IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Таких ведрн4их компоиенгп у кососнмлветврическово тиензора валентности р имеется в! С~~ = , ' ,. Нетрудно увидеть, что у тензоров валентностей р!(и — р)1 р и и — р одинаковое количество ведущих компонент. Рассмотрим, например, р-вектор с компонентами а~'"'ь', у1 < ... < ур. Каждой компоненте а~'"оя сопоставим равное ей число 6"ь ""-~, взяв в качестве индексов г1 « ... «„р те, которых нет среди индексов у~, ..., ур. Можно показать, что в результате мы получим набор компонент кососимметрического (п — р)-вектора, 289 Вопросы и звдиии соцтветствие не зависит от выбора базиса и является изоморфизмом линейных пространств р-векторов и (и — р)-векторов. Аналогичный изоморфиэм существует для пространств а-форм и (и — о)-форм.
Произведение кососимметрических тензоров, вообще говоря, не является кососимметрическим тензором. Например, произведение АВ кососимметрического тензора А типа (Р,О) на кососимметрический тензор В типа (г, 0) будет тензором типа (р+ г, 0), который является кососимметрическим по первым р индексам и по последним г индексам, но не по всем индексам вместе.
Чтобы получить кососимметрический тензор, нужно выполнить операцию альтернирования по всем индексам. В результате получится кососимметрический тенэор С типа (р+ г,О), который обозначают АЛВ и называют внеизним произведением тенэоров А и В. Пример 10.12. Внешнее произведение двух векторов х = = (хм хг хз) и у = (У1, Уг, Уз) в 1с представляет собой косо- симметрический 2-вектор с ведущими компонентами а1г = 0,5(х1уг — хгу1), а1з = 0,5(хауз — хзу1) агз = 0,5(хгуз — хзуг) и матрицей 0 а1г аш А = — а1г 0 агз -а|з — агз 0 Положив Ь! = 2агз, Ьг = -2а|з, Ьз = 2а1г, получим вектор который совпадает с векторным произведением х ху. Вопросы и задачи 10.1. Пусть А = (а; ) — матрица компонентов тензора аб типа (0,2) (дважды контравариантного).
Найдите закон изменения матрицы А при замене базиса. 290 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ 10.2. Найдите закон изменения матрицы дважды ковариантного тенэора (см. задачу 10.1). 10.3. В евклидовом пространстве йэ со стандартным скалярным произведением заданы два линейно независимых вектора а1 = (а1~, а~1), аэ = (а~~, аз~). Эти векторы образуют базис. Найдите базис, биортогональный базису а1, аэ. 10.4. Пусть А — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Е.
Найдите компоненты тензора а', соответствующего полилинейной форме <р(и;,~) = у(Аи), ж Е Е, У Е Е'. 10.5. Пусть а0 — симметрический тензор, ЬН вЂ” кососимметрический тенэор. Докажите, что их полная свертка а; ЬН равна нулю. Что можно сказать о тензоре авЬв12 10.6. Найдите полную свертку дбдН двух метрических тензоров и-мерного евклидова пространства. 10.7. В условиях задачи 10.3 запишите координаты контра- вариантного и ковариантного метрических тенэоров в базисе а1, аэ. 10.8. В пространстве жэ задан тенэор а; типа (2,0). При каких условиях на компоненты а; этот тензор можно рассматривать как ковариантный метрический тензору 10.9. Найдите тензор, который получается при поднятии одного индекса: а) у метрического тензора д;", б) у символа Кронекера б'.
11. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Задача численного решения систем линейных алгебраиче.ских уравнений (СЛАУ) с невырожденной матрицей была рассмотрена в [1П]. Методы численного решения СЛАУ можно разделить на две группы: прямые (или точные) и итерационные. В [П?[ основное внимание было уделено прямым методам. Был рассмотрен метод Гаусса исключения неиэаестнь~ а также методы, основанные на мультпиплииашивнмх разложениях мап1рии. В этой главе мы сконцентрируем внимание на итерационых методах численного решения СЛАУ.
