IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (1081385), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Но матрица квадратичной формы симметрическая, в то время как матрица билинейной формы, вообще говоря, нет. Для того чтобы матрица билинейной формы 6(х,у) в базисе е являлась симметрической, должны выполняться условия Ь(е;, е ) = Ь(е, е;), т,у = 1, п. Если Ь(х, у) — билинейная форма, то функция Ь(х, х) в зат данном базисе записывается в виде 6(х, х) = х Вх. Это матричное произведение представляет собой квадратичную форму от координат вектора х.
Матрицей этой квадратичной формы является матрица А = 0,5(В+ В ). Матрицы билинейной и квадратичной форм совпадут, если матрица В билинейной формы симметрическая. Пример 8.12. Функция 6(х,у) = х1ут, заданная через коорт т динаты х = (х1 хз) и у = (у1 уэ) векторов х и у в некотором базисе е двумерного линейного пространства, является билинейной формой с матрицей Соответствующая ей квадратичная форма имеет вид у(х) = = х1хэ и матрицу 0 1/2 Отметим, что квадратичная форма 1(х) порождается также и билинейной формой 6,(х,у) = 0,5х1уэ+ 0,5хэу1, имеющей матрицу А.
Определение 8.4. Билинейную форму Ь(х, у) называют симметпричесиой (иососимметпричесиоб), если 6(х,у) = = 6(у,х) (6(х,у) = — 6(у,х)) для любых векторов х и у. 238 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Пример 8.13. Примером симметрической билинейной формы является скалярное произведение. По существу, определение 3.1 говорит,что скалярное произведение — это билинейная симметрическая форма, порождающая полохситаелько определенную квадратпичную дюрму (последнее — содержание аксиомы г) скалярноео произведения). Если в билинейной форме Ь(х,у) поменять местами переменные, то получим новую билинейную форму 6'(х, у) = Ь(у, х), матрица которой будет транспонированной к исходной. Дейт ствительно, если в некотором базисе Ь(х,у) = х Ву, то в том же базисе 6'(х,у) =6(у,х) =у Вх=(у Вх) =х В у, т так как у Вх — это число и транспонирование его не меняет.
Если билинейная форма 6(у, х) симметрическая, то перестановка аргументов не меняет ее. В этом случае Ь'(х, у) = Ь(х, у) и В = В, т.е. матрица симметрической билинейной формы является симметрической. Верно и обратное утверждение: если матрица В билинейной форма 6(у,х) симметрическая, то и сама билинейная форма симметрическая. Это следует из равенств 6(х,у) = х Ву = (х Ву) = у В х = у Вх = 6(у,х). Итак, для симметричности билинейной формы необходима и достаточна симметричность ее матрицы. Отметим, что если билинейная форма имеет симметрическую матрицу в одном базисе, то ее матрица будет симметрической и в любом другом базисе. Случай косимметрической билинейной формы аналогичен. Для того чтобы билинейная форма была кососимметрической, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица в каком-либо базисе была кососимметрической.
Теорема 8.Т. Для любой квадратичной формы Дх) существует, и притом единственная, симметрическая билинейная форма В(х,у), для которой Дх) = В(х,х) для любого вектора х. 239 Вопросы и задачи Выберем произвольный базис е и запишем в нем матрицу А квадратичной формы Дх). Билинейная форма Ь(х,у) с симметрической матрицей А в этом же базисе является симметрической и порождает квадратичную форму Дх) с той же матрицей А. Разные симметрические билинейные формы порождают квадратичные формы с разными матрицами. Значит, нмкакой квадратичной форме не могут соответствовать две различные симметрические билинейные формы.
> Замечание 8.2. По квадратичной форме соответствующая ей билинейная форма легко восстанавливается, при этом не нужно прибегать к записи функций в каком-либо базисе. Рассмотрим функцию Ь(х,у) = 0,5(~(х+у) — ~(х) — Ду)). Это билинейная симметрическая форма, что следует иэ ее записи в произвольном базисе: Ь(х,у) =0,5((х+у) А(х+у) — х Ах — у Ау) = = 0,5(х Ау+у Ах) = 0,5(х Ау+ (у Ах) ) = = 0,5(х Ау+ х А у)/2 = х Ау, где А — матрица квадратичной формы ~(х) в этом же базисе.
