ ) О. (11А) П.2. Рйй-разложение. Сингулярное разложение 305 Будем считать, что векторы в базисе Ь упорядочены таким образом, что последовательтность собственных значений не возрастает. Если среди собственных значений линейного оператора А'А Ь ненулевых, то Л1 >... Лл > 0 и Лл+1 =... = Л„= О.
Положительные числа 1б; = л/Л;, б = 1, й, квадраты которых являются собственными значениями линейного оператора А* А, называют сингуллрными числами линейного оператора А, а базис Ь иэ собственных векторов А'А — сингу алрным базисом оператора А. Рассмотрим систему векторов с; = АЬ,, б = 1, й. Эта система состоит из ненулевых попарно ортогональньгх векторов, так как, согласно (11А), !!сб!!2 = !!АЬ;!!2 = Л4 > О, (с;, с~) = (АЬ„АЬ3) = (Ь;, А*А63) = (6; ЛЗЬ1) = О, 1 ( б ( у ( Ус. Видим, что нормы векторов с; равны соответствующим сингулярным числам ул линейного оператора А. Положим е; = 1б, 'с;, 1= 1, Й, и дополним систему векторов е1, ..., еб векторами елен ..., е„до ортонормированного базиса е в евклидовом пространстве Е.
Пусть Я вЂ” линейный оператор, который каждому вектору Ь; сопоставляет вектор е;, т.е. ЯЬ; = е,, 1 = 1, п. Этот линейный оператор определен однозначно, потому что заданы образы всех векторов базиса Ь. Так как он переводит ортонормированный базис Ь в ортонормированный базис е, то является ортогональным (см. теорему 7.3). Рассмотрим линейный оператор Я = АЯ 1. Если б =1, й, то Яе,=А(Ц 1е;) =А6;=с;=бб;е;, а если 1 =й+1,п, то Яе; = А(Я 1е ) =АЬ; =0=0 е;. Таким образом, базис е является ортонормированным базисом собственных векторов оператора Я. Значит, этот оператор ~ г Лииеииал алгебРа 306 Ис ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ самосопряженный, так как его матрица в базисе е являет, ся диагональной (см. теоремы 5.6 и 6.2) и имеет внд Р— = й1ая(рм ..., пь, О, ..., О).
Обратим внимание, что ненулевые элементы матрицы Х) — это сингулярные числа линейного опреатора А. Из приведенного рассуждения вытекает, что любой линей-, ный оператор А в евклидовом пространстве может быть представлен в виде ЯЯ, где Я вЂ” самосопряженный линейный оператор с неотрицательными собственными значениями, а Я— ортогональный линейный оператор. Выясним, что это означает для матриц. Любая матрица А порядка п является матрицей некоторого линейного оператора А в и-мерном евклидовом пространстве Е. Представление А = ЯЯ этого линейного оператора означает, что для матрицы А имеет место мультипликативное разложение А = й~, где матрица Я симметрическая с неотрицательными собственными значениями, а матрица Я ортогональная. Такое представление называют полярным разложением матрицы А.
Пусть А = ٠— полярное разложение матрицы А. Так как матрица Я является симметрической и имеет неотрицательные собственные значения, существует такая ортогональная матрица Р и такая диагональная матрица Х) с неотрицательт ными диагональными элементами, что Я = Р ВР (см. теорему 7.7). В результате получаем мультипликативное разложение А = Р Р(РЯ = РЯ, где Р и ф — ортогональные матрицы. Это представление не является единственным: несложно заметить, что есть и другие разложения, отличающиеся от указанного порядком диагональных элементов в матрице Р.
Пусть А = РРЯ, где Р, Я вЂ” ортогональные матрицы, а диагональные элементы матрицы Ю неотрицательны. Тогда А А =(РО® (РРЯ) =Я ОР РРАХ =О Р~Я. т Полученное равенство означает, что А А и Пз представляют собой матрицы одного и того же линейного оператора А'А, П.2. ЯЯ-рллло!вевие. Сиигуллрвое релложевие 307 записанные в двух различных ортонормированных базисах, причем матрица Я вЂ” это матрица перехода из базиса, соответствующего матрице Р линейного опреатора, в другой базис, в котором матрицей оператора является А А. Матрицей обратт ного перехода, при котором матрица А А самосопряженного линейного оператора А'А преобразуется к диагональному виду Рл, т.е. перехода к базису из собственных векторов А'А, является матрица Я ! = Я .
Диагональные элементы матрицы Рз представляют собой собственные значения оператора А'А, т или, что то же самое, собственные значения матрицы А А. Количество ненулевых диагональных элементов матрицы Р равно рангу матрицы А А и совпадает с рангом матрицы А. Действительно, если Ь = (Ь| ... Ь„) — базис, в котором линейный оператор А*А имеет матрицу Рз, то, согласно сказанному выше, векторы АЬ; попарно ортогональны, а поэтому количество ненулевых среди них равно рангу линейного оператора А. Но это количество равно количеству ненулевых диагональных элементов матрицы Р~.
Отметим, что ненулевые диагональные элементы матрицы Р представляют собой сингулярные числа оператора А. Мультипликативное разложение А = РРЯ! где Р и Я— ортогонзльные матрицы, Р = дщ(1л!,...,ди) — диагональная матрица с неотрицательными диагональными элементами р! > ... > ди,называют синеуаарным разложением матрицы А, а диагональные элементы и!,..., д„ вЂ” сингулярными чпслалеп леатприцы А.
Можно показать, что указанное разложение определено однозначно, если матрица А невырождена. Из приведенных рассуждений вытекает следующая последовательность построения сингулярного разложении для невырожденной матрицы: а) находим собственные числа Л!, ..., Л„и ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А А, располагая собственные значения в порядке убывания; б) строим матрицу Р = с1!аб (им..., д„), где,и, = ~(А;, е = 1, п; !о 308 11.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ в) составляем матрицу Я, записывая в нее по столбцам т координаты найденных собственных векторов матрицы А А и определяем обратную матрицу Я 1 = Я; г) находим вторую ортогональную матрицу Р по формуле Р=АЯ Ю '. 11.3. Описание итерационных методов Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) состоят в построении последовательности столбцов х1, х~, ..., хН, ... Каждый очередной столбец х~+1 вычисляетсл на основе одного вли нескольких предыдущих столбцов.
Если в итерационном методе столбец х~+1 вычисляется с использованием одного предшествующего столбца х~, то такой метод называют одпошагоеььм, в деухшаговмх ингперацаонпых метподах текущий столбец вычисляется с использованием двух предшествующих столбцов. В общем случае, если для вычисления хи+1 используют столбцы х~, х~ 1, ..., х~ "+1 (всего Й столбцов), то говорят о Й-шаговом агперацнонпом мепюде. Наиболее употребительны одно- и двухшаговые методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