Изложим также новые способы мультипликативного разложения матрицы. 11.1, Обусловленность квадратных матриц При решении любой математической задачи важную роль играет вопрос существования и единственности решения. Но положительный ответ на этот вопрос еще не гарантирует достоверности практических результатов, которые получены в результате решения математической задачи.
Поясним это подробнее. При постановке математической задачи, как правило, имеются параметры, которые не фиксированы и могут принимать произвольные значения из некоторых интервалов. В качестве таких параметров могут рассматриваться данные измерений, результаты решения каких-то других задач, результаты экспертных оценок и т.п.,которые задаются приближенно. Если при каждом допустимом наборе значений параметров (вход«ых даииых матпематпической задачи) задача имеет решение, и притом единственное, то возникает зависимость решения от указанных параметров. 292 11. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Результатом решения математической задачи является вычисление на основе входных данных некоторого набора чи; еловых значений — выходных данных матпематпической задача.
Как входные, так и выходные данные можно рассматривать в качестве элементов соответствующих нормированных простпранстпв. Это позволяет сравнивать между собой различные варианты входных (выходных) данных и оценивать степень их близости, что приводит к понятию непрерывной зависимости решения задачи от входных данных. Пусть х, хо Е К представляют собой вектпоры входных данных некоторой математической задачи, а у, ув Е К вЂ” соответствующие этим входным данным решения, или выходные данные. Скажем, что решение задачи непрерывно зависит от входных данных, если для любого хо и для любого г > О существует такое б > О, что при 9х — хо)! < б имеем ))у — уо(( < г, где ~Ц) — некоторая норма в К™.
Математическую задачу называют корректпной или корректпно постпавяенной, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Если одно из трек условий нарушается (решение неединственно, не существует или нарушается требование непрерывной зависимости от входных данных), то говорят о некорРектной матпематпической задаче.
Понятие .корректной задачи легко конкретизировать для системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с невы- рожденной матрицей. Напомним, СЛАУ Ах = Ь с квадратной матрицей А порядка и имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена [П1]. Входными данными задачи решения СЛАУ следует считать элементы ее матрицы и правые части уравнений. Столбец неизвестных х и столбец правых частей Ь СЛАУ Ах = Ь можно трактовать как векторы и-мерного линейного ари4метпического ттростпранстпва К", в котором задана некоторая норма ~! )!.
Этой норме соответствует индуиированная нормо матприиы, для которой будем использовать то же обозна- 11.1. Обусловленность квадратных матриц г9З чение || ||. Изменение входных данных означает, что наряду со СЛАУ Ах = Ь с решением х надо рассмотреть другую воэмущенную систему Аж = Ь с матрицей А = А+ саА и столбцом правых частей Ь = Ь+ тлЬ, которая отличается от исходной системы возмущением матаринцы систпемы саА и возмущением стаолбца правых частаен саЬ. Решением возмущенной системы будет некоторый столбец ж, который отличается от х на столбец Ьх = х — х, называемый возмущением рещеннл. Величины ||ЬА||, ||ЬЬ|| и ||Ах|| можно интерпретировать как абсолютные погрешности соответственно матрицы системы, правой части и решения, если компоненты исходной системы рассматривать как точные. При этом относительные погрешности будут выражаться формулами бА= —, дЬ=, ох= —.
)~ЬА~~ ||ЬЬ!| ))Ьх)! || А || ' || Ь!| ' ||х || Корректность задачи решения СЛАУ Аж = Ь с квадратной невырожденной матрицей заключается в том, что малым относительным погрешностям матрицы системы и правой части отвечает малая относительная погрешность решения системы. Чтобы показать, что это действительно так, нужно относительную погрешность решения оценить с помощью относительных погрешностей матрицы и правой части.
