IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Несложно убедиться, что это отображение линейно и что оно инъектпввно. Из инъективности следует, что с11тппх = бппС = и. Но сопряженное пространство С' имеет ту же размерность, что и,С, а йщС'* = йщС' = бппС. Таким образом, размерность линейного подпространстеа 1щу в С" совпадает с размерностью всего двойного сопряженного пространства. Значит, ппу = С*' и отображение у является изоморфизмом. Обратим внимание, что этот изоморфизм не связан с выбором какого-либо базиса.
Поэтому естественно 266 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ отождествить линейные формы, заданные на С', с элементами пространства .С. Это означает, что двойное сопряженное пространство совпадает с исходным линейным пространством: С" = С. Если С' является сопряженным к .С, то и С является сопряженным к,С'. Взаимность линейного пространства и сопряженного к нему пространства указывает на симметричность связи между векторами и ковекторами.
Поэтому вместо записи 1(ж) более удобно использовать другую форму записи, симметричную: (~,х). Линейные формы мы также будем теперь обозначать полужирным курсивом: (~,ж). Принятое обозначение похоже на обозначение скалярного пронзведення, но в отличие от последнего аргументы в новом обозначении берутся из разных пространств. Саму запись (у,ш) можно рассматривать как запись отображения, определенного на множестве С' хС, которое паре из ковектора и вектора ставит в соответствие действительное число. При этом указанное отображение линейно по каждому иэ аргументов.
Теорема 10.1. Пусть Ь и с — два базиса и-мерного линейного пространства С, У вЂ” матрица перехода из Ь в с. Базисы Ь' и с* сопряженного пространства С*, взаимные с базисами Ь и с соответственно, связаны между собой соотношениями с'=Ь'(У )-', Ь' =с'У . я Координатами 1' = (Д ... Д) линейной формы у в базисе с' являютсл значения этой формы на векторах базиса с = = (с1 ... с„). Выясним, как связаны координаты формы у в двух базисах с' и Ь'.
Базисы Ь и с связаны между собой при помощи матрицы' перехода матричным соотношением с = ЬУ (см. 1.8). Это соотношение представляет собой равенство строк длины н, составленных из векторов. Из равенства строк векторов следует равенство строк значений линейной формы у на этих 267 10.1. Сопряженное пространство векторах: ((У,с1) ... (~,с„)) = ((~,61) ...
(~,6„))У, или ус уьд где у"~ и ~~ — обозначения строк координат формы у в базисах Ь* и с' соответственно. Транспонировав это равенство, мы получим принятую форму связи координат элементов линейного пространства, в которой координаты записываются по столбцам: Это соотношение означает, что матрица У является матрицей перехода из базиса с', играющего в формуле роль старого, в базис Ь', играющий роль нового. Следовательно, 6* = с*У, откуда умножением на матрицу (У ) 1 получаем с* = 6*(У ) Если линейное пространство Е евклидово, то скалярное произведение порождает изоморфизм между Е и Е*, не зависящий от базиса, который позволяет отождествить евклидово пространство с его сопряженным.
Действительно, для любого вектора а Е х". отображение ж †«(а,а) представляет собой линейную форму в Е, так как скалярное произведение линейно по второму из своих аргументов. Возникает отображение Ф, которое вектору а Е Е ставит в соответствие линейную форму ~~(х) = (а,х). Это отображение линейно в силу свойств скалярного произведения и инъективно. Инъективность следует из того, что если (а, и) = О для любого ж Е С, то и (а, а) = О, т.е. а = О. Так как линейные пространства Е и Е' конечномерны и имеют одинаковые размерности, отображение ф биективно и реализует изоморфизм этих пространств. Итак, для евклидова пространства Е' = Е. В этом смысле евклидово пространство есть „самосопряженное" пространство.
10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОН АЛГЕБРЫ 268 10.2. Полилииейиые формы Пусть А. — и-мерное линейное просгпранстпво и С' сопряженное к нему пространстиво. Рассмотрим функцию <р(х1,...,хр,~1,...,~а), аргументами которой являются р векторов х; Е ь" и о новенпьоров ~1 Е ь'*. Определение 10.3. Функцию ~р от р векторов и о ковекторов называют полилинейной формой, если она линейна по каждому отдельно взятому аргументу. Пару чисел (р,о) называют ~пином полилинейной формы.
Пример 10.1. Простейшие полилинейные формы — зто линейные фунниии, зависящие от одного аргумента. Линейные функции на ь" представляют собой ковекторы, т.е. элементы сопряженного пространства 1.". Линейные функции на С" отождествляются с векторами. Таким образом, полилинейная форма типа (1,0) — зто ковектор, а полилинейная форма типа (О, 1) — это вектор.
Пример 10.2. Полилинейная форма типа (2,0) — это билинейная форма, определенная на линейном пространстве .С. Аналогично полилинейная форма типа (О, 2) представляет собой билинейную форму на сопряженном пространстве х,*. Пример 10.3. Полилинейную форму у(х;~) типа (1,1) можно ассоциировать с линейным оператороМ действующим в линейном пространстве ь". Действительно, зафиксировав первый аргумент, мы получим линейную функцию на сопряженном пространстве С', т.е.