При этом Ь(х, х) = х Ах = ~(х). Вопросы и задачи 8.1. Найдите ранг квадратичных форм от трех переменных: а) хг + уг + 2х»; б) 2ху + 2хл + 2уд; в) (х+ у)г — (х — у — л)г; г) (х у 2э)г 8.2. Приведите к каноническому виду методом Лагранжа следующие квадратичные формы от трех переменных: а) х +2у +2хэ+2уа; б) 2ху+2хэ+2уя; в) х — уг+2дг+ + 2ху+ 2хж 240 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 8.3. Приведите к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования следующие квадратичные формы от двух переменных: а) х~+ху+у~; б) ху; в) 2хз+Зу~+2ху. 8.4.
Какой ранг может иметь положительно определенная квадратичная форма от п переменных? 8.5. Определите тип следующих квадратичных форм от двух переменных: а) хз — ху+уз; б) 2ху; в) хз+4ху+4у~. 8.6. Квадратичная форма от двух переменных имеет вид ахз+ бху+ су~, т.е. является квадратным трехчленом относительно любой из переменных. Как тип квадратичной формы связан с дискриминантом этого квадратного трехчлена? 8.7.
Выясните, являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы от трех переменных: а) хз + +у~ — л~+2ху+2хг+2уя; б) яу+тя+уг; в) хам+уз+гз+ +2ху; г) хз+уз+гз+ху+ля+ух, Я. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9.1. Поверхности второго порядка Рассмотрим линейное арифметическое пространство К", являющееся евклидовым пространством со стандартным скалярным произведением; (х, у) = х1у1 + хауз +... + х„у„, где х = (хы ..., х„), у = (ум ..., у„).
Векторы иэ Кз или К~ можно рассматривать как геометрические векторы в „точечном" трехмерном пространстве или соответственно двумерном пространстве (плоскости). Зафиксировав в трехмерном пространстве точку, мы можем считать ее стандартным началом каждого вектора, а тогда каждая точка пространства определяется как конец некоторого геометрического вектора. Эту точку зрения можно обобщить на линейное арифметическое пространство произвольной размерности.
Векторы в К" будем трактовать как точки. Некоторую фиксированную точку О (другими словами, вектор) и ортонормированный базис е в К" назовем прлмоуеольной сисгпемой координапь в К", точку Π— началом систпемы координагп. Координапьами произвольной пьочки М (это тоже вектор из К") в этом пространстве назовем координаты вектора М вЂ” О относительно базиса е. Приведенное обобщение позволяет с единых позиций анализировать геометрию плоскости и трехмерного пространства. Оно также позволяет дать геометрическую интерпретацию некоторым объектам арифметического пространства.
Например, множество всех решений однородной системы линейных влге- 242 а кРиВые и пОВБРхнОсти ВТОРОГО пОРЯДкА браических уравнений с геометрической точки зрения представляет собой линейное подпростпранстпео арифметического пространства соответствующей размерности. А чем с геометрической точки зрения является множество решений неоднородной системы? Как представить множество решений алгебраического уравнения второй степени, если переменных в этом уравнении четыре или больше? Определение 9.1. Поверхностпью втпорово порядка в Й" называют множество точек х Е Й", координаты х = = (хт ... х„) которых в данной прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению ~анхо+2 ~ а; х;х +2~ Ььхь+с=О, (9.1) 1<в<1(н где а;, Ьь, с — действительные коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов а;~, 1 < т' < у < и, отличен от нуля.
Замечание 9.1. Поверхность второго порядка в К" при и = 3 представляет собой обычную поверхность в пространстве, а при и = 2 — кривую на плоскости. Уравнение (9.1) удобно записывать в матричной форме, полагая ай — — а; при 1 > у и сводя все коэффициенты ай в симметрическую матрицу А = (а; ) порядка и, а слагаемые Ьь— в столбец Ь = (6| ... Ь„): (9.2) х Ах + 26 х + с = О. В левой части уравнения (9.2) слагаемые естественным образом распались на три группы.
Первая группа представляет собой квадратичную форму х Ах от координат точки. Ее называют квадратпичной формой поверхностпи (9.1) (кривой при п = 2) втпорояо порядка. Вторая группа представляет собой линейные слагаемые. Ее можно трактовать 243 9.2.Изменение системы коордигат как координатную запись удвоенного скалярного произведения вектора Ь со столбцом координат 6 на вектор х со столбцом координат х. Третья группа в левой части (9.2) представлена одним слагаемым с. 9.2.Изменение системы координат Пусть даны старая прлмоугольнал система координат, состоящая иэ ортонормированного базиса Ь = (Ь1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