Определение 11,1. Для квадратной невырожденной матрицы А величину с(А) = ||А|| ||А "|| (11.1) ' чазывают ее числом обусловленностан. Свойство 11.1. Для любой невырожденной матрицы А число ее обусловленности совпадает с числом обусловленности Число обусловленности матрицы всегда положительно и зависит от заданной нормы матриц. Эта характеристика имеет следующие свойства. 294 П. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ обратной матрицы А ~: с(А) = с(А ').
~ с(А ') = )~А "~! ~~(А ') ')~ = (~А '~~ ~~А)! = с(А). а Свойство 11.2. Если норма матриц колькевая, то с(АВ) < < с(А) с(В). < Согласно свойствам обратной матрицы, (АВ) ~ = В ~А ~, а согласно условию, что норма кольцевая, !)АВЙ < 9А9 9В)!. Поэтому с(АВ) = ~~АВ)! ~)(АВ) ~)~ < ~)А)~ ~)В~~ ))В '~) ))А ')( = = НА~~ ~!А ~~~)ЦВй !~В ~!!) =с(А)с(В). > Свойство 11.3. Если матричная норма кольцевая, то с(А) > 1 для любой невырожденной матрицы А. ~ Для единичной матрицы Е, согласно равенству ЕЕ = Е и свойству 11.2, получаем с(Е) = с(ЕЕ) < с(Е) с(Е). Так как с(Е) > О, то, сокращая в неравенстве на с(Е), имеем с(Е) > 1.
Для невырожденной матрицы А существует обратная матрица А ~, при этом АА ~ = Е. Согласно свойствам 11.1 и 11.2, заключаем, что 1 < с(Е) = с(АА ~) < с(А) с(А ~) = (с(А))~. Значит, с(А) > 1, так как число обусловленности матрицы неотрицательное. ~ Свойство 11.4. Если (!)! — спектральная корма,то число обусловленности симметрической матрицы А равно ,(А) Р ! !ЛЯ!и! П.1. Обусловленность квалратньлн матриц 295 где Лилит, Лшлв — ее собственные значения, соответственно наибольшее и наименьшее по абсолютной величине.
~ Спектральная норма симметрической матрицы равна максимальной из абсолютных величин ~Л;~ ее собственных значений. Действительно, если симметрическая матрица имеет порядок и, то в ж" существует артпонормираванныб базис е1, ..., е„из ее собственных векторов. Пусть соответствующие им собственные значения связаны неравенствами ~Л1~ > )Лз~ > ... > ~Лв!. Тогда для любого вектора х = ел1е1 +... + севев имеем 9 Ах 9 = 9 А(се1е1 +... + севе„ ) )! = 9 Л1а1е1+... + Л„ове Д = — лл,щл л-...л-лл..Е<~л,~Д+...+ 1=~л,~~~ 11. Поэтому '9А9 = зир — < )Л1~.
'9 Ах)! ~~.~,. ~~х~~- Но на самом деле в приведенном неравенстве должен стоять знак равенства, так как для х = е1 имеем 9Ах)! 9Л1е19 9х'9 '9е1)! = ~Л1~. Отметим, что если Л вЂ” собственное значение невырожденной матрицы А, то Л 1 — собственное значение матрицы А 1, так как равенство Ах = Лх, х у~ О, равносильно равенству А 1х = Л 1х. Кроме того, если А — симметрическая матрица, т.е.
А = А, то и А — симметрическая матрица, так как т -1 (А 1) = (А ) 1 = А 1. Поэтому, если Л„,ь„и Лылв — соответственно наибольшее и наименьшее по абсолютной величине собственные значения матрицы А, то 9Ай = ~Л ), ~)А 1~) = ~Л ~„). Следовательно, с(А) = 9А9 йА 19 = ~Лиль„~ ~Л~,'.„~. ~ Число обусловленности матрицы А в значительной степени определяет чувствительность СЛАУ Ах = Ь к погрешностям в коэффициентах матрицы и в правых частях уравнений: чем 296 Ы. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ больше это число, тем выше погрешность решения при данном уровне погрешностей входных данных. Эту связь показывает следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
