IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 37
Текст из файла (страница 37)
первая строка в У является первым столбцом в 1'. Элементами первого столбца в этой матрице являются числа сЦ+1, ..., с(,". Такую матрицу можно построить, взяв вектор (Щ+1, ..., Н,') из (в — г)-мерного линейного арифмепзического просгпраиспзва и дополнив его в указанном пространстве до ортонормированного базиса. Итак, после выделения квадратов и выполнения параллельного переноса мы можем, если нужно, выполнить дополнительный поворот так, что в конечном счете уравнение поверхности (9.2) преобразуется к виду 25О 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА зависит от выбора системы координат и при описанных преобразованиях не меняется. В первом и втором случае ранг может иметь любые значения от 1 до и, в последнем случае г ~ н, т.е. этот случай возможен для поверхности второго порядка с вырожденной квадратпичной формой.
Уравнения (9.13), к одному нз которых приводится уравнение произвольной поверхности второго порядка в 1к", назовем уравнениями канонического вида, а переменные, в которых они записаны, — каноническими. 9.4. Примеры Описанный вьппе процесс упрощения уравнения поверхностна втпорого порядка в й" реализуется и для кривых второго порядка на плоскости, и для поверхностей второго порядка в пространстве [111]. Рассмотрим этот процесс на конкретных примерах. Пример 9.2. Приведем к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 14х, + 24хтхг+ 21хг — 4х1 + 18хг — 139 = О, (9.14) выпишем все использованные преобразования и построим эту кривую в исходной системе координат. Квадратпичнал форма кривой имеет вид 14хгт + 24хтхг+ +21хзг, а матприттей этной квадратпичной Формы является 14 12 Чтобы найти ортпогона тьное преобразование, приводящее квадратичную форму кривой к каноническому виду, выпишем 251 9.4.
Примеры характперистпическое уравнение матприиы А Л вЂ” 35Л+ 150 = 0 и найдем его корни: Лт =30, Лз = 5. Ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — ЛЕ)х = 0 при Л = Лтд равен единице, и мы можем в системе оставить только одно уравнение — первое: (14 — Л)хт + 12хг = О. Собственному значению Лт = 30 соответствует единичный собстпвенныт1 вектпор ет =— а Лг = 5 — единичный собственный вектор который в двумерном случае проще найти из условия ортогональности вектору еы т.е.
путем перестановки координат вектора ет и изменения знака у одной из координат. Из найденных координата собственных векпторов составляем матприиу ортпогонального преобразования 5 4 3 4 3 которое является поворотом, так как йе1У = 1. Этому ортогональному преобразованию соответствует линебнал замена переменных 3 4 хт = -ут — -уг, 5 5 (9.15) 4 3 хг = -ут+-уз. 5 5 252 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Чтобы получить уравнение кривой с квадратпичной формой канонического вида, нужно подставить выражения (9.15) для переменных х1 и хг в (9.14): 14хг1 + 24х1хг + 21хг — 4хг + 18хг — 139 = 3 4 г 3 4 4 3 = 14(-д~ — — дг) +24(-У1 — -Уг) (-У1+ -Уг) + 5 5 5 5 5 5 +21(-У1+-дг) -4(-д,--дг)+18(-у,+-дг)-139= 5 ) 9 12 16~ г = (14 — +24 — +21 — )У1+ 25 25 25) 24 7 24~ + ( — 14 — — 24 — +21 — )У1дг+ 25 25 25) 16 12 9 ~ + (14 — — 24 — +21 — )Уг+ 25 25 25) 3 4х г 4 3~ + (-4 — +18 -)у + (4 — +18 -)д — 139 = 5 5) 1 5 5) = ЗОУ1 + 5уг + 12У1 + 14уг 139.
(9. 16) Следует отметить, что мы сразу можем записать канонический вид квадратичной формы кривой по известным собственным числам: 30д~г + 5дгг. Линейные слагаемые -4х1 + 18хг = = 2Ь х, представляющие собой удвоенное скалярное произведение вектора с координатами Ь на вектор с координатами х, в т т новых переменных будет иметь вид 2(УЬ) д = 2Ь Уд, или 2Ь Уд=( — 4 18)У = -(-4 18) = 12У1 + 14дг.
Свободный член в процессе преобразования поворота не изменится. Таким образом, приходим к тому же уравнению (9.16). 253 а4. Примеры По каждому из переменных выделяем полный квадрат: 1г 7г 30(у1 + — ) + 5 ~уг+ -) = 150. Теперь параллельный перенос системы координат, определяе- мый соотношениями С 1 л1 =91+ > 7 5' (9.17) приводит к уравнению 30л1~ + 5яг~ = 150, которое легко преобразуется к каноническому уравнению эллипса делением на 150: г г — + — =1. ) г 5 30 Чтобы построить эллипс, заданный в исходнон системе координат уравнением (9.14), можно поступить следующим образом. Изобразим исходную систему координат Ох1хг, а в ней векторы е1, ег, которые являются собственными для матрицы квадратичной формы поверхности.