вектор. Таким образом, каждому вектору х Е С поставлен в соответствие вектор, представленный в виде линейной формы на х".'. Мы получаем отображение пространства Е в себя. Покажем, что это отображение линейно. Если вектору х соответствует линейная форма у(х; ) на (точка обозначает меняющийся аргумент), а вектору у соответствует линейная форма ~р(р; ), то сумме этих векторов 269 20.2. Полнлннейные формы соответствует линейная форма у(х+ у; ), равная сумме форм: Ю(х+Р; ) =1о(х")+РЬ' ) что следует иэ линейности х по первому аргументу. Аналогично вектору Лх соответствует форма у(Лх; ), равная Л~р(х; ).
Итак, любой полвлинейной форме у типа (1, 1) соответствует линейный оператор, действующий в х'.. Можно показать, что это соответствие биекшивное, и мы можем отождествить поли- линейные формы типа (1,1) с линейными операторами. Соответствие между полилинейными формами типа (1,1) и линейными операторами использует ранее построенный иэоморфиэм между линейными пространствами,С и Е*'. Обратное соответствие более простое. Каждому линейному оператору А можно поставить в соответствие полилинейную форму ул(х;~) = (у,Ах) типа (1,1).
При фиксированном векторе х мы получаем линейную форму на сопряженном пространстве, причем эта форма отождествляетсл с вектором Ах. Значит, это действительно то же соответствие, что и рассмотренное выше. Полилинейные формы можно складывать по обычным правилам сложения функций: для каждой комбинации значений р+ д аргументов складываются значения функций. Полилинейные формы можно также умножать на действительные числа. Теорема 10.2.
Множество Рр полилннейных форм типа (р,д) в и-мерном линейном пространстве Е является линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число. м Операции сложения функций и умножения функции на число удовлетворяют всем аксиомам линейноео нросшранства. Поэтому нам нужно лишь показать, что в результате сложения двух форм одного типа или умножения полилинейной формы на действительное число получается полилинейнвя форма того же типа.
270 ДО. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ Рассмотрим полилинейные формы ~р(хд,...,хр; Уд,..., Уч) и др(хд,..., хр, .Уд,..., Уе). Их сумма представляет собой функцию х(хд,..., хр, Уд,..., Уч), которая определяется равенством х(хд ",хр,У'," У') = = ~(хд,",хр1У',".,У')+Ф(хд, ",хр',У',",У') Проверим линейность этой функции, например, по первому аргументу, используя многоточия для обозначения остальных аргументов полилинейнык форм: Х(хд+хд " ) =У(хд+хд " )+дР(хд+хд " ) = = (до(хд,...) + др(хд,...)) + (др(хд,...) + др(хд,...)) = = (<р(хд,...)+ф(хд,...))+ (<р(хд,...)+ф(хд,...)) = = Х(хд " )+Х(хд " ) Х(лхд,...) = др(лхд,...)+др(лхд,...) = =Лдд(хд,...)+Лдр(хд,...) = = Л(ср(хд,...)+др(хд,...)) = ЛХ(хд,...).
Линейность функции по остальным аргументам проверяется точно так же. Рассмотрим теперь функцию (, определенную через поли- линейную форму ~р равенством с(...) = Л~р(...). Проверим ее линейность по первому аргументу: ((хд+ '„...) = Л р(хд+ х'„.") = = Л(у(хд,...)+~р(хд,...)) = = Лчр(хд ° ° ) + Л9Р(х1 ) = С(хд ° ° ) + ах1 ° ° ) ((сдхд,...) = Лср(ахд,...) = Лсер(хд,...) = о4(хд,...).
Линейность функции ( по остальным аргументам проверяется аналогично. ° 10.2. Полилянейяые формы 271 Рассмотрим в линейном пространстве Е некоторый базис е = (е» ... е„). Используя свойства линейности полилинейной формы»р типа (р,»7) по каждому аргументу, мы можем выразить ее значение на фиксированном наборе значений аргументов через ее же значения на базисных векторах. Пусть выбраны произвольные векторы х; = х»е» +... + х,"е„, 1 = 1, р, и произвольные ковекторы у' = Де~ +... + Де", » = 1, д, разложенные по взаимному базису е' = (е1 ... е"). Тогда Ю(хм ",хр;у',",У') = >» >» »» и =1р(~~» х" е;,>..., ~> хр'е;; ~~» г»1 ей»,..., ~~» ~~в»') = »»ж1 дч — » ... ~~» х»» ...
хрр ~1, ... ~ ~ х >»ьп»р=12>=1»»=1 х 1р(е;» »... е,,; ед» »... е»'). Мы видим, что набор чисел»»р~,' "з' = »»р(е;„..., е;; ед»,..., ерр ) однозначно задает полилинейную форму. Ясно, что, взяв произвольный набор чисел у~,'"'~', мы сможем определить полилинейную форму, используя этй числа как коэффициенты разложения в базисе е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
