rpd000012245 (1008608), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вид контроля:

Вопросы:

1. Понятие множества. Операции над множествами. Логическая символика.

2. Предел функции. Необходимое условие существования конечного предела функции. Единственность предела функции.

3. Теорема о пределах основных элементарных функций.

4. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции. Их свойства и связь между ними.

5. Арифметические свойства пределов функций.

6. Достаточное условие существования конечного предела монотонной последовательности. Число е.

7. Односторонние пределы.

8. Замечательные пределы и их следствия.

9. Сравнение функций. - и о-символика. Эквивалентные функции и их свойства. Таблица эквивалентных функций.

10. Непрерывность функции в точке, односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных в точке.Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

11. Непрерывность основных элементарных функций.

12. Точки разрыва и их классификация.

13. Производная функции. Односторонние производные. Необходимое условие существования конечной производной.

14. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой, заданной явно.

15. Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала. Необходимое условие, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

16. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.

17. Общие правила дифференцирования

18. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.

19. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.

20. Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

21. Правила Лопиталя-Бернулли

22. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

23. Формулы Маклорена разложений функций: ex, cos x, sin x, ln(1+x), 1/(1+x)

24. Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Критерий постоянства функции на промежутке.

25. Необходимое условие экстремума; достаточные условия экстремума (с использованием производных первого и высших порядков). Отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

26. Достаточное условие выпуклости функции вверх и вниз на промежутке. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточное условие точки перегиба.

27. Определения асимптот. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

bilet.doc

Промежуточная аттестация №2

Экзамен (2 семестр)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Точечное и векторное пространство Rn . Декартово произведение множеств. Понятие метрического и нормированного пространства

2. Окрестность точки в n-мерном пространстве. Замкнутые и открытые множества, свойства. Замыкание множества. Внутренность множества. Связность множества. Граница множества

3. Последовательность точек в Rn . Предел последовательности. Предел функции многих переменных (2 эквивалентных определения). Примеры вычисления

4. Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Свойство непрерывной функции на компакте.

5. Полное и частные приращения функций многих переменных. Частные производные первого порядка, их геометрический и физический смысл.

6. Понятие дифференцируемости функции многих переменных. Дифференциал функции. Теорема о существовании частных производных у дифференцируемой функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Дифференцируемость функции, имеющей непрерывные частные производные.

7. Производная по направлению. Градиент функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

8. Дифференцирования сложных и неявно заданных функции многих переменных.

9. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций многих переменных: определения; связи между ними; матричная форма записи первого и второго дифференциалов.

10. Формула Тейлора для случая многих переменных.

11. Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

12. Определение первообразной и ее свойства

13. Неопределенный интеграл. Определение и свойства. Таблица интегралов. «Неберущиеся» интегралы

14. Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

15. Интегрирование элементарных дробей. Разложение действительных многочленов на множители

16. Схема разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей. Интегрирование произвольных рациональных дробей.

17. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений. Рационализирующие подстановки.

18. Определение определенного интеграла и его свойства. Условия существования.

19. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства

20. Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница.

21. Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

22. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; длин дуг плоских и пространственных кривых; вычисление объемов тел по площади поперечного сечения и тел вращения; площадей поверхностей тел вращения.

23. Несобственные интегралы. Понятия сходящегося и расходящегося несобственного интеграла. Эталонные несобственные интегралы

24. Интегральное исчисление функций многих переменных. Двойной интеграл Римана. Вычисление двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

25. Вычисление двойного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.

26. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования

27. Интегральное исчисление функций многих переменных. Тройной интеграл Римана. Вычисление тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.

28. Вычисление тройного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения тройного интеграла.

29. Понятие интеграла по мере. Измеримые множества. Свойства интеграла Римана.

30. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.

31. Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для различных способов задания кривой.

32. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

33. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для случаев проектирования на разные координатные плоскости.

34. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода

35. Векторные и скалярные поля. Построение криволинейного интеграла 2-го рода; вычисление в случае пространственной кривой.

36. Вихрь (ротор) векторного поля, его свойства. Символика Гамильтона.

37. Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. Доказательство эквивалентности двух условий.

38. Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. (необходимость и достаточность).

39. Потенциальное векторное поле. Пример нахождения потенциала. Проверка правильности нахождения потенциала.

40. Понятие ориентируемой и ориентированной поверхности, сторона поверхности. Согласование ориентации поверхности с обходом её границы.

41. Построение поверхностного интеграла 2-го рода, его физический смысл.

42. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (через проекцию на плоскость, путем перехода к поверхностному интегралу 1-го рода)

43. Дивергенция векторного поля, её физический смысл.

44. Теорема Гаусса-Остроградского.

45. Теорема Стокса. Частный случай: формула Остроградского-Грина.

Экзамен (2 семестр).doc

Промежуточная аттестация №3

Экзамен (3 семестр)

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Основные понятия и определения. Задача Коши. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка

2. Геометрический смысл ОДУ 1-го порядка. Метод изоклин

3. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. ОДУ с разделяющимися переменными.

4. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Однородные ОДУ 1-го порядка.

5. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Линейные ОДУ 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

6. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Линейные ОДУ 1-го порядка. Метод подстановки (метод Бернулли).

7. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Уравнение Бернулли

8. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

9. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной. Методы решения.

10. Особые решения. Нарушение единственности. Способы определения особых решений

11. ОДУ n-ого порядка. Основные понятия.Теорема существования и единственности решения для ОДУ n-го порядка

12. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения вида y'=f(x).

13. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие независимой переменной

14. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие искомой функции.

15. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка: уравнения однородные относительно неизвестной функции и ее производных

16. Свойства линейного дифференциального оператора порядка n. Линейные ДУ порядка n. Определитель Вронского и его свойства

17. Структура общего решения линейного ОДУ n-порядка. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами

18. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных

19. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод подбора частного решения

20. Понятие систем ОДУ. Приведение ОДУ n-ого порядка, разрешённого относительно производной к системе из n ДУ 1-ого порядка. Линейные системы ОДУ.

21. Решение линейных однородных систем ОДУ с постоянными коэффициентами (случай действительных корней характкристического многочлена).

22. Решение линейных неоднородных систем ОДУ. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

23. Числовой ряд: определение, сходящийся, расходящийся. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Сходимость и расходимость известных рядов.

24. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признаки сравнения, Даламбера. Их применение к знакопеременным числовым рядам.

25. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости Абеля, Дирихле,Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

26. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Дифференцируемость и интегрируемость равномерно сходящихся функциональных рядов.

27. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости. Нахождение радиуса сходимости. Исследование сходимости на концах интервала.

28. Операции алгебры и анализа над степенными рядами. Ряды Тейлора и Маклорена.

29. Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Разложения ex, cos x, sin x, ln(1+x), (1+x) по степеням x

30. Функциональные пространства. Пространство L2 интегрируемых в квадрате функций. Свойства тригонометрической системы функций: 1,cos(pi*n/l) , sin(pi*n/l) на [-l;l], n=1,2,.

31. Разложение периодической функции в ряд Фурье. Вычисление коэффициентов Фурье. Условие Дирихле разложимости в ряд Фурье.

32. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.

33. Представление непериодических функций интегралом Фурье. Вычисление коэффициентов. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье.Спектральная характеристика, спектр

Версия: AAAAAAUIrv0 Код: 000012245

Характеристики

Список файлов учебной работы