Эти векторы откладываем от начала О системы координат, они задают координатные оси новой системы координат Оу1уг. В этой системе координат строим точку 01( — 1/5;-7/5), которая должна быть началом следующей канонической системы координат 01з1зг. Оси этой системы координат параллельны осям Оу1 и Оуг.
Определив положение канонической системы координат 01г|эг относительно исходной Ох1хг, строим в ней эллипс, руководствуясь величинами его большой и малой полуосей. В результате получаем расположение эллипса относительно исходной системы координат. Расположение осей трех систем координат и эллипса в данной задаче показано на рис. 9.1. 254 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рис. 9.1 Пример 9.3. Определим, какая кривая задается уравнением 32х~1+ 52х1хз — 7х~~ + 180 = О, и изобразим ее в канонической системе координат.
Для решения поставленной задачи приведем к каноническому виду квадратичную форму Г = 32хз1+ 52х1хз — 7х~з этой кривой. Матрица А квадратичной формы имеет вид 32 26 Составим характеристическое уравнение бес(А — ЛЕ) = О, " ! или =Л -25Л-900=0, откуда находим собственные значения Л1 — — 45, Лз = -20. Теперь мы можем записать канонический вид квадратичной формы кривой: Р = 45у12 — 20у~з.
Так как линейные слагаемые в исходном уравнении отсутствуют, то и после поворота, приводящего квадратичную форму кривой к каноническому виду, линейные слагаемые будут 255 9лс Примеры отсутствовать. Свободный член при поворотах также не изменяется. Поэтому в новой системе координат кривая будет описываться уравнением 45Уг 20Угг+180 0 или У1 У2 4 9 Мы получили уравнение гиперболы, ее положение в канонической системе координат изображено на рис.
9.2. ,Рис. 9.2 Пример 9.4. Приведем к каноническому виду уравнение поверхности 4х1+4хгг+хз+12х1хг — 20 = О, г' = 4х, + 4хг + хз + 12х1хг. 2 2 2 Запишем ее матрицу А= 6 4 0 определим ее тип и изобразим в канонической системе координат. Как и в предыдущем примере, уравнение поверхности не содержит линейных слагаемых. Следовательно, чтобы привести уравнение к каноническому виду, достаточно привести к каноническому виду квадратичную форму поверхности.
Само преобразование поворота по условию примера находить не требуется. Квадратичная форма данной поверхности имеет вид 256 а кРиВые и НОВЕРхнОсти ВТОРОГО пОРядкА и составим характеристическое уравнение этой матрицы 4 — Л 6 0 6 4 — Л 0 = (1 — Л)((4 — Л) — 36) = О. 0 0 1 — Л Решая уравнение, находим его корни Л1 — — 1, Лз = 10, Лз = — 2.
Зная их, записываем канонический вид квадратичной формы поверхности, а вместе с ним и каноническое уравнение самой поверхности: у1 + 10уз 2уз 20 = 0 2 3 2 или 2 2 2 — + — — — = 1. 20 2 10 Видим, что полученное уравнение описывает однополостный гиперболоид (рис. 9.3). Рис.
9.3 9.5. Классификация кривых второго порядка Кривая второго порядка на плоскости в системе координат Оху описывается уравнением апх +2ашху+агзу~+261х+26зу+с = О, в котором хотя бы один из коэффициентов при слагаемых второй степени отличен от нуля. Это уравнение может быть преобразовано к одному из канонических видов (9.13). В нашем случае и = 2, так что при г = 2 возможны лишь два варианта: оХз+ РУз 1,„Хз + РУз 0 (9 16) где через Х, У обозначены канонические переменные, а параметры а, 13 одновременно не равны нулю. В зависимости от 257 9.5.Кяаосификация кривых аторого порядка знаков коэффициентов о и,В в уравнениях (9.18) с учетом воз- можного переименования канонических переменных приходим к следующим вариантам: Х2 У2 — + — = 1 — эллипс, а2 Ь2 Х вЂ” + — = — 1 — пустое множество (мнимый эллипс), а2 ь2 Х2 У2 — — — = 1 — гипербола, а2 82 х — + — =0 а2 ь2 х у — — — = 0 — пара пересекающихся прямых.
а2 ь2 Если т = 1, то квадратпичная форма кривой второго порядка выроэсдена и имеет одно слагаемое. В этом случае возможны три варианта: саХ =О, саХ =1, где са ф О. В последнем варианте можно считать, что са ) О, так как иначе достаточно поменять направления вектпоров базиса и тем самым изменить знак переменной У в правой части.
Кривые с рангом квадратичной формы т = 1 дают еще четыре канонических уравнения: двойная прямая, Х2=0 Х =а2, афО, Х = — а2, а~О, Х2 2 У ~0 — точка (вырожденный эллипс), пара параллельных прямых, пустое множество (пара мнимых прямых), парабола. 258 9. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
